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反三角函数求导公式的证明 三角函数的公式

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三角函数的公式
反三角函数求导公式的证明 §2.3 反函数的导数,复合函数的求导法则 一、反函数的导数 I设x(y)是直接函数,yf(x)是它的反函数,假定x(y)在y内单调、可I{x|x(y),yIy}导,而且(y)0,则反函数yf(x)在间x内也是单调、可导的,而且 f(x)1(y) (1) (x0,xxIx)证明: xIx,给x以增量x 由 yf(x) 在 Ix 上的单调性可知 yf(xx)f(x)0 yx1y因直接函数x(y)在Iy上单调、可导,故它是连续的,x于是 且反函数yf(x)在Ix上也是连续的,当x0时,必有y0 yx1xy1x0limlimy0(y)f(x)1即:(y) 【例1】试证明下列基本导数公式 11x(2).(arctgx)(3).(logax2(1).(arcsinx)1 )1x1xlna2 证
1、设xsiny为直接函数,yarcsinx是它的反函数 函数 xsiny在 Iy(,)22上单调、可导,且 xcosy0 因此,在 Ix(1,1)上, 有 1cosy (arcsinx) 注意到,当y(,)22时,cosy0,cosy1sin2y1x2 (arcsinx)11x2因此, 证2 设xtgy,Iy(,)22 则yarctgx,Ix(,) 1cos2xtgy 在 Iy上单调、可导且 xy0 1(arctgx)1(tgy)cos2y11tgy2故 (loga)x1x 21(a)y1alnay1xlna证3 类似地,我们可以证明下列导数公式: (arccosx)(arcctgx)(lnx)1x111x1x22 二、复合函数的求导法则 如果u(x)在点x0可导,而yf(u)在点u0(x0)可导,则复合函数yf[(x)]在点x0可导,且导数为 dydxxx0f(u0)(x0) 证明:因u0limyxf(u0),由极限与无穷小的关系,有 yf(u0)uu(当u0时,0) 用x0去除上式两边得: yxuxux f(u0)x由u(x)在0的可导性有: limlim0u0x0u0, x0limyxlim[f(u0)x0 uxuxx0u]x ux f(u0)limx0limlimx0x0f(u0)(x0) dy即dxf(u0)(x0)xx0 上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述: 若u(x)在开区间Ix可导,yf(u)在开区间Iu可导,且xIx时,对应的 uIu,则复合函数yf[(x)]在Ix内可导,且 dydxdydududx (2) 复合函数求导法则是一个非常重要的法则,特给出如下注记: 弄懂了锁链规则的实质之后,不难给出复合更多层函数的求导公式。 dy
【例2】yf{[(x)]},求 dx 引入中间变量, 设 v(x),u(v),于是 yf(u) 变量关系是 yuvx,由锁链规则有: dydydudvdxdudvdx (2)、用锁链规则求导的关键 引入中间变量,将复合函数分解成基本初等函数。还应注意:求导完成后,应将引入的中间变量代换成原自变量。 dy
【例3】求ysin2x的导数dx。
解:设 u2x,则ysinu,u2x,由锁链规则有: dydxdydu(sinu)(2x)(cosu)22cos2xdudx xdyylntg
【例4】 设 2,求dx。
dydydududvdvdx1u1cos2由锁链规则有 1tgx21cos2dx12v12 (基本初等函数求x2导) ( 消中间变量) 1sinx 由上例,不难发现复合函数求导窍门 中间变量在求导过程中,只是起过渡作用,熟练之后,可不必引入,仅需“心中有链”。
然后,对函数所有中间变量求导,直至求到自变量为止,最后诸导数相乘。 请看下面的演示过程: dydx(lntgx2)1tg12x2(tgx2)1tg1x21cos2x()x22 11tgx21cos2x2(x)tgx2cos2x22sinx 1(x)x
【例5】证明幂函数的导数公式 ,(为实数)。 证明:设yxelnx yelnx(lnx)elnx1xx1 三角函数的公式。
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