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3~ 三角函数公式的正用、逆用与变用 三角函数的公式

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三角函数的公式
第3讲 考纲要求: 三角函数公式的正用、逆用与变用 sinx1.理解同角三角函数的基本关系式:sinx+cosx=1,cosx=tanx. 22πα,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2±3.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆). 基础知识回顾: 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2cos21, (2)商数关系:tan2.三角函数的诱导公式 sin. cos2k)tan,其中k∈Z. 公式一:sin(2k)sin,cos(2k)cos,tan(公式二:sin(π+)=sin,cos(π+)=cos,tan(π+)=tan. 公式三:sin(-)=sin,cos(-)=cos,tan(-)=-tan. 公式四:sin(π-)=sin,cos(π-)=cos,tan(π-)=-tan. 注、
(1)三角函数诱导公式f(k)(kZ)的本质是“奇变偶不变,符号看象限” 2
(2)诱导公式的应用之一是求任意角的三角函数值,其一般步骤:①负角变正角,再写成2kπ+α(0≤α<2π);②转化为锐角. 3.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin( ± β)=sin cos β ± cos sin β;cos(∓β)=cos cos β ±tan( sin sin β;tan α±tan β ± β)=1∓tan αtan β. 4.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2=2sin cos ;cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2;tan 2=4). 2tan.1tan2[来源:] cos=2sin(1+sin2=(sin+cos)2,1-sin2=(sin-cos)2,sin±5.辅助角公式 baasinx+bcosx=a+bsin(x+φ),其中sinφ=a2+b2,cosφ=a2+b2. 22 6.角和与差的正弦、余弦、正切公式与倍角公式的关系 应用举例:[来源:] 类型一、同角三角函数基本关系式的“三用” 113,则sincos( ) sincos1111A. B. C.或1 D.或-1 3333【例1】若[来源学科网]【例2】若A. B. C. ,则 D. 的值为( ) 类型二、三角函数公式的基本应用 【例3】已知0,且sin4,则tan( ) 54A. 111 B. 7 C. 或7 D. 或7 777【例4】下列各式中,值为3的是( ) 221tan150sinA. sin15cos15 B. cos C. D. 012121tan150021cos300 2【例5】已知为锐角,若sin2cos21,则tan( ) 511A.3 B.2 C. D. 23类型三、三角函数公式的逆用与变用 【例6】已知cos73sin62tan,则( ) 12 A. 423 B. 234 C. 443 D. 434 【例7】在△ABC中,若tan Atan B= tan A+tan B+1, 则cos C的值为( ) 2211A.-2 B.2 C.2 D.-2 αααα2102sin2+8sin2cos2+8cos2-5【例8】若α是第二象限角,sin(π-α)=10.则=________. π2sinα-42类型四、三角函数公式在解三角形中的应用[来源:] 【例9】在ABC中, a,b,c分别为角A,B,C的对边,且3acosBbcosCccosB, ABC的面积S22.
(1)求cosB;
(2)若b3,且ac,求sinC的值. 【例10】在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若ccosBbcosC
(1)证明:tanC2tanB;
(2)若a3,tanA1a. 39,求ABC的面积. 7方法、规律归纳: 1.三种方法——三角函数求值与化简的常用方法 (1)弦切互化法:主要利用公式tansin化成正、余弦. coscosθ)2=1±(2)和积转换法:利用(sinθ±2sinθcosθ的关系进行变形、转化. (3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan2.两个技巧——拼角、凑角的技巧 (1)用已知角表示未知角 2α=(α+β)+(α-β);2β=(α+β)-(α-β);α=(α+β)-β=(α-β)+β; α+βα-βα+βα-βα-βα=2+2,β=2-2;2=()()等. =…. 422 (2)互余与互补关系 (35)();()();()();()()… 4423624466 3.三个变换——应用公式解决问题的三个变换角度 (1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”. (2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 实战演练: 1.已知tan24cos2,2,则tan2( ) A. 157 B. 157 C. 15158 D. 8 2.已知是第四象限角,且cos435,则tan4( ) A. 43 B. 34 C. 43 D. 34 3.若cos17,cos1114,0,2,2,,则为( ) A. 3 B. 6 C. 3 D. 6 4.已知aR,2sincos102,则tan2 ( ) A. 43 B. 3344 C. 4 D. 3 5.若tan417,则cos22sin2( ) A. 6448[来源学科网ZXXK]25 B. 25 C. 1 D. 1625 6.在ABC中, 3sinBcosB2,则tanA2tanCAC23tan2?tan2的值是(A. 3 B. 3 C. 3 D. 33 7.已知cos43116sin5,则sin6的值是( ) A. 235 B. 45 C. 2345 D. 5 ) 2017sin2018( ) 8.已知tan2018tan,则2018sin2018A. 1 B. 1 C. 20172017 D. 201920199.已知锐角 满足3sincos8,则tan 5A. 43 B. 43 C. 433 D. 4 10.设ABC三个内角 A,B,C的对边分别为a,b,c,
(1)求角C的值;
(2)求sinBcosA的取值范围. 6ABC的面积S满足43Sa2b2c2. 三角函数的公式。
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