中考数学圆的垂径定理试题汇编未知_教学资源|题库|学习文库-「普洱教育」

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中考数学圆的垂径定理试题汇编未知

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数对是先行还是先列-台阶概括




2013中考全国100份试卷分类汇编 圆的
垂径定理
1、(2013年潍坊市)如图,⊙O的
直径AB=12,CD是⊙O的弦,CD⊥AB,垂足为
P,且BP:AP=1:5,则CD的长为( ). A.
B. C. D.
答案:D. 考点:垂径定理与勾股定理. 点
评:连接圆的半径,构造直角三角形,再利用
勾股定理与垂径 定理解决

2、(2013年黄石


, ,

)
.
如右图,在
为圆心, 为半径的中,
圆与
,以点
,则 交于点的长为 A. B. C. D. 答案:
5,则sinA= ,C 解析:由勾股定理得AB=
作CE⊥AD于
= ,即
E

,则AE=DE,在Rt△AEC中,
,所以,CE= ,AE=
sinA
,所以,
AD=

3、(2013河南省
G,直线
)

如图,CD是
相切与点
(A

D

的直径,弦
,则下列结论
(B) ∥
于点
中不一定正确的是【】
(C)AD∥BC (
A
D) 【解析】由垂径定理可
,又因知:(
20 × 20
)一定正确。由题可知:



为 ,所以 ∥ ,即(

B)一定正确。因为
所对的弧是劣弧
等可知(
4
D
,根据同弧所对的圆周角相

【答案】C )一定正确。
、(2013•泸州)已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O
M,且AB=8cm,则AC的长的弦,AB⊥CD,垂足为
为(
D
) A. cm B. cm C. cm或 cm
. cm或 cm
垂径定理;勾股定理.
分析:
专题: 分考点:
类讨论.
于点C
先根据题意画出图形,由
的位置不能确定,故应分两种情况进行
解答: 解:连接AC,AO, ∵⊙O的直讨论.
径CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm, ∴AM=AB=×8=4cm,OD=OC=5cm,
当C点位置如图1所示时, ∵OA=5cm,AM=4cm,
CD⊥AB, ∴OM= = =3cm, ∴CM=OC+OM=5+3=8cm, ∴AC= = =4 cm;
当C点位置如图2所示时,同理可得OM=3cm,
在Rt△AMC中,

AC= = =2 ∵OC=5cm
cm.
, ∴MC=5�3=2cm,
故选C. 点评:本题考查的是垂径
定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角
形是解答此题的关键.


5、(2013•广安)如图,已知半径OD与弦AB互
20 × 20



相垂直,垂足为点
的半径为(
D. cm


C

,若AB=8cm,CD=3cm,则圆

O
A. cm B. 5cm C. 4cm
考点:垂径定理;勾股定理.3718684 分析:
连接AO,根据垂径定理可知AC= AB=4cm,设半径为
x,则OC=x�3,根据勾股定理即可求得
解答:
x的
值.解:连接AO, ∵半径OD与弦AB
设半径为

x,则互相垂直, ∴AC= AB=4cm,
OC=x�3,
(x�3



在Rt△ACO中,
2,
A


AO2=AC2+OC2

即x2=42+
解得:x= ,
点评:
故半径为
cm.故选本题考查了垂径定
理及勾股定理的知识, 解答本题的关键是熟练
掌握垂径定理、勾股定理的内容,难度一
般.

6、(2013•绍 兴)绍兴市著名的桥
乡,如图,石拱桥的桥顶到水面的距离CD为
8m,桥拱半径OC为5m, 则水面宽AB为(
A. 4m B. 5m C. 6m D. 8m


垂径定理的应用;勾股定理.3718684

考点:
分析:连接OA,根据桥拱半径OC为5m,求出
AD= 求出OA=5m,根据CD=8m,求出OD=3m,根据
20 × 20



AD,最后根据AB=2AD即可得出答案.
解:连接OA, ∵桥拱半径OC为5m,
解答:
, ∴OA=5m
∵CD=8m, ∴OD=8�5=3m, ∴AD= = =4m, ∴AB=2AD=2×4=8
(m); 故选;D. 点评: 此题考查了垂
径定理的应用,关键是根据题意做出辅助线,
用到的知识点 是垂径定理、勾股定理.
7

A
、(2013•温州)如图,在⊙O中,< br>C,AB=4,OC=1
OC⊥

弦AB于
) ,则OB的长是(
. B. C. D.
垂径定理;勾股定理 分析: 根据考点:
垂径定理可得AC=BC= AB,在Rt△OBC中可求出
OB.
AB,


解答: 解:∵OC⊥弦AB于点
故选B
C

, ∴AC=BC=
点评: 在Rt△OBC中,OB= = .
本题考查了垂径定理及勾股定理的知识,解答
本题的关键是熟练掌握垂径定理的内容.

8、(2013•嘉兴)如图,⊙
C
O的半径
E
OD⊥弦AB
于 点,连结AO并延长交⊙O于点
AB=8

,CD=2

,连结 ) EC.若
A.
,则EC的长为(
2 D. 2 2 B

8 C
考点:
20 × 20
垂径定理;勾股定理;圆周角定



理. 专题: 探究型. 分析:
r
先根据垂
,则径定理求出AC的长,设⊙O的半径为
OC=r�2,由勾股定理即可得出r的值,故可得 出
AE的长,连接BE,由圆周角定理可知∠ABE=90°,
在Rt△BCE中,根据勾股定 理即可求出CE的
长.
C,
解答: 解:∵⊙O的半径

OD⊥弦AB于点
r,则AB=8

, ∴AC=AB=4,设⊙O的半径为
OC=r�2,在Rt△AOC中, ∵AC=4,OC=r�2, ∴OA2=AC2+OC2,
r�2)2,解得r=5, ∴AE=2r=10

, 连即r2=42+(
接BE, ∵AE是⊙O的直径, ∴∠ABE=90°,
中, ∵AE=10
BC=4
,AB=8, ∴BE= = =6


D
在Rt△ABE
在Rt△BCE中,
. 点评: ∵BE=6,, ∴CE= = =2 .故选
本题考查的是垂径定理及勾股定理,根据题意
作出辅助线,构造出 直角三角形是解答此题的
关键.


9、(2013•莱芜)将半径为3cm的圆形纸片沿AB< br>O,用图中阴影折叠后,圆弧恰好能经过圆心
部分的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥
的高为(
考点:
20 × 20
) A. B. C. D.
分析: 过O点作 圆锥的计算.



OC⊥AB,垂足为 D,交⊙O于点C,由折叠的性质
可知OD为半径的一半,而OA为半径,可求
∠A=30°, 同理可得∠B=30°,在△AOB中,由内角
和定理求∠AOB,然后求得弧AB的长,利用弧长公式求得围成的圆锥的底面半径,最后利用勾
股定理求得其高即可.
作OC⊥AB,垂足为
性质可知,
∠A=30°,
D
解答:
C


解:过

O点
,交⊙O于点

由折叠的
OD=OC=OA由此可得,在Rt△AOD中,
, 在△AOB中,由同理可得

∠B=30°
内角和定理,得∠AOB=180°�∠A�∠B=120° ∴弧AB的
r





则长为 =2π 设围成的圆锥的底面半径为
2πr=2π ∴r=1cm ∴圆锥的高为
评:
=2 故选A
本题考查了垂径定理,折叠的性质,特
殊直角三角形的判断.关键是由折叠的性质得出含30°的直角三角形.


10、(2013•徐州)如图,AB是⊙O的直径,弦
CD⊥AB,垂足为
为(
考点:
究型.
20 × 20
P

.若CD=8,OP=3
8 C
,则⊙O的半径


5 D. 3




) A. 10 B.
垂径定理;勾股定理.
分析:
专题:
连接OC,先根据垂径定理求



出PC的长,再根据勾股定理即可得出OC的
长. 解答:

C
解:连接OC, ∵CD⊥AB,
OP=3,
CD=8,
∴PC=CD=×8=4,
=5. 故选
在Rt△OCP中, ∵PC=4,
. 点评:
∴OC= =
本题考查的是垂径
定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角
形是解答此题的关键.


11、(2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所
示,已知排水管的半径OB=10,水面 宽AB=16,则
截面圆心O到水面的距离OC是 A. 4 B. 5 C . 6 D. 8


12、(2013•宜昌)如图,DC 是⊙O直径,弦AB⊥CD
于F,连接BC,DB,则下列结论错误的是
) A. B. AF=BF C. OF=CF (
D. ∠DBC=90°
垂径定理;圆心角、弧、弦的关系;
分析: 根据垂径定理可判断
D,继而可得
考点 :
圆周角定理.
A、B,根据圆周角定理可判断
解答:
D
解:∵DC出答案.
AB⊥CD于F
是⊙O直径,弦
C是劣, ∴点是优弧AB的中点,点
弧AB的中点, A、 = ,正确,故本选项错误;
B、AF=BF,正确,故本选项错误; C、OF=CF,
20 × 20



不能得出,错误,故本选项错误; D、
∠DBC=90°,正确,故本选项错误;
C. 点评:
故选
本题考 查了垂径定理及圆周角
定理,解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、
圆周角定理的内容,难度一 般.


13、(2013•毕节地区)如图在⊙O中,弦
OC⊥AB,垂足为
( )



C,且OC=3,则⊙O的半径
8 D

. 6

AB=8,
A. 5 B. 10 C.
考点:
究型.
垂径定理;勾股定理.
分析:
专题:
连 接OB,先根据垂径定理求
出BC的长,在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出OB
的长度.
AB=8
选A
解答:

解:连接OB, ∵OC⊥AB,
在Rt△OBC中,OB= = = . 故, ∴BC=AB=×8=4,
. 点评: 本题考查的是垂径定理,根
据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答
此题的关键.


14、(2013•南宁)如图,AB是⊙O的直径,弦CD
交AB于点
为(
考点:
20 × 20
E

,且AE=CD=8,∠BAC= ∠BOD,则⊙O的半径
A. 4 B. 5 C. 4 D. 3
垂径定理;勾股定理;圆周角定



理.3718684 专题: 探究型. 分析: 先根
据∠BAC= ∠BOD可得出 = ,故可得出AB⊥CD,由垂径
定理即可求出DE的长,再根据勾股定理即可得
出结论.
∴AB⊥CD
解答: 解:∵∠BAC= ∠BOD, ∴ = ,


设OD=r,则, ∵AE=CD=8,

∴DE= CD=4
OE=AE�r=8�r,在RtODE 中,
8�r
OD=r
)2
DE=4,OE=8�r,
故∵OD2=DE2+OE2,即r2=42+(
选B. 点评:
,解得r=5.
本 题考查的是垂径定理及圆
周角定理,熟知平分弦(不是直径)的直径垂
直于弦,并且平分弦所对 的两条弧是解答此题
的关键.


15、(
长为
A.3
4

2013年佛山)半径为3的圆中,一条弦

O作
,则圆心到这条弦的距离是(
B.4
D
C. D. 分析:过点
OD⊥AB于点,由垂径定理可求出BD的长,在
Rt△BOD中,利用勾股 定理即可得出OD的
长.
D
解:如图所示:
AB=3

过点O作OD⊥AB于点
在Rt△BOD, ∵OB=3,
OD= = =
,OD⊥AB, ∴BD=AB=×4=2,
故选C. 中,
点评:本题考查的是垂径定理,根据题意画出
20 × 20



图形,利用勾股定理求出OD的长是解答此题的
关键 < br>

16、(2013甘肃兰州4分、12)如图是一圆柱
形输水管的横截面,阴影部分为有水部分, 如
果水面AB宽为8cm,水面最深地方的高度为2cm,
则该输水管的半径为(
B.4cm C.5cm D.

6cm
) A.3cm
考点:垂径定理的应
O作OD⊥AB于点
OA=r
r


用 ;勾股定理.
D
分析:过点
,连接OA,由垂径定理可知AD= AB,设
则OD=r�2,在Rt△AOD中,利用勾股定理即可求
值.
点D
解答:解:如图所示:过点O作OD⊥AB于
, 设,连接OA, ∵OD⊥AB,
,则OD=r�2,
)2+42,


∴AD= AB= ×8=4cm
OA2=OD2+AD2
故选C
OA=r

在Rt△AOD中,
解得r=5cm.
,即r2=
. 点r�2
评:本题考查 的是垂径定理的应用及勾股定
理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形
是解答此题的关键.


17、(2013•内江)在平面直角坐标系xOy中,以
原点O为圆心的圆过点
B、 C
A(13,0),直线
y=kx�3k+4与⊙O交于
20 × 20
两点,则弦BC的长的最



小值为
考点:
24 .
分析: 根据直一次函数综合题.
D(3,线y=kx �3k+4必过点
是过点D
4),求出最短的弦CD
且与该圆直径垂直的弦,再求出O D的
O为圆心的圆过点A(13,长,再根据以原点
0),求出OB的长,再利用勾股定理求出 BD,即
可得出答案.
过点D(3,
解答: 解:∵直线y=kx�3k+4必
D
3
A
且与

4), ∴最短的弦CD是过点
D的坐标是(该圆直径垂直的弦, ∵点
4), ∴OD=5, ∵以原点
(13,
O为圆心的圆过点
∴OB=13

, 0), ∴圆的半径为13,
∴BD=12, ∴BC的长的最小值为24;
24. 点评:
故答案为:
此题考查了一次函数的综合,
用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有
关性质,关键是求出BC最短时的位置.


18、(13年安徽省4分、10)如图,点P是等
边三角形ABC外接圆⊙O上的点,在以下判断中,
不正确的是( ) A、当弦PB最长时,ΔAPC是
等腰三角形。
B、当ΔAPC是等腰三角形时,
PO⊥AC。 C、当PO⊥AC时,∠ACP=300. D、当∠ACP=300,
20 × 20



ΔPBC是直角三角形。


19、(2013•宁波)如图,AE是半圆
弦AB=BC=4
O的直径,
,弦CD=DE=4,连结OB,OD,则图中两个
10π . 阴影部分的面积和为
考点: 扇形面积的计算;勾股定理;垂径定
专题: 综合理;圆心角、弧、弦的关系.
题. 分析: 根据弦AB=BC,弦CD=DE,可得
O作 OF⊥BC于点F,OG⊥CD
,过点
∠BOD=90°,∠BOD=90°,过点
于 点
C
G,在四边形OFCG
N
中可得∠FCD=135°
作CN∥O F,交OG于点,判断△CNG、△OMN为等
腰直角三角形,分别求出NG、ON,继而得出
OG,在Rt△OGD中求出OD,即得圆
扇形面积公式求解即可.
AB=BC,弦CD=DE , ∴点B

O的半径,代入
解: ∵弦
D是
解答:
是弧AC的中点,点
过点O弧CE的中点, ∴∠BOD=90°,
F,OG⊥CD于点

G, 则
作OF⊥BC于点
BF=FG=2
中,

,CG=GD=2,∠
∠FCD=135°, 过FOG=45°
点C
在四边 形OFCG
N作CN∥OF,交OG于点

N
则∠FCN=90°,
∠NCG=135°�90°=45°
∴CG=NG=2,
20 × 20
∴△CNG为等腰三角形,
M,则MN=FC=2 , 过点作NM⊥OF于点



在等腰三角形MNO中,
Rt△OGD中,OD= = =2 ,
S

NO= MN=4
即圆

O
, ∴OG=ON+NG=6,
的半径为2 ,




阴影=S扇形OBD= =10π.
. 点评:
故答案为:< br>10π本题考查了扇形的面积计
算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的
关系,综合 考察的知识点较多,解答本题的关
键是求出圆0的半径,此题难度较大.


20、(2013• 宁夏)如图,将半径为2cm的圆形纸
片折叠后,圆弧恰好经过圆心
长为
考点:
2

cm.
3718684 分析:
D,根
O,则折痕AB的
垂径定理;勾股定理.
O通过作辅助线,过点作OD⊥AB交AB于 点
据折叠的性质可知OA=2OD,根据勾股定理可将AD
的长求出,通过垂径定理可求出AB 的长.
答: 解:过点O作OD⊥AB交AB于点D,

∵OA=2OD=2cm, ∴AD= = = cm, ∵OD⊥AB, ∴AB=2AD=
cm. 点评: 本题综合考查垂径定理和勾股
定理的运用.


21、(2013•包 头)如图,点A、B、C、D在
⊙O上,OB⊥AC,若∠BOC=56°,则∠ADB=
20 × 20
28 度.



考点:
析:
圆周角定理;垂径定理.
B是
3718684 分
根据垂径定理可得点中点,由圆
解周角定理可得∠ADB= ∠BOC,继而得出答案.
答: 解:

∵OB⊥AC, ∴ = , ∴∠ADB=
点评: ∠BOC=28°.故答案为:28.此题考
查了圆周角定理,注意掌握在同圆或等 圆中,
同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆
心角的一半.


22、(2013•株洲)如图AB是⊙O的直径,
∠BAC=42°,点
48 度.
垂径定理. 分析: 根据点D是弦
即可
D是弦AC的中点,则∠DOC的度数是
考点:
AC的中点,得到OD⊥AC,然后根据
求得答案. 解答: 解:∵AB
∠DOC=∠DOA
是⊙O的直径,
∴OA=OC ∵∠A=42° ∴∠ACO=∠A=42° ∵D
∴OD⊥AC,
为AC的中点,
. 故答案 ∴∠DOC=90°�∠DCO=90°�42°=48°
点评: 为:48.本题考查了垂径定理的知
识,解题的关键是根的弦的中点得到弦的垂
线.


23、(2013•黄冈)如图,
20 × 20
M是CD的中点,



EM⊥CD,若


CD=4

,EM=8,则 所在圆的半径
考点:垂径定理;勾股定理.
分析:
3481324
M
专题:
是CD的探究型.首先连接OC,由
O中点,EM⊥CD,可得E M过⊙O的圆心点
半径为x
,然后设
8�x),由勾股定理即可求得:(
2+22=x2,解此方程即可求得答案.
解:连接OC,
⊙O的圆心点O
∵M

解答:
是CD的中点,EM⊥CD, ∴EM过
设半径为

x, ∵CD=4,EM=8,
, ∴CM= CD=2,OM=8�OE=8�x,
即(8�x)2+22=x2,


在Rt△OEM中,OM2+CM2=OC2
解得:x= .



所在圆的
此半径为:故答案为:点评:
题考查了垂径定理以及勾股定理. 此题难度不
大,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结
合思想与方程思想的应用.


24、(2013•绥化)如图,在⊙O中,弦AB垂直平
分半径OC,垂足为
AB的长为
考点:
算题.
20 × 20
D,若⊙O的半径为2,则弦
2 .
专题: 计

垂径定理;勾股定理.
分析: 连接OA,由AB垂直平分OC,



求出OD的长,再利 用垂径定理得到D为AB的中
点,在直角三角形AOD中,利用垂径定理求出AD
的长,即可确 定出AB的长. 解答:
OD= OC=1

解:连
接OA,由AB垂直平分OC,得到
∵OC⊥AB
=2 .
, ∴D为AB的中点,



AB=2AD=2 =2
此题考查了故答案为:2 .点评:
垂径定理,以及勾股定理,熟练掌握垂径定理
是解本题的关键.


25、(
点A
2013哈尔滨)如图,直线AB与⊙O相切于
⊙O


,AC、CD是⊙O的两条弦,且CD∥AB,若
,CD=4,则弦AC的长为 . 的半径为
点:垂径定理;勾股定理。切线的性质。

析::本 题考查的是垂径定理的应用切线的性质
及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直
角三角形是 解答此题的关键。 解答:连接OA,
作OE⊥CD于E,易得OA⊥AB,CE=DE=2,由于CD ∥AB得EOA三点
共线,连OC,在直角三角形OEC中
OE= ,从而
得AC=


26、(2013•张家界)如图,⊙O的直径AB与弦CD
20 × 20
,由勾股定理得
AE=4,再直角三角形AEC中由勾股定理



垂直,且∠BAC=40°,则∠BOD=
考点:
析:

80° .
3718684 分圆周角定理;垂径定理.
B是 根据垂径定理可得点中点,由圆
解周角定理可得∠BOD=2∠BAC,继而得出答案.
答: 解:∵,⊙O的直径AB与弦CD垂直, ∴
故答案为:80°. 点= , ∴∠BOD=2∠BAC=80°.
评: 此题考查了 圆周角定理,注意掌握在同
圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这
条弧所对的圆心角的一 半.


27、(2013•遵义)如图,OC是⊙O的半径,AB是
弦,且OC⊥AB,点52° 度.
圆周角定理;垂径定理.3718684 分
P在⊙O上,∠APC=26°,则∠BOC=
考点:
析: 由OC是⊙O的半径,AB是弦,且OC⊥AB,根
据垂径定理的即可求得: = ,又由圆周角定
理,即可求得答案. 解答: 解:∵OC是⊙O
的半径,AB是弦,且OC⊥AB, ∴ = ,
∴∠BOC=2∠APC=2×26°=52°.
评:
故答案为:52°. 点
此题考查了垂径定理与圆周角定理.此
题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用.
20 × 20





28、(
C
2013陕西)如图,AB是⊙O的一条弦,点

7
且∠ACB=30°,点E、
G
F

分别
H两
是⊙O上一动点,
是AC、BC的中点,
点,若⊙O的半径为
为 .
直线EF与⊙O交于
, 则GE+FH的最大值
考点:此题一般考查的是与圆有关的< br>计算,考查有垂径定理、相交弦定理、圆心角
与圆周角的关系,及扇形的面积及弧长的计算
公式等知识点。 解析:本题考查圆心角与圆
周角的关系应用,中位线及最值问题。连接
OA,OB, 因为∠ACB=30°,所以∠AOB=60°,所以
E、F中AC、BC的中点, 所以OA=OB=AB=7,因为
EF= =3.5,因为GE+FH=GH-EF,要使GE+FH最 大,而
EF为定值,所以GH取最大值时GE+FH有最大值,
所以当GH为直径时,GE+F H的最大值为


29、(2013年广州市)如图
O
7
14-3.5=10.5
,在平面直角坐
P在第一象限,

标系中,点

为坐标原点,点
A轴交于O,A两点,点
,则点P
的坐标为(6,0),
____________. 半径为
过点P
的坐标为
D
分析:< br>作PD⊥x轴于点,连接OP,先由垂径定
理求出OD的长,再根据勾股定理求出PD的长,20 × 20



故可得出答案.
D,连接OP,
解:过点
(6,

P作PD⊥x轴于点
∵A0),PD⊥OA, ∴OD=OA=3,
∴PD= = =2
3,
, ∴P在Rt△OPD中, ∵OP= ,
(3,2).
OD=3
故答案为:

(2).
点评:本题考查的是垂径定理,根据题意作出
辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键 < br>

30、(2013年深圳市
8
)如图5所示,该小组发现
米高旗杆DE的影子E F落在了包含一圆弧型小
桥在内的路上,于是他们开展了测算小桥所在
图的半径的活动。小刚身 高1.6米,测得其影长
为2.4米,同时测得EG的长为3米,HF的长为1
米,测得拱高( 弧GH的中点到弦GH的距离,即
MN的长)为
析:
2米,求小桥所在圆的半径。 解
(2013•白银)如图,在⊙O中,半径OC垂
E


2


(1)若OC=5,直于弦AB,垂足为点
AB=8
D
,求tan∠BAC; )若∠DAC=∠BAC,且点
在⊙O的外部,判断直线AD与⊙O的位置关系,
并加以证明.
考点:
理.
20 × 20
切线的判定;勾股定理;垂径定
计算题. 分析:

(1)根 专题:



据垂径定理由半 径OC垂直于弦AB,AE=AB=4,再根
据勾股定理计算出OE=3,则EC=2,然后在Rt△A EC
的值; 中根据正切的定义可得到
(2
tan∠BAC
)根据垂径定理得 到AC弧=BC弧,再利用圆
∠DAC=∠BAC,所周角定理可得到∠AOC=2∠BAC,由于以∠AOC=∠BAD,利用∠AOC+∠OAE=90°即可得到
∠BAD+∠OAE=90°, 然后根据切线的判定方法得AD为
⊙O的切线. 解答: 解:(

1)∵半径OC垂
OA=5,直于弦AB, ∴AE=BE=AB=4,
AE=4AE=4
(2
在Rt△OAE中,
, ∴OE= =3, ∴EC=OC�OE=5�3=2,
,EC=2, ∴tan∠BAC= ==;
在Rt△AEC中,
)AD与⊙O相切.理由如下: ∵半径OC垂直
∴∠AOC=2∠BAC, 于弦AB, ∵AC弧=BC弧,
∵∠DAC=∠BAC, ∴∠AOC=∠BAD, ∵∠AOC+∠OAE=90°,
∴∠BAD+∠OAE=90°
线. 点评:
, ∴OA⊥AD, ∴AD为⊙O的切
本题考查了切线的判定定理:
过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切
线.也考查了勾股定理以及垂径定理、圆周角
定理.


31、(2013•黔西南州)如图,AB是⊙O的直径,
20 × 20



弦CD⊥AB与点E,点

P
2
在⊙O上,∠1=∠C,
)若BC=3,


(1)
求证:CB∥PD;
的直径.
考点:
sin∠P= ,求⊙O
圆周角定理;圆心角、弧、弦的关
专题: 几何综系;锐角三角函数的定义.
合题. 分析:

(1)要证明CB∥PD,可以求
得∠1=∠P,根据 = 可以确定∠C=∠P,又知∠1=∠C,即
可得∠1=∠P;

(2)根据题意可知∠P=∠CAB,则
解sin∠CAB=,即 = ,所以可以求得圆的直径.
答: (

1)证明:∵∠C=∠P 又∵∠1=∠C ∴∠1=∠P
∴CB∥PD


(2)解:连接AC ∵AB为⊙O的直径, ∴∠ACB=90° 又
, ∴ = , ∴∠P=∠CAB, ∴sin∠CAB= ,
又知,BC=3, ∴AB=5, ∴直径为5




∵CD⊥AB
= ,
评:

本题考查的是垂径定理和平行线、圆周
角性质,解题时细心是解答好本题的关键.


32、(2 013•恩施州)如图所示,AB是⊙O的直
径,AE是弦,
于点D
C是劣弧AE的中 点,过
F,过C
C作CD⊥AB
,CD交AE于点
G. (1
作CG∥AE交BA的延
长线于点
20 × 20
)求证:CG是⊙O的切



线.

(2)求证:AF=CF.
,求GA的长.


(3)若
∠EAB=30°,
考点:
CF=2
切线的判定;等腰三角形的判 定与性
质;垂径定理;圆周角定理;相似三角形的判
定与性质.
(1
3718 684 专题:
C
证明题. 分析:
)连结OC,由是劣弧AE的中点,根据垂< br>径定理得OC⊥AE,而CG∥AE,所以CG⊥OC,然后根据
切线的判定定理即可得到结论;

(2)连结
AC、BC,根据圆周角定理得∠ACB=90°,∠B=∠1,而
CD⊥AB,则 ∠CDB=90°,根据等角的余角相等得到∠
B=∠2,所以∠1=∠2,于是得到AF=CF; ( 3)在
Rt△ADF中,由于∠DAF=30°,FA=FC=2,根据含30度的直
角三角形 三边的关系得到DF=1,AD= ,再由
AF∥CG,根据平行线分线段成比例得到DA:
AG=DF:CF 然后把
可. 解答:
DF=1
(1
,AD= ,CF=2代入计算即
)证明:连结OC,如图,
∵C是劣弧AE的中点, ∴OC⊥AE, ∵CG∥AE,
∴CG⊥OC
(2
, ∴CG是⊙O的切线;
)证明:连结AC、BC, ∵AB是⊙O的直径,
而CD⊥AB, ∴∠ACB=90°, ∴∠2+∠BCD=90°,
20 × 20



∴∠B+∠BCD=90°, ∴∠B=∠2, ∵AC弧=CE弧, ∴∠1=∠B,
∴∠1=∠2,
(3
∴AF=CF;
∴DF= )解:在Rt△ADF中,∠DAF=30°,FA=FC=2,


∴AD= DF=
AG=
1:2
AF=1

, ∵AF∥CG, ∴DA:AG=DF:CF,
, ∴AG=2 . 点评: 本题考
查了圆的切线的判定:过半 径的外端点与半径
垂直的直线为圆的切线.也考查了圆周角定
理、垂径定理和等腰三角形的判定 .


33、(2013•资阳)在⊙O中,AB为直径,点
圆上一点,将劣弧沿弦AC翻折交A B于点
结CD.
合,
若点


(1)如图1,若点
r;
D< br>(
与圆心
2
D
O
C为
,连

2,A C=2
D
,求⊙O的半径
O
)如图
与圆心不重合,∠BAC=25° ,请直接写出
∠DCA的度数.
考点: 垂径定理;含30度角的直角三角形;
分析: 圆周角定理;翻折变换(折叠问题).


(1)过点O作OE⊥AC于E,根据垂径定理可得
AE= AC,再根据翻折的性质可得OE= r,然后在
Rt△AOE中,利用勾股定理列式计算即可得解;


(2)连接BC,根据直径所对的圆周角是直角
20 × 20



求出∠ACB,根据直角三角形两锐角互余求出
∠B,再 根据翻折的性质得到
然后根据∠ACD等于
所对的圆周角,
所对所对的圆周角减去
解答:
E,
的圆周角,计算即可得解.


(1)如 图,过点O
D
解:
作OE⊥AC于
与圆心

O
则AE= AC=
∴OE= r
2
, ×2=1, ∵翻折后点
在Rt△AOE中,
解得r= ;
(2
重合,
AO2=AE2+OE2即r2=12+( r),
)连接BC, ∵AB是直径, ∴∠ACB=90°,
根据翻∵∠BAC=25°, ∴∠B=90°�∠BAC=90°�25°=65°,
折的性质,
角,
所对的圆周角等于

所对的圆周
本题 ∴∠DCA=∠B�∠A=65°�25 °=40°点评:
考查了垂径定理,勾股定理的应用,翻折的变
换的性质,以及圆周角定理,( 1)作辅助线
构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形
是解题的关键,

(2)根据同弧所对 的圆周角
相等求解是解题的关键.

20 × 20

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