2015上海市初中数学竞赛试题解析 初中试题分析数学_教学资源|题库|学习文库-「普洱教育」

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2015上海市初中数学竞赛试题解析 初中试题分析数学

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初中试题分析数学
2015年上海初三数学竞赛试卷解答 (2015年12月6日上午9:00---11:00) 解答本题可以使用科学计算器 一、填空题(每小题10分,共80分)
1、已知AB为圆O的直径,AB=1,延长AB到点C,使得BC=1,CD是圆O的切线,D是切点,则ABD的面积为______________。 解答:依据切割线定理可以得到:CD2CBCACD2。 因为可以得到CBD∽CDABDCD ADAC因此有BD21。 AD22因为AB为圆O的直径,所以ABD时直角三角形。
依据勾股定理有AB2BD2AD213BD2BD2而SABD1。
3122 BDADBD2226

2、有编号分别为1,2,3,4,5,6,7的7个大小相同的小球,从中任取3个小球,则取出的3个小球的编号和为奇数的概率为______________。
3解答:从七个小球任意取出三个小球的取法为C735种,因为没有小球的数字不同,这样这三个球的数字和有35和结果。要使用和为奇数。
应该包括两种下面情况 3第一种三个数均为奇数,也就是从1,3,5,7四个数中取三个,取法为C44 第二种,一个奇数,两个偶数,也就是从1,3,5,7的四个数中取1个,从2,4,6三个数中取两22个,取法有C4C312. 这样和为奇数一共有41216种。从而取出的3个小球的编号和为奇数的概率为

3、实数x,y满足x23y4,y23x4,xy,则16 35xy的值为____________。
yx2x3y4①解答:因为 2y3x4②上述①②两个相减,得到:(xy)(xy)3(xy)0。因为xy 所以有xy3。 上述①②相加得到x2y23(xy)4(xy)22xy3(xy)4 xy(xy)22xy所以xy1。因此1 yxxy 4. 若三个素数的乘积恰好等于它们和的23 倍,则这三个素数为________. 解答:设这三个素数为a,b,c。则有abc23(abc)。因为23是素数,从abc23(abc),可以得到23能够整除三个素数a,b,c的abc积。
从而可以得到其中有一个素数必为23。假设a23 这样就有bc23bcbcbc124(b1)(c1)2446212 因为b,c为素数,所以得到b5,c7或b3,c13 这样得到三个素数为5,7,23或3,13,23。 5. 如图,圆O1与圆 O2外切于点P ,从圆O1上点A 作圆O2的切线AB , B 是切点,连接 AP 并延长,与圆O2交于点C .已知圆O1 、圆O2的半径分别为

2、1,则 AC________. AB解答:做如图所示的辅助线。可以得到 CO1PO2BAPCCO21AO1//CO2 PAAO12为此设PCk,则PA2k. 应用切割线定理有: AB2APAC2k3kAB6k. 所以AC3k6。
AB26k

6、 如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,MON 的两边分别是射线 y x(x 0)与x轴正 半轴.点A(6,5),B(10,2)是MON 内的两个定点,点P、Q分别是MON 两边上的 动点,则四边形ABQP 周长的最小值是________. 解答:本题主要就是应用对称。应为四边形ABQP ,其中一个边AB为定值。
要求四边形 ABQP 周长的最小值,只要求另外三边的最小值。 从对称可以得到A/(5,6),B/(10,2). 四边形另外三边的最小值为AB 依据两点间距离公式有 。
//A'AP,MA/B/(105)2(26)289BNQB'AB(105)2(25)234 从而最小值为8934。 7. 不定方程x2y2xy2x2y的整数(x,y)解共有________组。 解答:设xyk,所以从x2y2xy2x2y,可以得到k22xyxy2k k22k所以k2k3xyxy。 32k22k0的两个根,并且根为整数。 这样x,y是方程tkt32k22k0k28k0。因此有0k8。
所以(k)432k22kk(k2)同时要保证xy为整数。这样就有k0,3,5,6,8 33当k0时,(x,y)(0,0) 2当k3时,方程为方程t3t10没有整数解。
2当k5时,方程为方程t5t50没有整数解。 2当k6时,方程为方程t6t80,有整数解为2,4。所以(x,y)(2,4)或(4,2) 2当k8时,方程为方程t8t160,有整数解为4,4。所以(x,y)(4,4) 整数(x,y)解共有4组 8. 设a是给定的正实数,n 是给定的大于1 的整数,实数x1,x2,x3,,xn 满足2,则 x12x22x32xan(x1x2)2(x1x3)2(x1xn)2(x2x3)2(x2xn)2(xn1xn)2的最大值________________。
解答: 因为(x1x2)2(x1x3)2(x1xn)2(x2x3)2(x2xn)2(xn1xn)2 (n1)(x12x22xn2)2x1(x2x3xn)2x2(x3x4xn)2xn2(xx1xn)2xn1xn(n1)a2x1(x2x3xn)2x2(x3x4xn)2xn2(xx1xn)2xn1xn 有这样的一个结论,因为 x2y2xy2xy2xyx2y2(x2y2)2xyx2y2 而2x1(x2x3xn)2x2(x3x4xn)2xn2(xx1xn)2xn1xn 22[(x12x22)(x12x32)(x12xn2)][(x22x32)(x22x42)(x22xn2)][(x32x42)(x32x52)(x32xn2)][(xn22xn12)(xn22xn2)](xn12xn2)](n1)x12(x1)x22(x1)xn2(n1)(x12x22xn2)(n1)a所以最大值为2(n1)a 二、解答题(第

9、10 题,每题15 分,第

11、12 题,每题20 分,共70 分) 9. 如图,在△ABC中,BC a,CA b,ACB 60,△ABD是正三角形,P是其中 心,求CP 的长度. 解答:分析作D点关于AB的对称点D。 /0则ADB为等边三角形,这样就有ADB60,已知ACB 60//所以A,C,D/,B四点共圆。这个圆过P APCD'BD点。
连接AP,BP。
因为P是正三角形ABD的中心,所以 APBP23ABsin600AB 33因为A,C,B,P四点共圆,也就是四边形ACBP为 圆内接四边形,应用圆内接四边形托勒密定理 可以得到ABPCBPACAPBC 所以PC3(ab)。 3 10. 在1,2,… ,2015 这2015 个正整数中选出k个数,使得其中任意两个不同的数的和 都不是50 的倍数,求k 的最大值. 解答:因为所有的整数,被5除余数为0,1,2,3,4,… ,47,48,49。
共50中情况。而2015504015。
下面吧从1,2,… ,2015这2015个数被50除,余数的情况列表如下。
余数 第1行 第2行 第3行 … 1 1 51 101 … 2 2 52 102 … … … … … … 15 15 65 115 … … … 24 … 24 … 74 … 124 … … 25 25 75 125 26 26 76 126 … … … … … 48 48 98 148 … 49 49 99 149 … 0 50 100 150 … 第40行 1951 1952 … 第41行 2001 2002 … 1998 1999 2000 2015 … 第1行取1到25这25个数,取50这个个数,任意两个数的和都不能被50整除。
第2行取51到74这24个数,和第一组取得的数组成新的数集,则这新的数集任意两个数的和不能被50整除。 以后每行都取前24个数,取到第40行位置。最后一行取15个数。这样正整数集合最大数值个数为2624(4021)15977 这样集合为这样式样{1,2,,25,50,51,52,,74,101,102,,124,151,152,,174,,1951,1952,,1974, 2001,,2015} 50这个数可以换成1到2015之间50的倍数任意一个数。
因此k的最大值为977. 11. 已知△ABC的三边长均为正整数,周长为 35,G 和I 分别为△ABC的重心和内心, 且GIC 90,求边AB的长度. 解答:本题有一定难度,但是抓住内心和重心的特征 还是能够找到解题的路径的。
C由题意知道GIC 90,并且平分ACB,出现角平分+垂直 的特征。
这样可以构造出三角形。为此延长GI和反向延长GI. 很容易得到CMN为等腰三角形,也就是CMCN 过垂心G和内心I分别做AC和BC边的垂线。设ABC的内接圆 GI的半径为r。 由面积法得到: ABSCGMSCGNSCIMSCIN 111CMGPCNGF2rCN 222所以GPGF2r 也就是因为G为三角形ABC的重心,可以得到 C11dBACdABC2r 33用面积法有: QPMGAEDIOFNB12S12S2S2 3b3aabc116化简为 baabcab6也就是 ab356ab35(ab),因为a,b为正整数 所以得到ab35k,则ab6k 为此a,b为方程t6kt35k0的两个根。 2(6k)2435k0k有ab6k35k35 935。因此k4,5 62当k4时,方程为t24t3540(t14)(t10)0t14,10所以此时a10,b14。因此AB11。 2当k5时,方程为t30t3550没有整数解。
因此AB11。 12. 设a,b是正整数,ab 不是 4的倍数,求证:(a3b)(5a7b)不是完全平方数. 证明:ab(ab)(ab),当a,b为同奇数,或者同偶数时,可以得到2222a2b2(ab)(ab)一定是4的倍数。已知a2b2 不是 4的倍数,所以a,b中一个为奇数,一个为偶数。 假设a2n1,b2m。因为(a3b)(5a7b)5a222ab21b25(2n1)222(2n1)2m21(2m)220n(n1)588mn44m84m220n(n1)88mn40m80m24m(m1)5因为20n(n1)88mn40m80m24m(m1)能够被8整除。 所以此时(a3b)(5a7b)被8除余5.因为要是完全平方数,奇数的时被8除余1.因此此种情况下不是完全平方数。
假如a2m,b2n1,因为 (a3b)(5a7b)5a222ab21b25(2m)2222m(2n1)21(2n1)220m288mn44m214n(n1)2116m288mn40m214n(n1) 164m(m1)5从而16m288mn40m214n(n1)164m(m1)能够被8整除,所以此时(a3b)(5a7b)被8除余5.因为要是完全平方数,奇数的时被8除余1.因此此种情况下不是完全平方数。 综合可以得到:(a3b)(5a7b)不是完全平方数. 初中试题分析数学。
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