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三角函数公式大全及其推导方法 三角函数的公式

教学资源|题库|学习文库-「普洱教育」来源: https://www.puerjy.cn 2020-02-09 03:18公式大全 46866 ℃
三角函数的公式
三角函数公式大全及其推导 1. 三角函数的定义 A c b θ C a B Figure I 由此,我们定义: 如Figure I, 在ΔABC中 对边)斜边邻边()斜边对边()邻边11a邻边 的余切值:cot()tanbb对边 a11c斜边 的正割值:sec()cosaa邻边c11c斜边 的余割值:csc()bsinb对边c备注:当用一个字母或希腊字母表示角时,可略写∠符号,但用三个子母表示时,不能省略。在本文中,我们只研究sin、cos、tan。
2. 额外的定义  的正弦值:sin(bca 的余弦值:coscb 的正切值:tanasin2(sin)2cos2(cos)2tan2(tan)2 3. 简便计算公式 bcosAcos(90)cccossinAsin(90)b b111tanaatanAtan(90)bsin2cos21sin证明: 在ABC中,ABC90a2b2c2 a2b2221ccsin2BsinA1 sin2cos21证完 bbsintancaacos csin2cos212tan1cos2cos2cos24. 任意三角形的面积公式 C a b h d e B c A Figure II 如FigureII, 1SABCah21 absinC21acsinB (两边和其夹角正弦的乘积)25. 余弦定理:任意三角形一角的余弦等于两邻边的平方和减对边的平方之差与两邻边积的两倍之比。 证明: 如Figure II, b2d2h2(accosB)2(csinB)2a22accosBc2cos2Bc2sin2B =a22accosBc2(cos2Bsin2B) a2c22accosBb2a2c2a2c2b2cosB2ac2ac 6. 海伦公式 证明: 如Figure II, 证完 SABC1absinC21ab1cos2C2a2b2c21ab122ab21a4b4c42a2b22a2c22b2c2ab124a2b214a2b2a4b4c42a2b22a2c22b2c2ab24a2b21224a2b2a4b4c42a2b22a2c22b2c2ab44a2b2444222222122abc2ab2ac2bcab44a2b2 abcabcbcaabc16 设:s=abc2cabc2babc2aabc2222abc2cabc2babc2aabc2222abcabcabcabcabc2222abc2SABCssasbsc 7. 正弦定理 A c O B a C Figure III 如 Figure III, c为ΔABC外接圆的直径, sinAac ac2r (r为ABC 的外接圆半径)sinA同理: bc, csinBsinC abc2rsinAsinBsinC c 8. 加法定理 (1) 两角差的余弦 y A B (α-β) α β O C x Figure IV 如 Figure IV, AOC BOCAOB令AO=BO=r 点A的横坐标为xArcos 点A的纵坐标为yArsin 点B的横坐标为xBrcos 点B的纵坐标为yBrsin AB2yAyBxAxB2222rsinrsinrcosrcosr2sin2r2sin22r2sinsinr2cos2r2cos22r2coscosr2sin2sin22sinsincos2cos22coscosr2sin2cos2sin2cos22sinsin2coscosr2112sinsincoscosr222sinsincoscos2r21sinsincoscos由余弦公式可得: AB2AC2BC22ACBCcosACBr2r22rrcos2r22r2cosr222cos2r21cos 综上得:cossinsincoscos (2) 两角和的余弦 coscossinsincoscossinsincoscoscoscossinsin(3) 两角和的正弦 sincos90cos90sin90sincos90coscossinsincos(4) 两角差的正弦 sinsincossinsincoscossinsincossincoscossin(5) 两角和的正切 tansincoscossinsincoscoscossinsincossinsincoscoscoscoscossinsincoscossinsincoscossinsin1coscostantan1tantan (6) 两角差的正切 tantan9. 两倍角公式 tantan 1tantantantan1tantansin2sinsincossincos2sincoscos2coscoscossinsincos2sin212sin22cos21tan2sin2cos22sincoscos2sin22sincos2cos2cossin2cos22sincossin21cos22tan1tan210. 积化和差公式 sincos12sincos21sincossincoscossincossin 21sinsin2 coscos12coscos21coscoscoscossinsinsinsin21coscos2 1sinsin2sinsin21sinsinsinsincoscoscoscos21coscos211. 和差化积公式 (1) 设:A=α+β, B=α-β, sinAsinBsinsinsincoscossinsincoscossin2sincos2sincos22ABAB2sincos22sinAsinBsinsinsincoscossinsincoscossin2cossin2cossin22ABAB2cossin22(2) 设:cosaa2b2, sinba2b2, ∵cos2sin21 asinbsina2b2aab22sina2b2bab22cosa2b2cossinsincosa2b2sin 12. 其他常用公式 sinn3600sincosn3600costann3600tansin90coscos90sin1tansin90costan90cos90sin1tansin90costan90cos90sin1tansin180sintan90cos180costan180tansin180sincos180costan180tansinsincoscostantantan2n190 不存在1cos1cos11sin1sin1 13. 特殊的三角函数值 00 15 30 12662 462 41 245 42 22 2560 75 90 31223 21 2sin 0 62 462 41 cos 1 3 23 30 tan 0 23 1 3 23 N/A 14. 关于机器算法 在计算机中,三角函数的算法是这样的,其中x用弧度计算 0x1x3x5x7x2n1sinx1。
3。5。
7。n2n1。0x0x2x4x6xncosx0。2。
4。6。
n2n。 推导公式:(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R(其中,R为外接圆半径) 由正弦定理有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 所以 a=2R*sinA b=2R*sinB c=2R*sinC 加起来a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC)带入 (a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB+sinC)=2R 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA 对数的性质及推导 用^表示乘方,用log(a)(b)表示以a为底,b的对数 *表示乘号,/表示除号 定义式: 若a^n=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b) 基本性质: 1.a^(log(a)(b))=b (a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); (a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); (a)(M^n)=nlog(a)(M) 推导 1.这个就不用推了吧,直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b) 2. MN=M*N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]*a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数,所以 log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N) 3.与2类似处理 MN=M/N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(M/N)]=a^[log(a)(M)]/a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(M/N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数,所以 log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N) 4.与2类似处理 M^n=M^n 由基本性质1(换掉M) a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n 由指数的性质 a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n} 又因为指数函数是单调函数,所以 log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 其他性质: 性质一:换底公式 log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a) 推导如下 N=a^[log(a)(N)] a=b^[log(b)(a)] 综合两式可得 N={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]} 又因为N=b^[log(b)(N)] 所以 b^[log(b)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]} 所以 log(b)(N)=[log(a)(N)]*[log(b)(a)]{这步不明白或有疑问看上面的} 所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a) 性质二:(不知道什么名字) log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] 推导如下 由换底公式[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底] log(a^n)(b^m)=ln(a^n)/ln(b^n) 由基本性质4可得 log(a^n)(b^m)=[n*ln(a)]/[m*ln(b)]=(m/n)*{[ln(a)]/[ln(b)]} 再由换底公式 log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] --------------------------------------------(性质及推导完) 公式三: log(a)(b)=1/log(b)(a) 证明如下: 由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)----取以b为底的对数,log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)*log(b)(a)=1 平方关系: sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·商的关系: tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα ·倒数关系: tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 万能公式: sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 常用的诱导公式有以下几组: 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三: 任意角α与-α的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六: π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 一般的最常用公式有: Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosA Sin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosA Cos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinB Cos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinB Tan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB) Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB) 平方关系: sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系: sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系: tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数: cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·辅助角公式: Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) ·倍角公式: sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·三倍角公式: sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα ·半角公式: sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) ·万能公式: sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] ·积化和差公式: sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式: sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] ·其他: sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+„„+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+„„+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 部分高等内容 ·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得): sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)] 泰勒展开有无穷级数,e^z=exp(z)=1+z/1。+z^2/2。
+z^3/3。
+z^4/4。+„+z^n/n。
+„ 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 ·三角函数作为微分方程的解: 对于微分方程组y=-y'';y=y'''',有通解Q,可证明 Q=Asinx+Bcosx,因此也可以从此出发定义三角函数。 补充:由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数,其拥有很多与三角函数的类似的性质,二者相映成趣。 特殊三角函数值 a0`30`45`60`90` sina01/2√2/2√3/21 cosa1√3/2√2/21/20 tana0√3/31√3None cotaNone√31√3/30 三角函数的计算 幂级数 c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞) c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞) 它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数,这种级数称为幂级数. 泰勒展开式(幂级数展开法): f(x)=f(a)+f'(a)/1。*(x-a)+f''(a)/2。*(x-a)2+...f(n)(a)/n。
*(x-a)n+... 实用幂级数: ex=1+x+x2/2。+x3/3。
+...+xn/n。+... ln(1+x)=x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+...(|x|<1) sinx=x-x3/3。+x5/5。-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)。
+...(-∞-...(-1)k*x2k/(2k)。+...(-∞+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)。
+...(-∞+...(-∞
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