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三角函数中辅助角公式的应用 三角函数的公式

教学资源|题库|学习文库-「普洱教育」来源: https://www.puerjy.cn 2020-02-09 03:25公式大全 22822 ℃
三角函数的公式
辅助角公式在高考三角题中得应用 对于形如y=asinx+bcosx的三角式,可变形如下: y=asinx=bcosxa2b2(sinx·aab22cosx·babaab2222)。 上式中的aab22与bab22的平方和为1,故可记=cosθ,bab22=sinθ,则 ya2b2(sixncoscosxsin)absinx()。22 由此我们得到结论:asinx+bcosx=a2b2sin(x),(*)其中θ由aab22cos,bab22sin来确定。通常称式子(*)为辅助角公式,它可以将多个三角式的函数问题,最终化为y=Asin(x)+k的形式。
下面结合近年高考三角题,就辅助角公式的应用,举例分类简析。 一. 求周期 例1 求函数y2cos(x)cos(x)3sin2x的最小正周期。
44解: y2cos(x)sin(x)3sin2x44sin(2x)3sin2x23sin2xcos2x2sin(2x)6所以函数y的最小正周期T=π。 评注:将三角式化为y=Asin(x)+k的形式,是求周期的主要途径。
二. 求最值 例2. 已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。若x[0,2],求f(x)的最大值和最小值。 1 解:f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2sin(2x由0≤x≤4)。 24≤2x4≤3。 4当2x44,即x=0时,sin(2x4)最小值2; 2当2x43,即x时sin(2x)取最大值1。 428从而f(x)在[0,2]上的最大值是1,最小值是2。 三. 求单调区间 例3. 已知向量→(2cosaxxxx,tan()),→(2sin(),tan()),令2422424bf(x)→→,求函数f(x)在[0,π]上的单调区间。 ab解:f(x)→·→ abxxxx22cossin()tan()tan()2242424xx1tantan1x2x2x2·222cos(sincos)xx222221tan1tan22xxx 2sincos2cos21222sinxcosx2sin(x)。4先由0≤x≤4≤x≤4≤5。 4反之再由4≤x420≤x≤4;2≤x4≤5≤x≤。 44所以f(x)在[0,4]上单调递增,在[4,]上单调递减。 评注:以向量的形式给出条件或结论,是近两年来三角命题的新趋势,但最终仍要归结为三角式的变形问题。
而化为y=Asin(ωx+)+k的形式,是求单调区间的通法。 2 四. 求值域 例4. 求函数f(x)cos(6k16k12x)cos(2x)23sin(2x) 333(xR,kZ)的值域。 解:f(x)cos(2k2x)cos(2k2x)23sin(2x) 3332cos(2x)23sin(2x)334[sin(2x)coscos(2x)sin]36364sin(2x)。2 所以函数f(x)的值域是[-4,4]。
五. 图象对称问题 例6. 如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=8对称,那么a=( ) (A)2 (B)2 (C)1 (D)-1 解:可化为y1a2sin(2x)。 知x8时,y取得最值±1a2,即 sin2()acos2()±1a2882(1a)±1a221(1a)21a22a22a10a1选(D)。六. 图象变换 例7 已知函数y 13cos2sinxcosx1,xR。该函数的图象可由ysinx(xR)的22图象经过怎样的平移和伸缩变换得到。 解:y13(1cos2x)sin2x1 443 15(sin2xcoscos2xsin)266415sin(2x)。264 可将函数y=sinx的图象依次进行下述变换:

(1)向左平移,得到y=sin(x+)的图象; 661倍,纵坐标不变,得y=sin(2x)的2611倍,横坐标不变,得y=sin(2x+)226

(2)将

(1)中所得图象上各点横坐标变为原来的图象;

(3)将

(2)中所得图象上各点纵坐标变为原来的的图象;

(4)将

(3)中所得图象向上平移515个单位长度,得到y=sin(2x+)+的图象。 426413cos2xsinxcosx1的图象。 22综上,依次经过四步变换,可得y=七. 求值 例8. 已知函数f(x)=3sin2x+sinxcosx。设α∈(0,π),f(31)=,求sinα的值。 242解:f(x)=331(1cos2x)sin2x=sin(2x)。 3222由f(313)=sin(), 22432 得sin(14)=。 又α∈(0,π)(,)。 34333而sin3115>, 故α+(,),则 cos(α+)=。 4324332sinα=sin[()3] =sin()coscos()sin 33333=11153135() =。 84242评注:化为一种角的一次式形式,可使三角式明晰规范。在求sinα时,巧用凑角法:α=(α+)-,并且判断出α+的范围,进而求出cos(α+)的确切值,使整个求值过3333程方向明确,计算简捷。
4 八. 求系数 例9. 若函数f(x)=1cos2xxxasincos()的最大值为2,试确定常数a的值。 224sin(x)22cos2xxxasincos 解:f(x)=4cosx22 =cosxsinx 12a21a2 =sin(x), 4411a2其中角由sin=,cosa1a2来确定。 1a24,解得a=15。 由已知有44九. 解三角不等式 例10. 已知函数f(x)=sin2x+sin2x,x[0,2],求使f(x)为正值的x的集合。
解:f(x)=1-cos2x+sin2x =1+2sin(2x)。
42, 由f(x)>0,有sin(2x->)42则得2kπ-<2x<2k445, 4故kπ<x<kπ+3(kZ)。
437再由x[0,2π],可取k=0,1,得所求集合是 x0<x<,或<x<。 44 5 三角函数的公式。
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