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三角函数化一公式例题解析 三角函数的公式

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三角函数的公式
三角函数化一公式解析 一、化一公式 三角函数化一公式是指如下的三角函数公式: asinxbcosxa2b2sin(x)a2b2cos(x), 其中 a2b2a2b2、的几何意义如右图所示。特别地,化一公式中的所有“元素” 完美地融入直角梯形中。
如果ab0,则公式显然成立。不妨假设ab0,则 cossina,sincosb, aa2b2xbabasinxbcosxabsinxcosx2222abab22 a2b2cossinxsincosx a2b2sin(x), 同理可得 asinxbcosxa2b2cos(x)。 二、公式的应用 化一公式把含有两个三角函数sinx、cosx的线性问题转化成了只含一个三角函数式的问题,从而方便了利用三角函数的有关性质解决最值、单调区间、图象对称轴、对称中心、三角方程、三角不等式、图象变换等方面的有关问题。
这些问题均是三角函数的基本问题,但学生往往难以掌握。
下面举例说明化一公式的应用及其注意事项。

1、三角函数最值问题 例

1、求函数 f(x)2sinx(sinxcosx),xR 的最大值。 解析:2sinx(sinxcosx)2sin2x2sinxcosxsin2xcos2x12sin2x1。
4于是,函数的最大值是21。


2、求函数 4f(x)3sinx5sinx,xR 99的最大值和最小值。 1 解析: 4443sinx5sinx3cos5cossinx3sin5sincosx99999944 3cos5cos3sin5sinsin(x) 9999 7sin(x)因此,该函数的最大值和最小值分别是

7、-7。


3、已知函数 22f(x)2sinxacosx4,xR 的小值为1,求参数a的值。 解析: f(x)4asin(x)4,xR,tan因函数的最小值是1,即44a1。
因此a5。

2、三角函数的单调区间 例

4、求函数 f(x)sinxxcos,x2,2 22a。 2的单调递增区间。 解析:用化一公式将函数简化为 xxxsincos2sin。
2224x35注意到函数的定义域,从而,。利用正弦函数的单调性立即可知函数f的单2444调递增区间为2,。
2例

5、求函数 f(x)sin4x23sinxcosxcos4x,x[0,] 的单调区间。
解析:因为 2 sin4x23sinxcosxcos4x3sin2xsin2xcos2x3sin2xcos2x2sin2x。 65利用正弦函数的单调性,立即得到函数f的单调递增区间为0,,2,单调递减区间365为,。 36

3、三角函数的最小正周期 周期现象是一种普遍而重要的自然现象,对于描述周期现象的有力工具之一——三角函数,其最小正周期实际问题中扮演着一个重要角色,例如Fourier级数。因此,如何寻求三角函数的最小正周期无疑是一个十分重要的课题。而化一公式无疑又是解决这个问题的一把钥匙。 对于例1中的函数,利用化一公式,我们立即可知该函数的最小正周期为。类似地,对于另一高考题:求函数ycos2s3sinxcosx的最小正周期,也可获知其最小正周期为

4、三角函数图象的对称轴、对称中心及相关问题 例

6、若函数 f(x)sin2xacos2x,xR 的图像关于直线x8对称,则参数a的值为多少。
解析:利用化一公式,有 sin2xacos2x1a2sin(2x), tana。 根据题意 3。
f1a2,k48对称,用同样的方法可知进而,a1。对于这个函数,如果图像关于点,0a3。 6例

7、已知函数 13f(x)cos2xsinxcosx1,xR。
22该函数图象可由ysinx,xR的图像经过怎样的平移和伸缩变化得到。
解析:首先利用化一公式可得 15f(x)sin2x,xR。
2643 进而,该问题就可迎刃而解。


5、解三角方程和三角不等式 例8.求三角方程sinx3cosx10 利用化一公式和正弦函数的性质,立即可知其解集为xx2k 或 x2k,kZ。 26例9.解三角不等式sin2x2sinxcosx3cos2x1 同样地,利用化一公式和正弦函数的单调性立即可知解集为xkxk,kZ。
244 三角函数的公式。
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