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上海市2018年中考数学试题及解析 初中试题分析数学

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初中试题分析数学
2018年上海市初中毕业统一学业考试 数学试卷 (满分150分,考试时间100分钟) 一、选择题(本大题共6题,每题4分,满分24分。下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的) 1.(4分)下列计算A.4 B.3 C.2﹣的结果是( ) 2 D.2.(4分)下列对一元二次方程x+x﹣3=0根的情况的判断,正确的是( ) A.有两个不相等实数根 C.有且只有一个实数根 B.有两个相等实数根 D.没有实数根 3.(4分)下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述,正确的是( ) A.开口向下 C.经过原点 B.对称轴是y轴 D.在对称轴右侧部分是下降的 4.(4分)据统计,某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是:27,30,29,25,26,28,29,那么这组数据的中位数和众数分别是( ) A.25和30 B.25和29 C.28和30 D.28和29 5.(4分)已知平行四边形ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是( ) A.∠A=∠B B.∠A=∠C C.AC=BD D.AB⊥BC 6.(4分)如图,已知∠POQ=30°,点A、B在射线OQ上(点A在点O、B之间),半径长为2的⊙A与直线OP相切,半径长为3的⊙B与⊙A相交,那么OB的取值范围是( ) A.5<OB<9 B.4<OB<9 C.3<OB<7 D.2<OB<7 二、填空题(本大题共12题,每题4分,满分48分) 7.(4分)﹣8的立方根是 . 8.(4分)计算:(a+1)2﹣a2= . 9.(4分)方程组的解是 . 10.(4分)某商品原价为a元,如果按原价的八折销售,那么售价是 元. (用含字母a的代数式表示). 11.(4分)已知反比例函数y=(k是常数,k≠1)的图象有一支在第二象限,那么k的取值范围是 . 12.(4分)某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台,已知九年级200名学生义卖所得金额的频数分布直方图如图所示,那么20﹣30元这个小组的组频率是 . 13.(4分)从,π,为 . 这三个数中选一个数,选出的这个数是无理数的概率14.(4分)如果一次函数y=kx+3(k是常数,k≠0)的图象经过点(1,0),那么y的值随x的增大而 .(填“增大”或“减小”) 15.(4分)如图,已知平行四边形ABCD,E是边BC的中点,联结DE并延长,与AB的延长线交于点F.设=,=那么向量用向量、表示为 . 16.(4分)通过画出多边形的对角线,可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题.如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条,那么该多边形的内角和是 度. 17.(4分)如图,已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上,顶点G、F分别在边AB、AC上.如果BC=4,△ABC的面积是6,那么这个正方形的边长是 . 18.(4分)对于一个位置确定的图形,如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上,且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点(如图1),那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽,铅锤方向的边长称为该矩形的高.如图2,菱形ABCD的边长为1,边AB水平放置.如果该菱形的高是宽的,那么它的宽的值是 . 三、解答题(本大题共7题,满分78分) 19.(10分)解不等式组:,并把解集在数轴上表示出来. 20.(10分)先化简,再求值:(﹣)÷,其中a=. 21.(10分)如图,已知△ABC中,AB=BC=5,tan∠ABC=.

(1)求边AC的长;

(2)设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D,求的值. 22.(10分)一辆汽车在某次行驶过程中,油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示.

(1)求y关于x的函数关系式;(不需要写定义域)

(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时,该汽车会开始提示加油,在此次行驶过程中,行驶了500千米时,司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程,在开往该加油站的途中,汽车开始提示加油,这时离加油站的路程是多少千米。
23.(12分)已知:如图,正方形ABCD中,P是边BC上一点,BE⊥AP,DF⊥AP,垂足分别是点E、F.

(1)求证:EF=AE﹣BE;

(2)联结BF,如课=.求证:EF=EP. 24.(12分)在平面直角坐标系xOy中(如图).已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣1,0)和点B(0,),顶点为C,点D在其对称轴上且位于点C下方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处.

(1)求这条抛物线的表达式;

(2)求线段CD的长;

(3)将抛物线平移,使其顶点C移到原点O的位置,这时点P落在点E的位置,如果点M在y轴上,且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8,求点M的坐标. 25.(14分)已知⊙O的直径AB=2,弦AC与弦BD交于点E.且OD⊥AC,垂足为点F.

(1)如图1,如果AC=BD,求弦AC的长;

(2)如图2,如果E为弦BD的中点,求∠ABD的余切值;

(3)联结BC、CD、DA,如果BC是⊙O的内接正n边形的一边,CD是⊙O的内接正(n+4)边形的一边,求△ACD的面积. 2018年上海市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共6题,每题4分,满分24分。下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的) 1.(4分)下列计算A.4 B.3 C.2﹣的结果是( ) D.
【分析】先化简,再合并同类项即可求解.
【解答】解:=3=2﹣. ﹣ 故选:C. 2.(4分)下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断,正确的是( ) A.有两个不相等实数根 C.有且只有一个实数根 B.有两个相等实数根 D.没有实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式,即可得出△=13>0,进而即可得出方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根.
【解答】解:∵a=1,b=1,c=﹣3, ∴△=b2﹣4ac=12﹣4×

(1)×(﹣3)=13>0, ∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根. 故选:A. 3.(4分)下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述,正确的是( ) A.开口向下 C.经过原点 B.对称轴是y轴 D.在对称轴右侧部分是下降的
【分析】A、由a=1>0,可得出抛物线开口向上,选项A不正确; B、根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x=,选项B不正确; C、代入x=0求出y值,由此可得出抛物线经过原点,选项C正确; D、由a=1>0及抛物线对称轴为直线x=,利用二次函数的性质,可得出当x>时,y随x值的增大而增大,选项D不正确. 综上即可得出结论.
【解答】解:A、∵a=1>0, ∴抛物线开口向上,选项A不正确; B、∵﹣=, ∴抛物线的对称轴为直线x=,选项B不正确; C、当x=0时,y=x2﹣x=0, ∴抛物线经过原点,选项C正确; D、∵a>0,抛物线的对称轴为直线x=, ∴当x>时,y随x值的增大而增大,选项D不正确. 故选:C. 4.(4分)据统计,某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是:27,30,29,25,26,28,29,那么这组数据的中位数和众数分别是( ) A.25和30 B.25和29 C.28和30 D.28和29
【分析】根据中位数和众数的概念解答.
【解答】解:对这组数据重新排列顺序得,25,26,27,28,29,29,30, 处于最中间是数是28, ∴这组数据的中位数是28, 在这组数据中,29出现的次数最多, ∴这组数据的众数是29, 故选:D. 5.(4分)已知平行四边形ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是( ) A.∠A=∠B B.∠A=∠C C.AC=BD D.AB⊥BC
【分析】由矩形的判定方法即可得出答案.
【解答】解:A、∠A=∠B,∠A+∠B=180°,所以∠A=∠B=90°,可以判定这个平行四边形为矩形,正确; B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形,错误; C、AC=BD,对角线相等,可推出平行四边形ABCD是矩形,故正确; D、AB⊥BC,所以∠B=90°,可以判定这个平行四边形为矩形,正确; 故选:B. 6.(4分)如图,已知∠POQ=30°,点A、B在射线OQ上(点A在点O、B之间),半径长为2的⊙A与直线OP相切,半径长为3的⊙B与⊙A相交,那么OB的取值范围是( ) A.5<OB<9 B.4<OB<9 C.3<OB<7 D.2<OB<7
【分析】作半径AD,根据直角三角形30度角的性质得:OA=4,再确认⊙B与⊙A相切时,OB的长,可得结论.
【解答】解:设⊙A与直线OP相切时切点为D,连接AD, ∴AD⊥OP, ∵∠O=30°,AD=2, ∴OA=4, 当⊙B与⊙A相内切时,设切点为C,如图1, ∵BC=3, ∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5; 当⊙A与⊙B相外切时,设切点为E,如图2, ∴OB=OA+AB=4+2+3=9, ∴半径长为3的⊙B与⊙A相交,那么OB的取值范围是:5<OB<9, 故选:A. 二、填空题(本大题共12题,每题4分,满分48分) 7.(4分)﹣8的立方根是 ﹣2 .
【分析】利用立方根的定义即可求解.
【解答】解:∵(﹣2)3=﹣8, ∴﹣8的立方根是﹣2. 故答案为:﹣2. 8.(4分)计算:(a+1)2﹣a2= 2a+1 .
【分析】原式利用完全平方公式化简,合并即可得到结果.
【解答】解:原式=a2+2a+1﹣a2=2a+1, 故答案为:2a+1 9.(4分)方程组的解是 , .
【分析】方程组中的两个方程相加,即可得出一个一元二次方程,求出方程的解,再代入求出y即可.
【解答】解:②+①得:x2+x=2, 解得:x=﹣2或1, 把x=﹣2代入①得:y=﹣2, 把x=1代入①得:y=1, 所以原方程组的解为,, 故答案为: ,. 10.(4分)某商品原价为a元,如果按原价的八折销售,那么售价是 0.8a 元.(用含字母a的代数式表示).
【分析】根据实际售价=原价×即可得.
【解答】解:根据题意知售价为0.8a元, 故答案为:0.8a. 11.(4分)已知反比例函数y=那么k的取值范围是 k<1 .
【分析】由于在反比例函数y=k的取值范围即可.
【解答】解:∵反比例函数y=∴k﹣1<0, 解得k<1. 故答案为:k<1. 12.(4分)某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台,已知九年级200名学生义卖所得金额的频数分布直方图如图所示,那么20﹣30元这个小组的组频率的图象有一支在第二象限, 的图象有一支在第二象限,故k﹣1<0,求出(k是常数,k≠1)的图象有一支在第二象限, 是 0.25 .
【分析】根据“频率=频数÷总数”即可得.
【解答】解:20﹣30元这个小组的组频率是50÷200=0.25, 故答案为:0.25. 13.(4分)从,π,为 . 共2种情况,这三个数中选一个数,选出的这个数是无理数的概率
【分析】由题意可得共有3种等可能的结果,其中无理数有π、则可利用概率公式求解.
【解答】解:∵在,π,这三个数中,无理数有π,这2个, ∴选出的这个数是无理数的概率为, 故答案为:. 14.(4分)如果一次函数y=kx+3(k是常数,k≠0)的图象经过点(1,0),那么y的值随x的增大而 减小 .(填“增大”或“减小”)
【分析】根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值,再利用一次函数的性质即可得出结论.
【解答】解:∵一次函数y=kx+3(k是常数,k≠0)的图象经过点(1,0), ∴0=k+3, ∴k=﹣3, ∴y的值随x的增大而减小. 故答案为:减小. 15.(4分)如图,已知平行四边形ABCD,E是边BC的中点,联结DE并延长,与AB的延长线交于点F.设=,=那么向量用向量、表示为 +2 .
【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形,则DC=BF,故AF=2AB=2DC,结合三角形法则进行解答.
【解答】解:如图,连接BD,FC, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴DC∥AB,DC=AB. ∴△DCE∽△FBE. 又E是边BC的中点, ∴==, ∴EC=BE,即点E是DF的中点, ∴四边形DBFC是平行四边形, ∴DC=BF,故AF=2AB=2DC, ∴=+=+2=+2. 故答案是:+2. 16.(4分)通过画出多边形的对角线,可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题.如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条,那么该多边形的内角和是 540 度.
【分析】利根据题意得到2条对角线将多边形分割为3个三角形,然后根据三角形内角和可计算出该多边形的内角和.
【解答】解:从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条,则将多边形分割为3个三角形. 所以该多边形的内角和是3×180°=540°. 故答案为540. 17.(4分)如图,已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上,顶点G、F分别在边AB、AC上.如果BC=4,△ABC的面积是6,那么这个正方形的边长是 .
【分析】作AH⊥BC于H,交GF于M,如图,先利用三角形面积公式计算出AH=3,设正方形DEFG的边长为x,则GF=x,MH=x,AM=3﹣x,再证明△AGF∽△ABC,则根据相似三角形的性质得=,然后解关于x的方程即可.
【解答】解:作AH⊥BC于H,交GF于M,如图, ∵△ABC的面积是6, ∴BC•AH=6, ∴AH==3, 设正方形DEFG的边长为x,则GF=x,MH=x,AM=3﹣x, ∵GF∥BC, ∴△AGF∽△ABC, ∴=,即=,解得x=. , 即正方形DEFG的边长为故答案为. 18.(4分)对于一个位置确定的图形,如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上,且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点(如图1),那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽,铅锤方向的边长称为该矩形的高.如图2,菱形ABCD的边长为1,边AB水平放置.如果该菱形的高是宽的,那么它的宽的值是 .
【分析】先根据要求画图,设矩形的宽AF=x,则CF=x,根据勾股定理列方程可得结论.
【解答】解:在菱形上建立如图所示的矩形EAFC, 设AF=x,则CF=x, 在Rt△CBF中,CB=1,BF=x﹣1, 由勾股定理得:BC2=BF2+CF2, , 解得:x=或0(舍), , 即它的宽的值是故答案为:. 三、解答题(本大题共7题,满分78分) 19.(10分)解不等式组:,并把解集在数轴上表示出来.
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分就是不等式组的解集.
【解答】解:解不等式①得:x>﹣1, 解不等式②得:x≤3, 则不等式组的解集是:﹣1<x≤3, 不等式组的解集在数轴上表示为: 20.(10分)先化简,再求值:(﹣)÷,其中a=.
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式,再将a的值代入计算可得.
【解答】解:原式=[==当a=原式=, 时, ==5﹣2. • ﹣]÷ 21.(10分)如图,已知△ABC中,AB=BC=5,tan∠ABC=.

(1)求边AC的长;

(2)设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D,求的值.
【分析】

(1)过A作AE⊥BC,在直角三角形ABE中,利用锐角三角函数定义求出AC的长即可;

(2)由DF垂直平分BC,求出BF的长,利用锐角三角函数定义求出DF的长,利用勾股定理求出BD的长,进而求出AD的长,即可求出所求.
【解答】解:

(1)作A作AE⊥BC, 在Rt△ABE中,tan∠ABC=∴AE=3,BE=4, ∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1, 在Rt△AEC中,根据勾股定理得:AC=

(2)∵DF垂直平分BC, ∴BD=CD,BF=CF=, ∵tan∠DBF=∴DF=, =, =, =; =,AB=5, 在Rt△BFD中,根据勾股定理得:BD=∴AD=5﹣则=. =, 22.(10分)一辆汽车在某次行驶过程中,油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示.

(1)求y关于x的函数关系式;(不需要写定义域)

(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时,该汽车会开始提示加油,在此次行驶过程中,行驶了500千米时,司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程,在开往该加油站的途中,汽车开始提示加油,这时离加油站的路程是多少千米。

【分析】根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式,再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为5升时行驶的路程,此题得解.
【解答】解:

(1)设该一次函数解析式为y=kx+b, 将(150,45)、(0,60)代入y=kx+b中, ,解得:∴该一次函数解析式为y=﹣

(2)当y=﹣解得x=520. 即行驶520千米时,油箱中的剩余油量为8升. 530﹣520=10千米, 油箱中的剩余油量为8升时,距离加油站10千米. x+60=8时, , x+60. ∴在开往该加油站的途中,汽车开始提示加油,这时离加油站的路程是10千米. 23.(12分)已知:如图,正方形ABCD中,P是边BC上一点,BE⊥AP,DF⊥AP,垂足分别是点E、F.

(1)求证:EF=AE﹣BE;

(2)联结BF,如课=.求证:EF=EP.
【分析】

(1)利用正方形的性质得AB=AD,∠BAD=90°,根据等角的余角相等得到∠1=∠3,则可判断△ABE≌△DAF,则BE=AF,然后利用等线段代换可得到结论;

(2)利用=和AF=BE得到=,则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA,所以∠4=∠3,再证明∠4=∠5,然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP.
【解答】证明:

(1)∵四边形ABCD为正方形, ∴AB=AD,∠BAD=90°, ∵BE⊥AP,DF⊥AP, ∴∠BEA=∠AFD=90°, ∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°, ∴∠1=∠3, 在△ABE和△DAF中 , ∴△ABE≌△DAF, ∴BE=AF, ∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE;

(2)如图,∵=, 而AF=BE, ∴∴==, , ∴Rt△BEF∽Rt△DFA, ∴∠4=∠3, 而∠1=∠3, ∴∠4=∠1, ∵∠5=∠1, ∴∠4=∠5, 即BE平分∠FBP, 而BE⊥EP, ∴EF=EP. 24.(12分)在平面直角坐标系xOy中(如图).已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣1,0)和点B(0,),顶点为C,点D在其对称轴上且位于点C下方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处.

(1)求这条抛物线的表达式;

(2)求线段CD的长;

(3)将抛物线平移,使其顶点C移到原点O的位置,这时点P落在点E的位置,如果点M在y轴上,且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8,求点M的坐标.
【分析】

(1)利用待定系数法求抛物线解析式;

(2)利用配方法得到y=﹣(x﹣2)2+,则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2,如图,设CD=t,则D(2,﹣t),根据旋转性质得∠PDC=90°,DP=DC=t,则P(2+t,﹣t),然后把P(2+t,﹣t)代入y=﹣x2+2x+得到关于t的方程,从而解方程可得到CD的长;

(3)P点坐标为(4,),D点坐标为(2,),利用抛物线的平移规律确定E点坐标为(2,﹣2),设M(0,m),当m>0时,利用梯形面积公式得到•(m++2)•2=8当m<0时,利用梯形面积公式得到•(﹣m++2)•2=8,然后分别解方程求出m即可得到对应的M点坐标.
【解答】解:

(1)把A(﹣1,0)和点B(0,)代入y=﹣x2+bx+c得,解得, ∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+;

(2)∵y=﹣(x﹣2)2+, ∴C(2,),抛物线的对称轴为直线x=2, 如图,设CD=t,则D(2,﹣t), ∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处, ∴∠PDC=90°,DP=DC=t, ∴P(2+t,﹣t), 把P(2+t,﹣t)代入y=﹣x+2x+得﹣(2+t)2+2(2+t)+=﹣t, 整理得t2﹣2t=0,解得t1=0(舍去),t2=2, ∴线段CD的长为2;

(3)P点坐标为(4,),D点坐标为(2,), ∵抛物线平移,使其顶点C(2,)移到原点O的位置, ∴抛物线向左平移2个单位,向下平移个单位, 而P点(4,)向左平移2个单位,向下平移个单位得到点E, ∴E点坐标为(2,﹣2), 设M(0,m), 当m>0时,•(m++2)•2=8,解得m=,此时M点坐标为(0,); 当m<0时,•(﹣m++2)•2=8,解得m=﹣,此时M点坐标为(0,﹣); 综上所述,M点的坐标为(0,)或(0,﹣). 2 25.(14分)已知⊙O的直径AB=2,弦AC与弦BD交于点E.且OD⊥AC,垂足为点F.

(1)如图1,如果AC=BD,求弦AC的长;

(2)如图2,如果E为弦BD的中点,求∠ABD的余切值;

(3)联结BC、CD、DA,如果BC是⊙O的内接正n边形的一边,CD是⊙O的内接 正(n+4)边形的一边,求△ACD的面积.
【分析】

(1)由AC=BD知得==+=+,得=,根据OD⊥AC知=,从而,即可知∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°,利用AF=AOsin∠AOF可得答案;

(2)连接BC,设OF=t,证OF为△ABC中位线及△DEF≌△BEC得BC=DF=2t,由DF=1﹣t可得t=,即可知BC=DF=,继而求得EF=AC=可得答案;

(3)先求出BC、CD、AD所对圆心角度数,从而求得BC=AD=根据三角形面积公式计算可得.
【解答】解:

(1)∵OD⊥AC, ∴=,∠AFO=90°, 、OF=,从而,由余切函数定义又∵AC=BD, ∴∴∴===,即, =, +=+, ∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°, ∵AB=2, ∴AO=BO=1, ∴AF=AOsin∠AOF=1×则AC=2AF= =, ;

(2)如图1,连接BC, ∵AB为直径,OD⊥AC, ∴∠AFO=∠C=90°, ∴OD∥BC, ∴∠D=∠EBC, ∵DE=BE、∠DEF=∠BEC, ∴△DEF≌△BEC(ASA), ∴BC=DF、EC=EF, 又∵AO=OB, ∴OF是△ABC的中位线, 设OF=t,则BC=DF=2t, ∵DF=DO﹣OF=1﹣t, ∴1﹣t=2t, 解得:t=, 则DF=BC=、AC=∴EF=FC=AC=∵OB=OD, ∴∠ABD=∠D, , ==, 则cot∠ABD=cot∠D===;

(3)如图2, ∵BC是⊙O的内接正n边形的一边,CD是⊙O的内接正(n+4)边形的一边, ∴∠BOC=则+2×、∠AOD=∠COD==180, , 解得:n=4, ∴∠BOC=90°、∠AOD=∠COD=45°, ∴BC=AC=, ∵∠AFO=90°, ∴OF=AOcos∠AOF=则DF=OD﹣OF=1﹣∴S△ACD=AC•DF=× , , ×(1﹣)=. 初中试题分析数学。
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