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《1.2.3三角函数的诱导公式二》教学案 三角函数的公式

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三角函数的公式
《1.2.3三角函数的诱导公式(二)》教学案 ●三维目标 1.知识与技能 (1)能够推导公式五、六. (2)能够应用公式五、六解决一些三角函数求值、化简和证明问题. 2.过程与方法 (1)借助于单位圆,利用对称性,推导公式五、六. (2)观察公式五、六的结构特征,统一为“函数名改变,符号看象限”. (3)特别注意公式的使用中,三角函数值的符号变化问题. 3.情感、态度与价值观 用联系的观点,发现并证明诱导公式,体会把未知问题化归为已知问题的数学思想方法.●重点难点 重点:诱导公式五、六的推导. 难点:灵活运用诱导公式进行化简、求值、证明. 教学方案设计 ●教学建议 关于诱导公式五、六的教学,建议教师注重公式的推导过程,特别突出关于直线y=x对称的两点的坐标关系,这是理解和记忆公式的关键.另外要向学生讲清这组公式与诱导公式一、二、三、四的区别,利用适当的训练题加以巩固这几组诱导公式的关系及应用. ●教学流程 创设问题情境,引导学生推导出诱导公式五、六.⇒引导学生探究诱导公式五、六的特征以及与诱导公式一~四的区别,并总结诱导公式五、六的记忆口诀“函数名改变,符号看象限”.⇒通过例1及其互动探究,使学生掌握利用诱导公式五、六解决给值求值问题的方法.⇒⇒⇒通过完成例2及其变式训练,使学生掌握利用诱导公式解决化简求值问题的方法.完成例3及其变式训练,总结利用诱导公式证明三角恒等式的方法.归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标,巩固所学知识并进行反馈矫正. 课前自主导学 1.能借助单位圆中的三角函数定义推导诱导公式五、(难六.课标解读 点) 2.掌握六组诱导公式,能灵活运用诱导公式解决三角函数式的求值、化简、证明等问题.(重点) 【问题导思】 ππ 若α为锐角,sin(2-α)与cos α,cos(2-α)与sin α有何关系。 ππ
【提示】 sin(2-α)=cos α,cos(2-α)=sin α. 终边关于直线y=x对称的角的诱导公式(公式五) πsin(2-α)=cos_α; πcos(2-α)=sin_α.
【问题导思】 ππ 利用公式二和公式五,能否确定sin(2+α)与cos α,cos(2+α)与sin α的关系。
ππππcos(2+α)=cos[2-(-α)]=sin(-α)
【提示】 sin(2+α)=sin[2-(-α)]=cos(-α)=cos α,=-sin α. π 2+α型诱导公式(公式六) πsin(2+α)=cos_α; πcos(2+α)=-sin_α. 当堂双基达标 给值求值 诱导公式六 诱导公式五 13例1 (1)已知sin(π+A)=-2,则cos(2π-A)的值是________. π1π(2)已知sin(3-α)=2,则cos(6+α)的值是________. 113π
【思路探究】 (1)先化简sin(π+A)=-2得sin A=2,再利用诱导公式化简cos(2-A)即可.ππππ(2)探索已知角3-α与6+α之间的关系,根据诱导公式将cos(6+α)化为3-α的三角函数求解. 113ππ
【自主解答】 (1)sin(π+A)=-sin A=-2,∴sin A=2,cos(2-A)=cos(π+2-A)=-π1cos(2-A)=-sin A=-2. πππ(2)∵(3-α)+(6+α)=2, πππ∴6+α=2-(3-α), ππππ1∴cos(6+α)=cos[2-(3-α)]=sin(3-α)=2. 11
【答案】 (1)-2 (2)2 规律方法 1.给值求值型问题,若已知条件或待求式较复杂,有必要根据诱导公式化到最简,再确定相关的值. πππππ2.巧用相关角的关系会简化解题过程.常见的互余关系有3-α,6+α;3+α,6-α;4+ππ2ππ3πα,4-α等.常见的互补关系有3+θ,3-θ;4+θ,4-θ等. 互动探究 5 若本例(2)中条件不变,如何求cos(6π-α)的值。 5πππ
【解】 ∵(6-α)-(3-α)=2, 5πππ∴6-α=2+(3-α), 5ππππ1∵cos(6-α)=cos[2+(3-α)]=-sin(3-α)=-2. 例2 化简: 3π2-α-α--απα-2-α. 化简问题
【思路探究】 解决本题的关键是熟练地应用三角函数诱导公式.
【自主解答】 原式 πsin[π+2-α=+α-=2-α-tan α π2-α-tan α π2-α-cos αsin α-cos α·sin αtan αcos α·cos α-cosα·=-cos α·sin α=sin α=1. 规律方法 用诱导公式化简求值的方法: (1)对于三角函数式的化简求值问题,一般遵循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式化简变形,达到角的统一,再进行切化弦,以保证三角函数名最少. π(2)对于kπ±α和2±α这两套诱导公式, 切记运用前一套公式不变名,而后一套公式必须变名.变式训练 θ- 化简:3πθ-2π-2-θ-θ-π-2+θ-θ-θ -θ. sin[-6π++θ
【解】 原式=πsin[-2π+2+θ+θπ2+θπ2+θ-sin θθ=-sin θ. θ == -sin θ-sin θcos θ-sin θ 3πθ-2θ+2-1= 1-2sin2θ证明三角恒等式 例3 求证:+θ+1+θ-1.
【思路探究】 考虑到等式左、右两边形式都很复杂,可以使用左右归一法证明,即证明等式的左、右两边都等于同一个式子. 3π2sin[-2π-θ2+θ-1
【自主解答】 左边=1-2sin2θsin θ-11+2sin θcos θ-2cos θ·222==2sinθ-1-2sinθθ+cos2θ =θ+cos θ2sinθ-cos2θ2sin θ+cos θtan θ+1=sin θ-cos θ=tan θ-1. +θ+1tan θ+1=tan θ-1. tan θ-1右边=+π+θ+1=tan θ-1∴左边=右边,原式成立. 规律方法 三角恒等式的证明策略: (1)遵循的原则:在证明时一般从左边到右边,或从右边到左边,或左右归一,总之,应遵循化繁为简的原则. (2)常用的方法:定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1”的代换法. 变式训练 -α 求证:
【证明】 左边 -α=π+2-απ+2+απ2-α-π2+αα -α 3πα+23π2-α3πα+2-α=-tan α. πsin[π+2+α[--tan α·=π-2+αtan αsin αcos α=-cos α·sin α=-tan α=右边. ∴原等式成立. 思想方法技巧 三角函数问题中的方程思想 ππ典例 (14分)是否存在角α,β,α∈(-2,2),β∈(0,π),使-α=2π2-β,3-α=-2+β 同时成立。若存在,求出角α,β;若不存在,请说明理由.
【思路点拨】 先利用三角函数的诱导公式化简已知条件,再利用方程思想和同角三角函数的基本关系式求解.
【规范解答】 将已知方程组化 为{sin α=2sin β, ①22223cos α=2cos β, ② 2分 21①+②得sinα+3cosα=2,∴cosα=2. 4分 ππ∵α∈(-2,2), 2ππ∴cos α=2,∴α=4或-4, 6分 π3将α=4代入②得cos β=2,8分 π∵β∈(0,π),∴β=6. ππ将α=4,β=6代入①,符合条件.10分 π3将α=-4代入②得cos β=2, π∵β∈(0,π),∴β=6.12分 ππ将α=-4,β=6代入①,不符合条件,舍去. ππ综上可知存在满足条件的角α,β,α=4,β=6. 14分 22首先利用已知条件得出关于cos α的方程,再利用平方关系式sinα+cosα=1,求出cos α的值,进而求出相应的角.建立方程是解题的关键. π1.2±α的正弦(余弦)函数值,等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上把α看成锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“函数名改变,符号看象限”. 2.利用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化. π3.k·2+α(k∈Z)的三角函数值,当k为偶数时,得α的同名函数值;当k为奇数时,得α的异名函数值,然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号.概括为“奇变偶不变,符号看象限”,这里的奇偶是指k的取值是奇数还是偶数. 当堂双基达标 1.sin 95°+cos 175°=________. )=cos 5°)=-cos 5°
【解析】 ∵sin 95°=sin(90°+5°,cos 175°=cos(180°-5°, ∴sin 95°+cos 175°=0.
【答案】 0 3ππ2.化简sin(π+α)cos(2+α)+sin(2+α)cos(π+α)=________.
【解析】 原式=-sin αsin α+cos α(-cos α) 22=-sinα-cosα=-1.
【答案】 -1 π2+θ-π2-θ--θ=________. -θ3.已知tan θ=2,则cos θ--cos θ2cos θ22
【解析】 原式==cos θ-sin θ=1-tan θ=1-2=-2. cos θ-sin θ
【答案】 -2 πα-2sin(α-π)cos (2π-α)=-sin2α. 5π2+απ2-αsin αsin αcos(-α)=-cos αsin αcos α=-sin2α=右边,∴原π2+α4.求证:
【证明】 ∵左边=-等式成立. 课后知能检测 一、填空题 1.sin 480°的值为________. 3)=sin 120°)=cos 30°
【解析】 sin 480°=sin(360°+120°=sin(90°+30°=2. 3
【答案】 2 1π2.如果cos α=5,且α是第四象限角,那么cos(α+2)=________.
【解析】 由已知得,sin α=-11-5226=-5. π2626所以cos(α+2)=-sin α=-(-5)=5. 26
【答案】 5 3ππ3.若sin(θ+2)>0,cos(2-θ)>0,则角θ的终边位于第________象限. 3ππ
【解析】 sin(θ+2)=-cos θ>0,∴cos θ<0,cos(2-θ)=sin θ>0,∴θ为第二象限角.
【答案】 二 4.若f(sin x)=3-cos 2x,则f(cos 30°)=________. 7)=f(sin 60°)=3-cos 120°)=f(sin 120°)=3
【解析】 f(cos 30°=3+cos 60°=2或f(cos 30°7-cos 240°=3-cos 120°=2. 7
【答案】 2 π1π5.(2013·宁波高一检测)已知sin(α-4)=3,则cos(4+α)=________. πππ
【解析】 ∵(4+α)-(α-4)=2, ππππ1∴cos(4+α)=cos[2+(α-4)]=-sin(α-4)=-3. 1
【答案】 -3 6.若角A,B,C是△ABC的三个内角,则下列等式中一定成立的是________. ①cos (A+B)=cos C;②sin(A+B)=-sin C; B+CAA③cos(2+C)=cos B;④sin 2=cos 2.
【解析】 ∵A+B+C=π,∴A+B=π-C,∴cos(A+B)=-cos C,sin(A+B)=sin C,B+CπAA 所以①②都不正确;同理B+C=π-A,所以sin 2=sin(2-2)=cos 2,所以④是正确的.
【答案】 ④ π3π7.(2013·徐州高一检测)已知cos(2+φ)=2,且|φ|<2,则tan φ=________. π33
【解析】 cos(2+φ)=-sin φ=2,sin φ=-2, π1又∵|φ|<2,∴cos φ=2,故tan φ=-3.
【答案】 -3 1π8.已知cos α=3,且-2<α<0, -α-则3π2-α+απ2+αα-α=________. -tan α1π=tan α,∵cos α=3 ,-2<α<0, -sin α-cos α
【解析】 原式=-cos α222sin α∴sin α=-1-cosα=-3,∴tan α=cos α=-22.
【答案】 -22 二、解答题 19.已知cos(75°)的值. +x)=3,其中x为第三象限角,求cos(105°-x)-2cos(x-15°1
【解】 由条件,得cos(105°-x)=cos(180°-75°-x)=-cos(75°+x)=-3, cos(x-15°)=cos(-90°+75°+x)=sin(75°+x). 又x为第三象限角,cos(75°+x)>0, 所以x+75°为第四象限角. 22所以sin(75°+x)=-3. 122(-3)=1. 于是原式=-3-2×10.3πα+2已知sin α是2方-α程5x2-7x-6=0的根,求3π2-απ2-α2-α的值. π2+α3322
【解】 由于方程5x-7x-6=0的两根为2和-5,所以sin α=-5,再由sinα+cosα=1,2α-tan α-cos α-cos α432得cos α=±1-sinα=±5,所以tan α=±4,所以原式=sin α-sin α3=tan α=±4. 4311.已知角α的终边经过点P(5,-5). (1)求sin α的值; (2)求π2-αα+α-π-α的值. 43
【解】 (1)∵P(5,-5),|OP|=1, 3∴sin α=-5. π2-αα+α-cos αtan α14由三角函数定义知cos α=5,故-α=-sin α-cos α=cos α,(2)5所求式子的值为4. 教师备课资源 备选例题 α- 已知f(α)=(1)化简f(α); 3π1(2)若α是第三象限角,且cos(α-2)=5,求f(α)的值; 31π(3)若α=-3,求f(α)的值.
【思路探究】 利用诱导公式化简,根据题中所给条件求值. α-cos α-sin α
【自主解答】 (1)f(α)==-cos α. α-cos α3π11(2)∵cos(α-2)=-sin α=5,∴sin α=-5, 52-12又α是第三象限角,∴cos α=-5=-56, 2∴f(α)=56. 31ππ(3)∵-3=-5×2π-3, 31π31ππππ12π-3)=-cos(-3)=-cos 3=-2. ∴f(-3)=-cos(-3)=-cos(-5× 规律方法 3π-α-α+2. -π-α-π-α 此类题目是关于三角函数式的化简与求值.解决此类问题时,可先用诱导公式化简变形,将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式变形求解. 备选变式 3πθ-2 已知f(θ)=(1)化简f(θ); 1(2)若f(θ)=3,求tan θ的值; π15π(3)若f(6-θ)=3,求f(6+θ)的值. 3π2-θ-3π2+θ+θ=-sin θsin θ-cos θ=cos θ. -θ-7π2+θ.
【解】 (1)f(θ)=1(2)由题意得f(θ)=cos θ=3>0,故θ为第一或第四象限角. 22sin θ当θ为第一象限角时,sin θ=1-cosθ=3,tan θ=cos θ=22; 222sin θ当θ为第四象限角时,sin θ=-1-cosθ=-3,tan θ=cos θ=-22. 2ππ1(3)由题意得f(6-θ)=cos(6-θ)=3, 5π5ππ∴f(6+θ)=cos(6+θ)=cos[π-(6-θ)] π1=-cos(6-θ)=-3. 三角函数的公式。
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