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三角函数公式证明 三角函数的公式

教学资源|题库|学习文库-「普洱教育」来源: https://www.puerjy.cn 2020-02-09 03:17公式大全 49112 ℃
三角函数的公式
两角和的正弦与余弦公式:
(1) sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;
(2) cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ; 教材的思路是在直角坐标系的单位圆中, 根据两点间的距离公式推导: cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ; 再用诱导公式证明: sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ; 如图所示:∠AOD=α,∠BOD=-β,∠AOC=β,∠DOC=β+α。 则B(cosβ,-sinβ);D(1,0);A(cosα,sinα);C[cos(α+β),sin(α+β)]。 ∵ OA=OB=OC=OD=1 ∴ CD=AB。 ∵ CD2=[cos(α+β)-1] 2+[ sin(α+β)-0] 2; =cos2(α+β)- 2cos(α+β)+1 + sin2(α+β); =2-2 cos(α+β)。
AB2=(cosα-cosβ)2+ (sinα+sinβ)2; =cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+ sin2β; =2-2[cosαcosβ- sinαsinβ]。 ∴ 2-2 cos(α+β)=2-2[cosαcosβ- sinαsinβ]。
∴ cos(α+β)=cosαcosβ- sinαsinβ ∴ sin(α+β)= cos(90°-α-β) =cos[(90°-α)+(-β)] =cos(90°-α)cos(-β)- sin(90°-α)sin(-β) =sinαcosβ+cosαsinβ cos2sin/2sin/2coscos/2sincos2sin21sin2sin212sin2cos21cos22cos21 又tan(α-β) = sin(α-β)/cos(α-β) = (sinα·cosβ-cosα·sinβ)/(cosα·cosβ+sinα·sinβ) 同除cosα·cosβ,得tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 同理,tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) 正弦、余弦的和差化积公式 指三角函数中的一组恒等式 以上公式可用积化和差公式推导,也可以由和角公式得到,以下用和角公式证明之。 证明:由和角公式有, 两式相加、减便可得到上面的公式

(1)、

(2),同理可证明公式

(3)、

(4)。 正切的和差化积 (附证明) cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ) tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ) tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)
【注意右式前的负号】 证明:左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ =(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ) =sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边 ∴等式成立 2注意事项编辑 在应用和差化积时,必须是一次同名三角函数方可实行。
若是异名,必须用诱导公式化为同名;若是高次函数,必须用降幂公式降为一次 口诀 正加正,正在前,余加余,余并肩 正减正,余在前,余减余,负正弦 反之亦然 生动的口诀:(和差化积) 帅+帅=帅哥[1] 帅-帅=哥帅 哥+哥=哥哥 哥-哥=负嫂嫂 反之亦然 语文老师教的口诀: 口口之和仍口口 cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] 赛赛之和赛口留 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] 口口之差负赛赛 cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 赛赛之差口赛收 sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 另一口诀: 正和正在先,sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] 正差正后迁,sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 余和一色余,cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] 余差翻了天,cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 另另一种口诀(前提是角度(α+β)/2在前,(α-β)/2在后的标准形式) : 正弦加正弦,正弦在前面,sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] 正弦减正弦,余弦在前面,sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 余弦加余弦,余弦全部见,cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] 余弦减余弦,余弦(负)不想见,cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 3记忆方法编辑 和差化积公式的形式比较复杂,记忆中以下几个方面是难点,下面指出了各自的简单记忆方法。 如何只记两个公式甚至一个 我们可以只记上面四个公式的第一个和第三个。 而第二个公式中的-sinβ=sin(β+π),也就是sinα-sinβ=sinα+sin(β+π),这就可以用第一个公式解决。
同理第四个公式中,cosα-cosβ=cosα+cos(β+π),这就可以用第三个公式解决。 如果对诱导公式足够熟悉,可以在运算时把cos全部转化为sin,那样就只记住第一个公式就行了。 用的时候想得起一两个就行了。 结果乘以2 这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。
sin和cos的值域都是[-1,1],其积的值域也应该是[-1,1],而和差的值域却是[-2,2],因此乘以2是必须的。 也可以通过其证明来记忆,因为展开两角和差公式后,未抵消的两项相同而造成有系数2,如: cos(α-β)-cos(α+β) =[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)] =2sinαsinβ 故最后需要乘以2。
只有同名三角函数能和差化积 无论是正弦函数还是余弦函数,都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。这一点主要是根据证明记忆,因为如果不是同名三角函数,两角和差公式展开后乘积项的形式都不同,就不会出现相抵消和相同的项,也就无法化简下去了。
乘积项中的角要除以2 在和差化积公式的证明中,必须先把α和β表示成两角和差的形式,才能够展开。熟知要使两个角的和、差分别等于α和β,这两个角应该是(α+β)/2和(α-β)/2,也就是乘积项中角的形式。 注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”,但位置不同;而只有和差化积公式中有“乘以2”。 使用哪两种三角函数的积 这一点较好的记忆方法是拆分成两点,一是是否同名乘积,二是“半差角”(α-β)/2的三角函数名。
是否同名乘积,仍然要根据证明记忆。
注意两角和差公式中,余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积,正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。所以,余弦的和差化作同名三角函数的乘积;正弦的和差化作异名三角函数的乘积。
(α-β)/2的三角函数名规律为:和化为积时,以cos(α-β)/2的形式出现;反之,以sin(α-β)/2的形式出现。 由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果要使和化为积,那么α和β调换位置对结果没有影响,也就是若把(α-β)/2替换为(β-α)/2,结果应当是一样的,从而(α-β)/2的形式是cos(α-β)/2;另一种情况可以类似说明。
余弦-余弦差公式中的顺序相反/负号 这是一个特殊情况,完全可以死记下来。 当然,也有其他方法可以帮助这种情况的判定,如(0,π]内余弦函数的单调性。因为这个区间内余弦函数是单调减的,所以当α大于β时,cosα小于cosβ。
但是这时对应的(α+β)/2和(α-β)/2在(0,π)的范围内,其正弦的乘积应大于0,所以要么反过来把cosβ放到cosα前面,要么就在式子的最前面加上负号。 积化和差 积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的手段来证明。
即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明: sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ] =-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)] =-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)] 其他的3个式子也是相同的证明方法。
三角函数的公式。
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