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三角函数公式、图像大全 三角函数的公式

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三角函数的公式
初等函数的图形 幂函数的图形 指数函数的图形 对数函数的图形 三角函数的图形 各三角函数值在各象限的符号 sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 三角函数的性质 函数 y=sinx y=cosx y=tanx {x|x∈R且2y=cotx {x|x∈R且x≠kπ,k∈Z} 定义域 R R x≠kπ+Z} ,k∈[-1,1]x=2kπ+值域 ymax=1 x=2kπ- 周期性 奇偶性 周期为2π 奇函数 在[2kπ-单调性 22 时 时ymin=-1 [-1,1] x=2kπ时ymax=1 x=2kπ+π时ymin=-1 周期为2π 偶函数 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期为π 奇函数 周期为π 奇函数 在(kπ,kπ+π)内都是减函数(k∈Z) 在[2kπ-π,在(kπ-,2kπ]上都是增222上都是增函数;在函数;在[2kπ,kπ+)内都是22kπ+π]上都是2[2kπ+ ,2kπ+π]3减函数(k∈Z) 增函数(k∈Z) 2上都是减函数(k∈Z) ,2kπ+ ] 反三角函数的图形 反三角函数的性质 名称 反正弦函数 y=sinx(x∈〔-定义 2反余弦函数 反正切函数 反余切函数 y=cotx(x∈(0,π))的反函数,叫做反余切函数,记作x=arccoty ,2 〕的反函数,叫做反正弦函数,记作x=arsiny y=cosx(x∈y=tanx(x∈(- , 〔0,π〕)的反函2数,叫做反余 )的反函数,叫弦函数,记作2x=arccosy 做反正切函数,记作x=arctany arcsinx表示属于[-理解 2,2] 且正弦值等于x的角 arccosx表示arctanx表示属于属于[0,π],(-,),且正切且余弦值等于22x的角 值等于x的角 arccotx表示属于(0,π)且余切值等于x的角 定义域 [-1,1] 值域 [-2[-1,1] [0,π] 在[-1,1]上是减函数 arccos(-x)=π-arccosx (-∞,+∞) (-2(-∞,+∞) (0,π) 在(-∞,+∞)上是减函数 arccot(-x)=π-arccotx cot(arccotx)=x(x∈R) arccot(cotx)=x(x∈(0,π)) ,2] ,2) 性在〔-1,1〕上是单调性 质 增函数 arcsin(-x)=-arcsi奇偶性 nx 周期性 都不是同期函数 sin(arcsinx)=x(x∈[-1,1])arcsin(sinx)恒等式 =x(x∈[-,]) 22在(-∞,+∞)上是增数 arctan(-x)=-arctanx cos(arccosx)=tan(arctanx)=x(xx(x∈[-1,1]) ∈arccos(cosx)=R)arctan(tanx)=xx(x∈[0,π]) (x∈(-,)) 22互余恒等式 arcsinx+arccosx=2(x∈[-1,1]) arctanx+arccotx=2(X∈R) 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tan(A-B) =tanAtanB1-tanAtanBtanAtanB1tanAtanBcotAcotB-1cotBcotAcotAcotB1cotBcotA cot(A+B) =cot(A-B) =倍角公式 tan2A =2tanA1tanA2 Sin2A=2SinA•CosA Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana·tan( 3+a)·tan(3-a) 半角公式 sin(A2A2A2A2A2)=1cosA21cosA21cosA1cosA1cosA1cosA1cosAsinA cos()= tan()= cot(tan()=)= sinA1cosA= 和差化积 sina+sinb=2sinsina-sinb=2cosab2ab2cossinab2ab2 cosa+cosb = 2coscosa-cosb = -2sintana+tanb=ab2ab2cossinab2ab2sin(ab)cosacosb 积化和差 sinasinb = -cosacosb = sinacosb = cosasinb = 12121212[cos(a+b)-cos(a-b)] [cos(a+b)+cos(a-b)] [sin(a+b)+sin(a-b)] [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(cos(sin(cos(2-a) = cosa -a) = sina +a) = cosa +a) = -sina 222sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =sinacosa 万能公式 2tana2a2a2a2a2a2sina=1(tan1(tan )))22cosa=1(tan2tan 2tana=1(tan )2 其它公式 a•sina+b•cosa=(a2b2)×sin(a+c) [其中tanc=a•sin(a)-b•cos(a) = 1+sin(a) =(sin1-sin(a) = (sin a2a2ba] ab(ab)×cos(a-c) [其中22tan(c)=] +cos)2 2a-cos)2 2a其他非重点三角函数 csc(a) =sec(a) =1sina1cosa 双曲函数 sinh(a)=e-e2ee2sinh(a)cosh(a)aa-a -acosh(a)= tg h(a)= 公式一 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)= sinα cos(2kπ+α)= cosα tan(2kπ+α)= tanα cot(2kπ+α)= cotα 公式二 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)= -sinα cos(π+α)= -cosα tan(π+α)= tanα cot(π+α)= cotα 公式三 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: sin(-α)= -sinα cos(-α)= cosα tan(-α)= -tanα cot(-α)= -cotα 公式四 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(π-α)= sinα cos(π-α)= -cosα tan(π-α)= -tanα cot(π-α)= -cotα 公式五 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)= -sinα cos(2π-α)= cosα tan(2π-α)= -tanα cot(2π-α)= -cotα 公式六 2±α及232±α与α的三角函数值之间的关系: sin(cos(tan(cot(sin(cos(tan(cot(sin(cos(tan(cot(sin(cos(tan(cot(+α)= cosα +α)= -sinα +α)= -cotα +α)= -tanα -α)= cosα -α)= sinα -α)= cotα -α)= tanα +α)= -cosα +α)= sinα +α)= -cotα +α)= -tanα -α)= -cosα -α)= -sinα -α)= cotα -α)= tanα 22222223232323232323232(以上k∈Z) 这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =A2B22ABcos()×sintarcsin[(AsinBsin)AB2ABcos()22 三角函数公式证明(全部) 公式表达式 乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理 判别式 b2-4a=0 注:方程有相等的两实根 b2-4ac>0 注:方程有一个实根 b2-4ac<0 注:方程有共轭复数根 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角 正切定理 [(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]} 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L 注:其中,S'是直截面面积,柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h L是侧棱长 -------------------------------------------------------------------------------------------- 三角函数 积化和差 和差化积公式 记不住就自己推,用两角和差的正余弦: cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB 这两式相加或相减,可以得到2组积化和差: 相加:cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2 相减:sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2 sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA 这两式相加或相减,可以得到2组积化和差: 相加:sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2 相减:sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2 这样一共4组积化和差,然后倒过来就是和差化积了 不知道这样你可以记住伐,实在记不住考试的时候也可以临时推导一下 正加正 正在前 正减正 余在前 余加余 都是余 余减余 没有余还负 正余正加 余正正减 余余余加 正正余减还负 . 3.三角形中的一些结论:(不要求记忆) (1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC (2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) (3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1 (4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC (5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ........................... 已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ 解:sinα=m sin(α+2β) sin(a+β-β)=msin(a+β+β) sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβ sin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1) tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ 三角函数的公式。
小学英语评课稿, 凤城中学, 梅岗中学, 中学生社会实践活动, 上海师范大学附属高桥实验中学, 本溪高中,

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