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三角函数基础知识和主要公式 三角函数的公式

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三角函数的公式
北京大学MPA论坛:/bbs/?boardid=8 三角函数基础知识 (划红线内容重点学习,其余部分建议学习)
1、任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数的定义:角α的终边上任意一点p的坐标是(x,y),它与原点的距离是r(r>0),那么角α的正弦、余弦、正切、余切分别是 (2)三角函数值的符号 正弦值与余割值对于第一、二象限的角是正的,而对于第三、四象限的角是负的.余弦值与正割值对于第一、四象限的角是正的,而对于第二、三象限的角是负的. 正切值与余切值对于第一、三象限的角是正的,而对于第二、四象限角是负的,也可以按正的在各象限的函数来记,即“一全、二正弦,三切、四余弦”(正割、余割分别与余弦、正弦符号相同) 2.同角三角函数的基本关系式 (1)倒数关系:sinαcsc=1 cosαsecα= tgαctgα=1 (3)平方关系:sinα+cosα=1 1+tgα=secα 1+ctgα=cscα 3.诱导公式 1 椰岛,欢迎您。。。 222222北京大学MPA论坛:/bbs/?boardid=8 (1) k²360°+α(k∈Z),-α,180°±a,360°-α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α角看成锐角时原函数值的符号,即 sin(k²360°+α)=sinα,cos(k²360°+α)=cosα tg(k²360°+α)=tgα,ctg(k²360°+α)=ctgα(k∈Z) sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα tg(-α)=-tgα,ctg(-α)=-tgα sin(180°+α)=-sinα, cos(180°+α)=-cosα tg(180°+α)=tgα, ctg(180°+α)=ctgα sin(180°-α)=sinα,cos(180°-α)=-cosα tg(180°-α)=-tgα,ctg(180°-α)=-ctgα sin(360°-α)=-sinα,cos(360°-α)=cosα tg(360°-α)=-tgα,ctg(360°-α)=-ctgα (2) 90°±α, 270°±α的三角函数值等于a的余名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号,例如sin(90°+α)=cosα, tg(270°+α)=-ctgα 综上,诱导公式可概括为k²90°±α(k∈Z)的三角函数值,等于α的同名(k为偶数时)或余名(k为奇数时)的函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简称之为“奇余偶不变,符号看象限”. 4.三角函数的图象和性质 (1)三角函数线 以原点为圆心,以单位长为半径的圆叫做单位圆,如图2—3,设角α的终边与单位圆的交点为p ,过p作PM垂直于x轴,垂足为M,A(1,0)、B(0,1),过A、B点作单位的切2 椰岛,欢迎您。
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北京大学MPA论坛:/bbs/?boardid=8 线AT、BS分别与角α的终边或其反向延长线交于T、S则有向线及MP、OM、AT、BS、OT、OS分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线. (2)三角函数的图象 正弦函数 y=sinx 余弦函数 y=cosx(如图2—4) 正切函数 y=tgx 余切函数 y=ctgx (如图2—5) (3)三角函数的周期 ①周期函数 对于函数y=f(x),如果存在着一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期. ②最小正周期:对于一个周期函数来说、如果在所有的周期中存在着一个最小正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期.教科书上所指三角函数的周期均为最小正周期. (4)三角函数的性质 3 椰岛,欢迎您。。。 北京大学MPA论坛:/bbs/?boardid=8

5、积化和差与和差化积 4 椰岛,欢迎您。。。 北京大学MPA论坛:/bbs/?boardid=8

(1)积化和差与和差化积各有四个公式,它们实质是一类公式的正用或逆用,即积化和差公式的逆用就是和差化积公式。这些公式既是重点,又是难点,只有掌握准确,才能熟练应用。

(2)积化和差公式是运用两角和、两角差的三角函数公式推导出来的,推导中用了“解方程组”的思想。 和差化积公式是从三角函数的积化和差的公式逆推出来的。
推导中用了“换元”的思想。 我们要熟悉推导过程,掌握推导方法,这既有助于对公式的充分理解,又有助于运用公式解决问题。

(3)要注意寻找公式特征,掌握它们的异同点:即角、函数名称、函数间的运算、系数等方面的异同点。①只有系数绝对值相同的同名函数的和与差,才能运用公式化成和的形式。②如果是一正弦与一余弦的和或差,可先用诱导公式化成积的形式。例如:

(4)对三角函数的和差化积,常因所采取的途径不同,而导致结果在形式上的差异,但结果实际上是一致的(如上例)。 5 椰岛,欢迎您。。
。 北京大学MPA论坛:/bbs/?boardid=8 “和差化积”不能只注意到化成“三角函数的积”,而忽略了答案的最简形式。例如,解如下习题: 把sinα-sinβ化成积的形式。
解 sinα-sinβ 2222 =sin(α+β)²sin(α-β) 最后一步,往往会忽略丢掉,应予充分注意。

(5)把三角函数式化成积的形式,有时需要把某些数当成三角函

(6)将asinα+bcosα型的三角函数式化成积的形式,即asinα+ 它为研究函数y=asinx+bcosx的性质提供了一条途径。辅助角φ终边所在

(7)所谓三角函数的和差化积是指:把“多项式”化为“单项式”而不影响原式的值的变形。
因此四个和差化积公式的运用可分为以下几种类型: ①直接运用公式; ②经过简单变形后就可运用公式; ③设置辅助角,对形如asinx+bcosx型的三角函数式进行和差化积; ④“三项式”的和差化积问题,如把1+sinθ+cosθ化成积的形式。 6 椰岛,欢迎您。。。
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6、两角和与差的三角函数 sin(α±β)=sinαcosαβ±cosαsinβ

7、二倍角的正弦、余弦、正切 sin2α=2sinαcosα 1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα-cos2αsinα=3sinα-4sin3αcos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα=4cos3α-3cosα

8、半角的正弦、余弦、正切 7 椰岛,欢迎您。。
。 北京大学MPA论坛:/bbs/?boardid=8 -2α的半角等. 三角函数. 8 椰岛,欢迎您。。。 三角函数的公式。
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