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三角函数相关所有公式 三角函数的公式

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三角函数的公式
两角和与差的三角函数: cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 二倍角公式: sin(2α)=2sinα·cosα=2tan^2(α)/[1+tan^2(α)] cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)=(1-tan^2(α))/(1+tan^2(α)) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三倍角公式: sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα tan3α=(3tanα-tan^3(α))÷(1-3tan^2(α)) sin3α=4sinα×sin(60-α)sin(60+α) cos3α=4cosα×cos(60-α)cos(60+α) tan3α=4tanα×tan(60-α)tan(60+α) 半角公式: sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 万能代换公式: 半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式) sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式: sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化积公式: sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 三角恒等变换的证明方法 首先,在三角形ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角,则在三角形ABC中,过C作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA(做另两边的垂线,同理)可证明正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有:AD+BD=c AD=acosA,BD=acosBAD+BD=c代入正弦定理,可得sinC=sin(180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情况下,可证明正弦和的公式。利用正弦和余弦的定义及周期性,可证明该公式对任意角成立。于是有 cos(A+B)=sin(90-A-B)=sin(90-A)cos(-B)+cos(90-A)sin(-B)=cosAcosB-sinAsinB 由此易得以上全部公式 诱导公式 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: 弧度制下的角的表示: sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) sec(2kπ+α)=secα (k∈Z) csc(2kπ+α)=cscα (k∈Z) 角度制下的角的表示: sin (α+k·360°)=sinα(k∈Z) cos(α+k·360°)=cosα(k∈Z) tan (α+k·360°)=tanα(k∈Z) cot(α+k·360°)=cotα (k∈Z) sec(α+k·360°)=secα (k∈Z) csc(α+k·360°)=cscα (k∈Z) 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: 弧度制下的角的表示: sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sec(π+α)=-secα csc(π+α)=-cscα 角度制下的角的表示: sin(180°+α)=-sinα cos(180°+α)=-cosα tan(180°+α)=tanα cot(180°+α)=cotα sec(180°+α)=-secα csc(180°+α)=-cscα 公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sec(-α)=secα csc(-α)=-cscα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: 弧度制下的角的表示: sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sec(π-α)=-secα csc(π-α)=cscα 角度制下的角的表示: sin(180°-α)=sinα cos(180°-α)=-cosα tan(180°-α)=-tanα cot(180°-α)=-cotα sec(180°-α)=-secα csc(180°-α)=cscα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: 弧度制下的角的表示: sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sec(2π-α)=secα csc(2π-α)=-cscα 角度制下的角的表示: sin(360°-α)=-sinα cos(360°-α)=cosα tan(360°-α)=-tanα cot(360°-α)=-cotα sec(360°-α)=secα csc(360°-α)=-cscα 小结:以上五组公式可简记为:函数名不变,符号看象限. 即α+k·360°(k∈Z),﹣α,180°±α,360°-α的三角函数值,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。 公式六: π/2±α 及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:(⒈~⒋) ⒈ π/2+α与α的三角函数值之间的关系 弧度制下的角的表示: sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=—sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sec(π/2+α)=-cscα csc(π/2+α)=secα 角度制下的角的表示: sin(90°+α)=cosα cos(90°+α)=-sinα tan(90°+α)=-cotα cot(90°+α)=-tanα sec(90°+α)=-cscα csc(90°+α)=secα ⒉ π/2-α与α的三角函数值之间的关系 弧度制下的角的表示: sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sec(π/2-α)=cscα csc(π/2-α)=secα 角度制下的角的表示: sin (90°-α)=cosα cos (90°-α)=sinα tan (90°-α)=cotα cot (90°-α)=tanα sec (90°-α)=cscα csc (90°-α)=secα ⒊ 3π/2+α与α的三角函数值之间的关系 弧度制下的角的表示: sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sec(3π/2+α)=cscα csc(3π/2+α)=-secα 角度制下的角的表示: sin(270°+α)=-cosα cos(270°+α)=sinα tan(270°+α)=-cotα cot(270°+α)=-tanα sec(270°+α)=cscα csc(270°+α)=-secα ⒋ 3π/2-α与α的三角函数值之间的关系 弧度制下的角的表示: sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sec(3π/2-α)=-cscα csc(3π/2-α)=-secα 角度制下的角的表示: sin(270°-α)=-cosα cos(270°-α)=-sinα tan(270°-α)=cotα cot(270°-α)=tanα sec(270°-α)=-cscα csc(270°-α)=-secα 温馨提示:1.在做题目的时候,最好将α看成是锐角。
2.k∈Z 总结记忆:奇变偶不变,符号看象限。奇偶是针对k而言的,变与不变是针对三角函数名而言。
诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为: 对于kπ/2±α(k∈Z)的三角函数值, ①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变; ②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. (奇变偶不变) 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 (符号看象限) 例如: sin(2π-α)=sin(4·π/2-α),k=4为偶数,所以取sinα。 当α是锐角时,2π-α∈(270°,360°),sin(2π-α)<0,符号为“-”。
所以sin(2π-α)=-sinα 上述的记忆口诀是: 奇变偶不变,符号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时,角k·360°+α(k∈Z),-α、180°±α,360°-α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变;符号看象限。 # 各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;二正弦(余割);三两切;四余弦(正割)”. 这十二字口诀的意思就是说: 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”; 第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”; 第三象限内切函数是“+”,弦函数是“-”; 第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”. 上述记忆口诀,一全正,二正弦,三内切,四余弦 # 还有一种按照函数类型分象限定正负: 函数类型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 正弦 ...........+............+............—............—........ 余弦 ...........+............—............—............+........ 正切 ...........+............—............+............—........ 余切 ...........+............—............+............—........ 奇变偶不变,符号看象限 辅助角公式 对于acosx+bsinx型函数,我们可以如此变形 acosx+bsinx=√(a^2+b^2)(acosx/√(a^2+b^2)+bsinx/√(a^2+b^2)), 令点(b,a)为某一角φ终边上的点,则sinφ=a/√(a^2+b^2),cosφ=b/√(a^2+b^2) ∴acosx+bsinx=√(a^2+b^2)sin(x+arctan(a/b)) 三角函数的公式。
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