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三角函数公式(必修四、必修五) 三角函数的公式

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三角函数的公式
三角函数 公式(一)
1、常用角的弧度和正余弦、正切函数值  0° 0 0 1 0 30°  61 23 245°  42 22 260°  33 290°  2120° 2 33 2135° 3 42 22 2150° 5 6180°  sin cos tan  0 -1 0 1 0 不存在 1 23 21 21 23 31 3 3 -1 3 3 如果两角互补,那么它们的正弦值相等,余弦值和正切值相反。 2.六组诱导公式 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 sin(α+2kπ)=sinα sin(π+α)=-sinα sin(-α)=-sinα sin(π-α)=sinα πsin(2-α)=cosα πsin(2+α)=cosα cos(α+2kπ)=cosα cos(π+α)=-cosα cos(-α)=cosα cos(π-α)=-cosα πcos(2-α)=sinα πcos(2+α)=-sinα tan(α+2kπ)=tanα tan(π+α)=tanα tan(-α)=-tanα tan(π-α)=-tanα kπ对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,“奇偶”指2π的是的奇数倍,还是偶数倍。“变与不变”指的是当k为奇数时,正弦变余弦,余弦变正2弦;当k为偶数时,函数名不发生改变.“符号看象限”是指把α看成锐角时,原三角函数所在象限的符号. 3.同角三角函数的基本关系式 第 1 页 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1(α∈R). πsin αα≠kπ+,k∈Z. (2)商数关系:tan α=2cos α4.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义域 值域 R [-1,1] R [-1,1] πxx∈R且x≠+kπ,k∈Z 2R 2kπ-π,π+ 22单调性 2kπ(k∈Z)上递增; [2kπ-π,2kπ](k∈Z)2kπ+π,3π+ 222kπ(k∈Z)上递减 πx=+2kπ(k∈Z)时,2 kπ-π,π+ 22上递增;[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上递减 kπ(k∈Z)上递增 x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;x=π+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1 偶函数 奇函数 最值 πymax=1;x=-+2kπ(k2∈Z)时,ymin=-1 奇偶性 对称 中心 对称轴 方程 周期 奇函数 (kπ,0)(k∈Z) πx=+kπ(k∈Z) 22π π+kπ,0(k∈Z) 2x=kπ(k∈Z) 2π kπ,0(k∈Z) 2 π 公式
(二) 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)S(α+β):sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;sinαcosβ+cosαsinβ=sin(α+β) 第 2 页 (2)S(α-β):sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ;sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β) (3)C(α-β):cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β) (4)C(α+β):cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;cosαcosβ-sinαsinβ=cos(α+β) 正弦公式概括为“正余、余正符号同”.“符号同”指的是前面是两角和,则后面中间为“+”号;前面是两角差,则后面中间为“-”号.余弦公式概括为“余余、正正符号异” tan α+tan β(5)T(α+β):tan(α+β)=; 1-tan αtan βtan α-tan β(6)T(α-β):tan(α-β)=. 1+tan αtan β2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α:sin 2α=2sinαcosα; (2)C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; 2tan α(3)T2α:tan 2α=. 1-tan2α二倍角公式实际就是由两角和公式中令β=α所得.特别地,对于余弦:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. 3.常用的公式变形 (1)tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β); (2)2cos221cos2,2sin21cos2,2sincossin2 1cos21cos212,sin,sincossin2; 222 cos (3)sincos2sin();3sincos2sin() 463cos2sin( sin3) (4)yasinxbcosxa2b2sin(x)a2b2cos(x) 注:在所有标准答案中,大多数是以yAsin(x)k的形式给出答案,因此最后的结果一定要便形成上述形式。 (5)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2,sin α±cos α=2sin() 4公式
(三) 1. 正弦定理 abc===2R(R为△ABC外接圆的半径). sin Asin Bsin C 第 3 页 变形一(边化角):a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. abc变形二(角化边)sin A=,sin B=,sin C=,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. 2R2R2R2. 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C. b2+c2-a2a2+c2-b2a2+b2-c2推论:cos A=,cos B=,cos C=. 2bc2ac2ab变形:b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2=2accos B,a2+b2-c2=2abcos C. 3. 内角和公式:A+B+C= (1)内角和定理的应用 角度 A+B=-C A+C=-B B+C=-A

(2)两角和差正余弦公式 Sin(A+B)=Sin A Cos B+Cos A Sin B;Sin(A+B)=Sin(-C)=Sin C Sin(A-B)=Sin A Cos B-Cos A Sin B; Cos(A+B)=Cos A Cos B-Sin A Sin B;Cos(A+B)=Cos(-C)=-Cos C Cos(A-B)=Cos A Cos B+Sin A Sin B; 6. 面积公式 1(1)S=ah(h表示边a上的高); 2111(2)S=b c sin A=a c s in B=a b sin C; 2221(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径). 2正弦 余弦 Sin(A+B)=Sin(-C)=Sin C Cos(A+B)=Cos(-C)=-Cos C Sin(A+C)=Sin(-B)=Sin B Cos(A+C)=Cos(-B)=-Cos B Sin(B+C)=Sin(-A)=Sin A Cos(B+C)=Cos(-A)=-Cos A 第 4 页 三角函数的公式。
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