2019年吉林省中考数学试题(解析版) 初中试题分析数学_教学资源|题库|学习文库-「普洱教育」

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2019年吉林省中考数学试题(解析版) 初中试题分析数学

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初中试题分析数学
2019年吉林省中考数学试卷 一、单项选择题(每小题2分,共12分) 1.(2分)如图,数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为( ) A.3 B.2 C.1 D.﹣1 2.(2分)如图,由6个相同的小正方体组合成一个立体图形,它的俯视图为( ) A. B. C. D. 3.(2分)若a为实数,则下列各式的运算结果比a小的是( ) A.a+1 B.a﹣1 C.a×1 D.a÷1 4.(2分)把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合,则这个旋转角度至少为( ) A.30° B.90° C.120° D.180° 上一点,∠AOP=55°,则∠POB5.(2分)如图,在⊙O中,的度数为( ) 所对的圆周角∠ACB=50°,若P为 A.30° B.45° C.55° D.60° 6.(2分)曲桥是我国古代经典建筑之一,它的修建增加了游人在桥上行走的路程,有利于游人更好地观赏风光.如图,A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比,增加了桥的长度,其中蕴含的数学道理是( ) A.两点之间,线段最短 B.平行于同一条直线的两条直线平行 C.垂线段最短 D.两点确定一条直线 二、填空题(每小题3分,共24分) 7.(3分)分解因式:a﹣1= . 8.(3分)不等式3x﹣2>1的解集是 . 9.(3分)计算:•= . 210.(3分)若关于x的一元二次方程(x+3)=c有实数根,则c的值可以为 (写出一个即可). 11.(3分)如图,E为△ABC边CA延长线上一点,过点E作ED∥BC.若∠BAC=70°,∠CED=50°,则∠B= °. 2 12.(3分)如图,在四边形ABCD中,AB=10,BD⊥AD.若将△BCD沿BD折叠,点C与边AB的中点E恰好重合,则四边形BCDE的周长为 . 13.(3分)在某一时刻,测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m,同时同地测得一栋楼的影长为90m,则这栋楼的高度为 m. 14.(3分)如图,在扇形OAB中,∠AOB=90°.D,E分别是半径OA,OB上的点,以OD,OE为邻边的▱ODCE的顶点C在上.若OD=8,OE=6,则阴影部分图形的面积是 (结果保留π). 三、解答题(每小题5分,共20分) 15.(5分)先化简,再求值:(a﹣1)+a(a+2),其中a=2. 16.(5分)甲口袋中装有红色、绿色两把扇子,这两把扇子除颜色外无其他差别;乙口袋中装有红色、绿色两条手绢,这两条手绢除颜色外无其他差别.从甲口袋中随机取出一把扇子,从乙口袋中随机取出一条手绢,用画树状图或列表的方法,求取出的扇子和手绢都是红色的概率. 17.(5分)已知y是x的反比例函数,并且当x=2时,y=6.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)当x=4时,求y的值. 18.(5分)如图,在▱ABCD中,点E在边AD上,以C为圆心,AE长为半径画弧,交边BC于点F,连接BE、DF.求证:△ABE≌△CDF. 四、解答题(每小题7分,共28分) 19.(7分)图①,图②均为4×4的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点.在图①中已画出线段AB,在图②中已画出线段CD,其中A、B、C、D均为格点,按下列要求画图:
(1)在图①中,以AB为对角线画一个菱形AEBF,且E,F为格点;
(2)在图②中,以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH,且G,H为格点,∠CGD=∠CHD=90°. 20.(7分)问题解决 糖葫芦一般是用竹签串上山楂,再蘸以冰糖制作而成.现将一些山楂分别串在若干根竹签上.如果每根竹签串5个山楂,还剩余4个山楂;如果每根竹签串8个山楂,还剩余7根竹签.这些竹签有多少根。山楂有多少个。 反思归纳 现有a根竹签,b个山楂.若每根竹签串c个山楂,还剩余d个山楂,则下列等式成立的是 (填写序号).

(1)bc+d=a;

(2)ac+d=b;

(3)ac﹣d=b. 21.(7分)墙壁及淋浴花洒截面如图所示.已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm,花洒AC的长为30cm,与墙壁的夹角∠CAD为43°.求花洒顶端C到地面的距离CE(结果精确到1cm).(参考数据:sin43°=0.68,cos43°=0.73,tan43°=0.93) 22.(7分)某地区有城区居民和农村居民共80万人.某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”.

(1)该机构设计了以下三种调查方案: 方案一:随机抽取部分城区居民进行调查; 方案二:随机抽取部分农村居民进行调查; 方案三:随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查. 其中最具有代表性的一个方案是 ;

(2)该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查.供选择的选项有:电脑、手机、电视、广播、其他,共五个选项.每位被调查居民只选择一个选项.现根据调查结果绘制如下统计图,请根据统计图回答下列问题: ①这次接受调查的居民人数为 人; ②统计图中人数最多的选项为 ; ③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数. 五、解答题(每小题8分,共16分) 23.(8分)甲、乙两车分别从A,B两地同时出发,沿同一条公路相向行驶,相遇后,甲车继续以原速行驶到B地,乙车立即以原速原路返回到B地.甲、乙两车距B地的路程y(km)与各自行驶的时间x(h)之间的关系如图所示.

(1)m= ,n= ;

(2)求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;

(3)当甲车到达B地时,求乙车距B地的路程. 24.(8分)性质探究 如图①,在等腰三角形ABC中,∠ACB=120°,则底边AB与腰AC的长度之比为 . 理解运用

(1)若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4

(2)如图②,在四边形EFGH中,EF=EG=EH. ①求证:∠EFG+∠EHG=∠FGH; ②在边FG,GH上分别取中点M,N,连接MN.若∠FGH=120°,EF=10,直接写出线段MN的长. 类比拓展 顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 (用含α的式子表示). ,则它的面积为 ; 六、解答题(每小题10分,共20分) 25.(10分)如图,在矩形ABCD中,AD=4cm,AB=3cm,E为边BC上一点,BE=AB,连接AE.动点P、Q从点A同时出发,点P以cm/s的速度沿AE向终点E运动;点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC 向终点C运动.设点Q运动的时间为x(s),在运动过程中,点P,点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y(cm).

(1)AE= cm,∠EAD= °;

(2)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;

(3)当PQ=cm时,直接写出x的值. 2 26.(10分)如图,抛物线y=(x﹣1)+k与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C(0,﹣3).P为抛物线上一点,横坐标为m,且m>0.

(1)求此抛物线的解析式;

(2)当点P位于x轴下方时,求△ABP面积的最大值;

(3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h. ①求h关于m的函数解析式,并写出自变量m的取值范围; ②当h=9时,直接写出△BCP的面积. 2 2019年吉林省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、单项选择题(每小题2分,共12分) 1.(2分)如图,数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为( ) A.3 B.2 C.1 D.﹣1
【分析】直接利用数轴得出结果即可.
【解答】解:数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为﹣1, 故选:D.
【点评】本题考查了数轴、根据数轴﹣1是解题关键. 2.(2分)如图,由6个相同的小正方体组合成一个立体图形,它的俯视图为( A. B. C. D.
【分析】找到从上面看所得到的图形即可.
【解答】解:从上面看可得四个并排的正方形,如图所示: 故选:D.
【点评】本题考查了三视图的知识,俯视图是从物体的上面看得到的视图. 3.(2分)若a为实数,则下列各式的运算结果比a小的是( ) )A.a+1 B.a﹣1 C.a×1 D.a÷1
【分析】根据一个数加上一个正数的和大于本身,加上一个负数小于本身,减去一正数小于本身,减去一个负数大于本身,乘以1等于本身,除以1也等于本身,逐一进行比较便可.
【解答】解:A.a+1>a,选项错误; B.a﹣1<a,选项正确; C.a×1=a,选项错误; D.a÷1=a,选项错误; 故选:B.
【点评】本题主要考查了实数的大小比较,具体考查了一个数加1,减1,乘1,除以1,值的大小变化规律.基础题. 4.(2分)把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合,则这个旋转角度至少为( ) A.30° B.90° C.120° D.180°
【分析】根据图形的对称性,用360°除以3计算即可得解.
【解答】解:∵360°÷3=120°, ∴旋转的角度是120°的整数倍, ∴旋转的角度至少是120°. 故选:C.
【点评】本题考查了旋转对称图形,仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键. 5.(2分)如图,在⊙O中,的度数为( ) 所对的圆周角∠ACB=50°,若P为上一点,∠AOP=55°,则∠POB A.30° B.45° C.55° D.60°
【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出∠AOB的度数,进而由角的和差求得结果.
【解答】解:∵∠ACB=50°, ∴∠AOB=2∠ACB=100°, ∵∠AOP=55°, ∴∠POB=45°, 故选:B.
【点评】本题是圆的一个计算题,主要考查了在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2信倍. 6.(2分)曲桥是我国古代经典建筑之一,它的修建增加了游人在桥上行走的路程,有利于游人更好地观赏风光.如图,A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比,增加了桥的长度,其中蕴含的数学道理是( ) A.两点之间,线段最短 B.平行于同一条直线的两条直线平行 C.垂线段最短 D.两点确定一条直线
【分析】利用两点之间线段最短进而分析得出答案.
【解答】解:这样做增加了游人在桥上行走的路程,其中蕴含的数学道理是:利用两点之间线段最 短,可得出曲折迂回的曲桥增加了游人在桥上行走的路程. 故选:A.
【点评】此题主要考查了两点之间线段最短,正确将实际问题转化为数学知识是解题关键. 二、填空题(每小题3分,共24分) 7.(3分)分解因式:a﹣1= (a+1)(a﹣1) .
【分析】符合平方差公式的特征,直接运用平方差公式分解因式.平方差公式:a﹣b=(a+b)(a﹣b).
【解答】解:a﹣1=(a+1)(a﹣1). 故答案为:(a+1)(a﹣1).
【点评】本题主要考查平方差公式分解因式,熟记公式是解题的关键. 8.(3分)不等式3x﹣2>1的解集是 x>1 .
【分析】利用不等式的基本性质,将两边不等式同时加上2再除以3,不等号的方向不变.
【解答】解:∵3x﹣2>1, ∴3x>3, ∴x>1, ∴原不等式的解集为:x>1. 故答案为x>1.
【点评】本题考查了不等式的性质:

(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变;

(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变;

(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变. 9.(3分)计算:•= . 2222
【分析】根据分式乘除法的法则计算即可.
【解答】解:•=, 故答案为:.
【点评】本题考查了分式的乘除法,熟记法则是解题的关键. 10.(3分)若关于x的一元二次方程(x+3)=c有实数根,则c的值可以为 5(答案不唯一,只有2c≥0即可) (写出一个即可).
【分析】由于方程有实数根,则其根的判别式△≥0,由此可以得到关于c的不等式,解不等式就可以求出c的取值范围.
【解答】解:一元二次方程化为x+6x+9﹣c=0, ∵△=36﹣4(9﹣c)=4c≥0, 解上式得c≥0. 故答为5(答案不唯一,只有c≥0即可).
【点评】本题主要考查根与系数的关系,根的判别式,关键在于求出c的取值范围. 11.(3分)如图,E为△ABC边CA延长线上一点,过点E作ED∥BC.若∠BAC=70°,∠CED=50°,则∠B= 60 °. 2
【分析】利用平行线的性质,即可得到∠CED=∠C=50°,再根据三角形内角和定理,即可得到∠B的度数.
【解答】解:∵ED∥BC, ∴∠CED=∠C=50°, 又∵∠BAC=70°, ∴△ABC中,∠B=180°﹣50°﹣70°=60°, 故答案为:60.
【点评】本题主要考查了平行线的性质,解题时注意运用两直线平行,内错角相等. 12.(3分)如图,在四边形ABCD中,AB=10,BD⊥AD.若将△BCD沿BD折叠,点C与边AB的中点E 恰好重合,则四边形BCDE的周长为 20 .
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质,即可得到DE=BE=AB=5,再根据折叠的性质,即可得到四边形BCDE的周长为5×4=20.
【解答】解:∵BD⊥AD,点E是AB的中点, ∴DE=BE=AB=5, 由折叠可得,CB=BE,CD=ED, ∴四边形BCDE的周长为5×4=20, 故答案为:20.
【点评】本题主要考查了折叠问题,折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等. 13.(3分)在某一时刻,测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m,同时同地测得一栋楼的影长为90m,则这栋楼的高度为 54 m.
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论.
【解答】解:设这栋楼的高度为hm, ∵在某一时刻,测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m,同时测得一栋楼的影长为60m, ∴=,解得h=54(m). 故答案为:54.
【点评】本题考查的是相似三角形的应用,熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键. 14.(3分)如图,在扇形OAB中,∠AOB=90°.D,E分别是半径OA,OB上的点,以OD,OE为邻边的▱ODCE的顶点C在上.若OD=8,OE=6,则阴影部分图形的面积是 25π﹣48 (结果保留π).
【分析】连接OC,根据同样只统计得到▱ODCE是矩形,由矩形的性质得到∠ODC=90°.根据勾股定理得到OC=10,根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论.
【解答】解:连接OC, ∵∠AOB=90°,四边形ODCE是平行四边形, ∴▱ODCE是矩形, ∴∠ODC=90°. ∵OD=8,OE=6, ∴OC=10, ∴阴影部分图形的面积=故答案为:25π﹣48. ﹣8×6=25π﹣48.
【点评】本题考查了扇形的面积的计算,矩形的判定和性质,勾股定理,正确的作出辅助线是解题的关键. 三、解答题(每小题5分,共20分) 15.(5分)先化简,再求值:(a﹣1)+a(a+2),其中a=2.
【分析】原式利用完全平方公式,单项式乘以多项式法则计算,去括号合并得到最简结果,把a的值代入计算即可求出值.
【解答】解:原式=a﹣2a+1+a+2a=2a+1, 当时,原式=5. 222
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 16.(5分)甲口袋中装有红色、绿色两把扇子,这两把扇子除颜色外无其他差别;乙口袋中装有红色、绿色两条手绢,这两条手绢除颜色外无其他差别.从甲口袋中随机取出一把扇子,从乙口袋中随机取出一条手绢,用画树状图或列表的方法,求取出的扇子和手绢都是红色的概率.
【分析】画出树状图,共有4种可能结果,其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种可能,由概率公式即可得出结果.
【解答】解:画树状图如下: 共有4种可能结果,其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种结果, 则取出的扇子和手绢都是红色的概率为.
【点评】此题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式,列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适用于两步或两步以上完成的事件;解题时还要注意是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 17.(5分)已知y是x的反比例函数,并且当x=2时,y=6.

(1)求y关于x的函数解析式;

(2)当x=4时,求y的值.
【分析】

(1)直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可;

(2)直接利用x=4代入求出答案.
【解答】解:

(1)y是x的反例函数, 所以,设当x=2时,y=6. 所以,k=xy=12, 所以, ; ,

(2)当x=4时,y=3.
【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式,正确假设出解析式是解题关键. 18.(5分)如图,在▱ABCD中,点E在边AD上,以C为圆心,AE长为半径画弧,交边BC于点F,连接BE、DF.求证:△ABE≌△CDF.
【分析】直接利用已知作图方法结合全等三角形的判定方法分析得出答案.
【解答】证明:由题意可得:AE=FC, 在平行四边形ABCD中,AB=DC,∠A=∠C 在△ABE和△CDF中,, 所以,△ABE≌△CDF(SAS).
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定,正确掌握基本作图方法是解题关键. 四、解答题(每小题7分,共28分) 19.(7分)图①,图②均为4×4的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点.在图①中已画出线段AB,在图②中已画出线段CD,其中A、B、C、D均为格点,按下列要求画图:

(1)在图①中,以AB为对角线画一个菱形AEBF,且E,F为格点;

(2)在图②中,以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH,且G,H为格点,∠CGD=∠CHD =90°.
【分析】

(1)根据菱形的定义画出图形即可(答案不唯一).

(2)利用数形结合的思想解决问题即可.
【解答】解:

(1)如图,菱形AEBF即为所求.

(2)如图,四边形CGDH即为所求.
【点评】本题考查作图﹣应用与设计,菱形的判定和性质,直角三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型. 20.(7分)问题解决 糖葫芦一般是用竹签串上山楂,再蘸以冰糖制作而成.现将一些山楂分别串在若干根竹签上.如果每根竹签串5个山楂,还剩余4个山楂;如果每根竹签串8个山楂,还剩余7根竹签.这些竹签有多少根。山楂有多少个。
反思归纳 现有a根竹签,b个山楂.若每根竹签串c个山楂,还剩余d个山楂,则下列等式成立的是

(2) (填写序号).

(1)bc+d=a;

(2)ac+d=b;

(3)ac﹣d=b.
【分析】问题解决 设竹签有x根,山楂有y个,由题意得出方程组:反思归纳 由每根竹签串c个山楂,还剩余d个山楂,得出ac+d=b即可. ,解方程组即可;
【解答】问题解决 解:设竹签有x根,山楂有y个, 由题意得:, 解得:, 答:竹签有20根,山楂有104个; 反思归纳 解:∵每根竹签串c个山楂,还剩余d个山楂, 则ac+d=b, 故答案为:

(2).
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法;根据题意列出方程组是解题的关键. 21.(7分)墙壁及淋浴花洒截面如图所示.已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm,花洒AC的长为30cm,与墙壁的夹角∠CAD为43°.求花洒顶端C到地面的距离CE(结果精确到1cm).(参考数据:sin43°=0.68,cos43°=0.73,tan43°=0.93)
【分析】过C作CF⊥AB于F,于是得到∠AFC=90°,解直角三角形即可得到结论.
【解答】解:过C作CF⊥AB于F, 则∠AFC=90°, 在Rt△ACF中,AC=30,∠CAF=43°, ∵cos∠CAF=, ∴AF=AC•cos∠CAF=30×0.73=21.9, ∴CE=BF=AB+AF=170+21.9=191.9≈192(cm), 答:花洒顶端C到地面的距离CE为192cm.
【点评】本题考查解直角三角形,解题的关键是正确理解题意以及灵活运用锐角三角函数的定义,本题属于中等题型. 22.(7分)某地区有城区居民和农村居民共80万人.某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”.

(1)该机构设计了以下三种调查方案: 方案一:随机抽取部分城区居民进行调查; 方案二:随机抽取部分农村居民进行调查; 方案三:随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查. 其中最具有代表性的一个方案是 方案三 ;

(2)该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查.供选择的选项有:电脑、手机、电视、广播、其他,共五个选项.每位被调查居民只选择一个选项.现根据调查结果绘制如下统计图,请根据统计图回答下列问题: ①这次接受调查的居民人数为 1000 人; ②统计图中人数最多的选项为 手机 ; ③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数.
【分析】

(1)根据三个方案选出最具有代表性的一个方案即可;

(2)①把电脑、手机、电视、广播、其他,这五个选项的总人数相加即可; ②从统计图中找出人数最多的选项即可; ③用80×该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的人数所占的百分比即可得到结论.
【解答】解:

(1)最具有代表性的一个方案是方案三, 故答案为:方案三;

(2)①这次接受调查的居民人数为260+400+150+100+90=1000人; ②统计图中人数最多的选项为手机; ③80×=52.8万人, 答:该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数52.8万人. 故答案为:1000,手机.
【点评】本题考查的是条形统计图,读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;也考查了用样本估计总体. 五、解答题(每小题8分,共16分) 23.(8分)甲、乙两车分别从A,B两地同时出发,沿同一条公路相向行驶,相遇后,甲车继续以原速行驶到B地,乙车立即以原速原路返回到B地.甲、乙两车距B地的路程y(km)与各自行驶的时间x(h)之间的关系如图所示.

(1)m= 4 ,n= 120 ;

(2)求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;

(3)当甲车到达B地时,求乙车距B地的路程.
【分析】

(1)观察图象即可解决问题;

(2)运用待定系数法解得即可;

(3)把x=3代入

(2)的结论即可.
【解答】解:

(1)根据题意可得m=2×2=4,n=280﹣280÷3.5=120; 故答案为:4;120;

(2)设y关于x的函数解析式为y=kx(0≤x≤2), 因为图象经过(2,120), 所以2k=120, 解得k=60, 所以y关于x的函数解析式为y=60x, 设y关于x的函数解析式为y=k1x+b(2≤x≤4), 因为图象经过(2,120),(4,0)两点, 所以, 解得, 所以y关于x的函数解析式为y=﹣60+240(2≤x≤4);

(3)当x=3.5时,y=﹣60×3.5+240=30. 所以当甲车到达B地时,乙车距B地的路程为30km.
【点评】此题考查的知识点是一次函数的应用,解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数的解析式. 24.(8分)性质探究 如图①,在等腰三角形ABC中,∠ACB=120°,则底边AB与腰AC的长度之比为 理解运用

(1)若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4

(2)如图②,在四边形EFGH中,EF=EG=EH. ①求证:∠EFG+∠EHG=∠FGH; ②在边FG,GH上分别取中点M,N,连接MN.若∠FGH=120°,EF=10,直接写出线段MN的长. 类比拓展 顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 2sinα (用含α的式子表示). ,则它的面积为 4 ; .
【分析】性质探究 作CD⊥AB于D,则∠ADC=∠BDC=90°,由等腰三角形的性质得出AD=BD,∠A=∠B=30°,由直角三角形的性质得出AC=2CD,AD=理解运用

(1)同上得出则AC=2CD,AD==2,得出AB=4CD,得出AB=2AD=2CD,即可得出结果; CD,由等腰三角形的周长得出4CD+2CD=8+4,解得:CD,由三角形面积公式即可得出结果;

(2)①由等腰三角形的性质得出∠EFG=∠EGF,∠EGH=∠EHG,得出∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH即可; ②连接FH,作EP⊥FH于P,由等腰三角形的性质得出PF=PH,由①得:∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°,由四边形内角和定理求出∠FEH=120°,由等腰三角形的性质得出∠EFH=30°,由直角三角形的性质得出PE=EF=5,PF=PE=5,得出FH=2PF=10,证明MN是△FGH的中位线,由三角 形中位线定理即可得出结果; 类比拓展 作AD⊥BC于D,由等腰三角形的性质得出BD=CD,∠BAD=∠BAC=α,由三角函数得出BD=AB×sinα,得出BC=2BD=2AB×sinα,即可得出结果.
【解答】性质探究 解:作CD⊥AB于D,如图①所示: 则∠ADC=∠BDC=90°, ∵AC=BC,∠ACB=120°, ∴AD=BD,∠A=∠B=30°, ∴AC=2CD,AD=∴AB=2AD=2∴=CD, CD, =; ; 故答案为:理解运用

(1)解:如图①所示: 同上得:AC=2CD,AD=∵AC+BC+AB=8+4∴4CD+2, , CD, CD=8+4解得:CD=2, ∴AB=4, ×2=4; ∴△ABC的面积=AB×CD=×4故答案为:4

(2)①证明:∵EF=EG=EH, ∴∠EFG=∠EGF,∠EGH=∠EHG, ∴∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH; ②解:连接FH,作EP⊥FH于P,如图②所示: 则PF=PH,由①得:∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°, ∴∠FEH=360°﹣120°﹣120°=120°, ∵EF=EH, ∴∠EFH=30°, ∴PE=EF=5, ∴PF= PE=5, , ∴FH=2PF=10∵点M、N分别是FG、GH的中点, ∴MN是△FGH的中位线, ∴MN=FH=5类比拓展 解:如图③所示:作AD⊥BC于D, ∵AB=AC, ∴BD=CD,∠BAD=∠BAC=α, ; ∵sinα=, ∴BD=AB×sinα, ∴BC=2BD=2AB×sinα, ∴==2sinα; 故答案为:2sinα.
【点评】本题是四边形综合题目,考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理、四边形内角和定理、就直角三角形等知识;本题综合性强,熟练掌握等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键. 六、解答题(每小题10分,共20分) 25.(10分)如图,在矩形ABCD中,AD=4cm,AB=3cm,E为边BC上一点,BE=AB,连接AE.动点P、Q从点A同时出发,点P以cm/s的速度沿AE向终点E运动;点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动.设点Q运动的时间为x(s),在运动过程中,点P,点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y(cm).

(1)AE= 3 cm,∠EAD= 45 °; 2

(2)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;

(3)当PQ=cm时,直接写出x的值.
【分析】

(1)由勾股定理可求AE的长,由等腰三角形的性质可求∠EAD的度数;

(2)分三种情况讨论,由面积和差关系可求解;

(3)分三种情况讨论,由勾股定理可求解.
【解答】解:

(1)∵AB=3cm,BE=AB=3cm, ∴AE=∵∠BAD=90° ∴∠DAE=45° 故答案为:3,45 =3 cm,∠BAE=∠BEA=45°

(2)当0<x≤2时,如图,过点P作PF⊥AD, ∵AP=x,∠DAE=45°,PF⊥AD ∴PF=x=AF, ∴y=S△PQA=×AQ×PF=x,

(2)当2<x≤3时,如图,过点P作PF⊥AD, 2 ∵PF=AF=x,QD=2x﹣4 ∴DF=4﹣x, ∴y=x+(2x﹣4+x)(4﹣x)=﹣x+8x﹣8 22当3<x≤时,如图,点P与点E重合. ∵CQ=(3+4)﹣2x=7﹣2x,CE=4﹣3=1cm ∴y=(1+4)×3﹣(7﹣2x)×1=x+4

(3)当0<x≤2时 ∵QF=AF=x,PF⊥AD ∴PQ=AP ∵PQ=cm ∴x= ∴x= 当2<x≤3时,过点P作PM⊥CD ∴四边形MPFD是矩形 ∴PM=DF=4﹣2x,MD=PF=x, ∴MQ=x﹣(2x﹣4)=4﹣x ∵MP+MQ=PQ, 222 ∴(4﹣2x)+(4﹣x)=22 ∵△<0 ∴方程无解 当3<x≤时, ∵PQ=CP+CQ, ∴=1+(7﹣2x), 2222∴x= 综上所述:x=或
【点评】本题是四边形综合题,考查了矩形的判定和性质,勾股定理,等腰三角形的性质,利用分类讨论思想解决问题是本题的关键. 26.(10分)如图,抛物线y=(x﹣1)+k与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C(0,﹣3).P为抛物线上一点,横坐标为m,且m>0.

(1)求此抛物线的解析式;

(2)当点P位于x轴下方时,求△ABP面积的最大值;

(3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h. ①求h关于m的函数解析式,并写出自变量m的取值范围; ②当h=9时,直接写出△BCP的面积. 2
【分析】

(1)将点C(0,﹣3)代入y=(x﹣1)+k即可;

(2)易求A(﹣1,0),B(3,0),抛物线顶点为(1,﹣4),当P位于抛物线顶点时,△ABP的面积有最大值;

(3))①当0<m≤1时,h=﹣3﹣(m﹣2m﹣3)=﹣m+2m;当1<m≤2时,h=﹣1﹣(﹣4)=1;当m>2时,h=m﹣2m﹣3﹣(﹣4)=m﹣2m+1; ②当h=9时若﹣m+2m=9,此时△<0,m无解;若m﹣2m+1=9,则m=4,则P(4,5),△BCP的面积=8×4﹣5×1﹣(4+1)×3=6; 22222222
【解答】解:

(1)将点C(0,﹣3)代入y=(x﹣1)+k, 得k=﹣4, ∴y=(x﹣1)﹣4=x﹣2x﹣3;

(2)令y=0,x=﹣1或x=3, ∴A(﹣1,0),B(3,0), ∴AB=4; 抛物线顶点为(1,﹣4), 当P位于抛物线顶点时,△ABP的面积有最大值, 22S==8; 22

(3)①当0<m≤1时,h=﹣3﹣(m﹣2m﹣3)=﹣m+2m; 当1<m≤2时,h=﹣1﹣(﹣4)=1; 当m>2时,h=m﹣2m﹣3﹣(﹣4)=m﹣2m+1; ②当h=9时 若﹣m+2m=9,此时△<0,m无解; 若m﹣2m+1=9,则m=4, ∴P(4,5), ∵B(3,0),C(0,﹣3), ∴△BCP的面积=8×4﹣5×1﹣(4+1)×3=6; 2222
【点评】本题考查二次函数的图象及性质,是二次函数综合题;熟练掌握二次函数的性质,数形结合,分类讨论是解题的关键.

7、我们各种习气中再没有一种象克服骄傲那麽难的了。虽极力藏匿它,克服它,消灭它,但无论如何,它在不知不觉之间,仍旧显露。——富兰克林

8、女人固然是脆弱的,母亲却是坚强的。——法国

9、慈母的胳膊是慈爱构成的,孩子睡在里面怎能不甜。——雨果

10、母爱是多么强烈、自私、狂热地占据我们整个心灵的感情。
——邓肯

11、世界上一切其他都是假的,空的,唯有母亲才是真的,永恒的,不灭的。
——印度 初中试题分析数学。
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