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解三角形知识点归纳(附三角函数公式) 三角函数的公式

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三角函数的公式
高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳
1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B);
2、三角形三边关系:a+b>c; a-b3、三角形中的基本关系:sin(AB)sinC,cos(AB)cosC,tan(AB)tanC, sinABCABCABCcos,cossin,tancot 222222
4、正弦定理:在C中,a、b、c分别为角、、C的对边,R为C的外接圆的半径,则有abc2R. sinsinsinC
5、正弦定理的变形公式: ①化角为边:a2Rsin,b2Rsin,c2RsinC; abc,sin,sinC; 2R2R2Rabcabc③a:b:csin:sin:sinC;④. sinsinsinCsinsinsinC②化边为角:sin
6、两类正弦定理解三角形的问题:①已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角,求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况(一解、两解、三解)) b2c2a
27、余弦定理:在C中,有abc2bccos等,变形: cos等, 2bc
2228、余弦定理主要解决的问题:①已知两边和夹角,求其余的量。②已知三边求角)

9、三角形面积公式:abcr(abc)111SCbcsinabsinCacsin.=2R2sinAsinBsinC===4R2222p(pa)(pb)(pc)

10、如何判断三角形的形状:判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式设a、b、c是C的角、、C的对边,则: ①若abc,则C90;②若abc,则C90;③若abc,则C90.

11、三角形的四心: 垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点(重心到顶点距离与到对边距离之比为
2:1) 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点(外心到三顶点距离相等) 内心——三角形三内角的平分线相交于一点(内心到三边距离相等) 12同角的三角函数之间的关系 (1)平方关系:sin²α+cos²α=1 (2)倒数关系:tanα·cotα=1 (3)商的关系:tan222222222sincos,cot cossin 特殊角的三角函数值  0 0 1 0 30 1 245 2 22 260 3 21 290 1 0 不存在 三角 函数值 sin cos 3 23 3tan 1 3 k三角函数诱导公式:“ ()”记忆口诀: “奇变偶不变,符号看象限”,是指2k(),k∈Z的三角函数值,当k为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦(正切,余切;正2割、余割也同样); 当k为偶数时,函数名不变。然后符号与 ‘将α看成锐角时原三角函数值的正负号’一致。
三角函数的图像与性质: y=sinx -5- 22-2-3--4 -7-3 22 y1-1o3222523724xy=cosx-5-32--2-32-2y1-1y-7 -42o2322523724xy=tanx-32--2o232x ysinx ycosxy tanx定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 R [1,1] R [1,1] 1 x|xR且xk,kZ2R 2 奇函数 [2  偶函数 [2k1,;上为增函2k]奇函数 22k,2上为增2k]数[2k,k,k上为增函数(kZ) 222k1] [2k,函数;2上32k]2上为减函数 (kZ) 为减函数(kZ) (其中A0,0)有关函数yAsin(x)B 最大值是AB,最小值是BA,周期是T初相是; 其图象的对称轴是直线xk2,频率是f,相位是x,22(kZ),凡是该图象与直线yB的交点都是该图象的对称中心。
函数y=sin(ωx+)的图象与函数y=sinx的图象的关系: 由y=sinx的图象变换出y=sin(ωx+)的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换。 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y=sinx的图象向左(>0)或向右(<0=平移||个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的1倍(ω>0),便得y=sin(ωx+)的图象。(先相位变换,再周期变换) 途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的右(<0=平移1倍(ω>0),再沿x轴向左(>0)或向||个单位,便得y=sin(ωx+)的图象。(先周期变换,再相位变换) 对称轴与对称中心: ysinx的对称轴为xk(k,0) kZ; 2,对称中心为ycosx的对称轴为xk,对称中心为(ky=tan x 图像的对称中心是( 2,0); k2,0),无对称轴。
★诱导公式★(以下k∈Z) 公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα 公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα 公式三:任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα 公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα 公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα 公式六:π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα 同角三角函数基本关系 同角三角函数的基本关系式 商的关系:sinα/cosα=tanα 平方关系:sin2α+cos2α=1 两角和差公式 两角和与差的三角函数公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 二倍角公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式) sin2α=2sinαcosα cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)] 半角公式半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式) sin2(α/2)=(1-cosα)/2 cos2(α/2)=(1+cosα)/2 tan2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) 另也有tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα) 万能公式 万能公式 sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)] cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)] 三倍角公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin3α=3sinα-4sin3α cos3α=4cos3α-3cosα tan3α=(3tanα-tan3α)/(1-3tan2α) 和差化积公式 三角函数的和差化积公式 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 积化和差公式 三角函数的积化和差公式 sinα ·cosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosα ·sinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 cosα ·cosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinα ·sinβ=—[cos(α+β)-cos(α-β)]/2 三角函数的公式。
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