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三角函数公式大全(很详细) 三角函数的公式

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三角函数的公式
高中三角函数公式大全[图] 1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义 图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图 在直角三角形ABC,如下定义六个三角函数:  正弦函数  余弦函数  正切函数  余切函数  正割函数  余割函数 1.2 直角坐标系中的定义 图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图 在直角坐标系中,如下定义六个三角函数:  正弦函数  余弦函数 r  正切函数  余切函数  正割函数  余割函数 2 转化关系2.1 倒数关系 2.2 平方关系 2 和角公式 3 倍角公式、半角公式 3.1 倍角公式 3.2 半角公式 3.3 万能公式 4 积化和差、和差化积 4.1 积化和差公式 证明过程 首先,sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα(已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》) 因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα(正弦和角公式) 则 sin(α-β) =sin[α+(-β)] =sinαcos(-β)+sin(-β)cosα =sinαcosβ-sinβcosα 于是 sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα(正弦差角公式) 将正弦的和角、差角公式相加,得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 则 sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2(“积化和差公式”之一) 同样地,运用诱导公式cosα=sin(π/2-α),有 cos(α+β)= sin[π/2-(α+β)] =sin(π/2-α-β) =sin[(π/2-α)+(-β)] =sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α) =cosαcosβ-sinαsinβ 于是 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(余弦和角公式) 那么 cos(α-β) =cos[α+(-β)] =cosαcos(-β)-sinαsin(-β) =cosαcosβ+sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(余弦差角公式) 将余弦的和角、差角公式相减,得到 cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ 则 sinαsinβ=cos(α-β)/2-cos(α+β)/2(“积化和差公式”之二) 将余弦的和角、差角公式相加,得到 cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ 则 cosαcosβ=cos(α+β)/2+cos(α-β)/2(“积化和差公式”之三) 这就是积化和差公式: sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2 sinαsinβ=cos(α-β)/2-cos(α+β)/2 cosαcosβ=cos(α+β)/2+cos(α-β)/2 4.2 和差化积公式 部分证明过程: sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)=(sinαcosβ+sinβcosα)/(cosαcosβ-sinαsinβ)=(cosαtanαcosβ+cosβtanβcosα)/(cosαcosβ-cosαtanαcosβtanβ)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) tan(α-β)=tan[α+(-β)]=[tanα+tan(-β)]/[1-tanαtan(-β)]=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ) 诱导公式   sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a)          sin(pi/2-a)=cos(a) cos(pi/2-a)=sin(a) sin(pi/2+a)=cos(a) cos(pi/2+a)=-sin(a) sin(pi-a)=sin(a) cos(pi-a)=-cos(a) sin(pi+a)=-sin(a) cos(pi+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinA/cosA 两角和与差的三角函数       sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b)) tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b)) 三角函数和差化积公式     sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) sin(a)−sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2) 积化和差公式    sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] 二倍角公式   sin(2a)=2sin(a)cos(a) cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a) 半角公式    sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)) 万能公式    sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2)) 其它公式 a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中, tan(c)=b/a]  a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中,tan(c)=a/b]  1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2  1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2 其他非重点三角函数   csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a) 双曲函数    sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2 cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2 tgh(a)=sinh(a)/cosh(a) 常用公式表
(一) 1。乘法公式

(1)(a+b)²=a2+2ab+b2 (2)(a-b)²=a²-2ab+b² (3)(a+b)(a-b)=a²-b² (4)a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) (5)a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

2、指数公式: 1nmnPP0ma(1)a=1 (a≠0)

(2)a=(a≠0)

(3)a=a amnmnmnmnmnmnmn

(4)aa=a

(5)a÷a=a=a

(6)(a)=a aann2nnn

(7)(ab)=ab

(8)(b)=b

(9)(a)=a

(10)a2=|a|

3、指数与对数关系:

(1)若a=N,则blogaN

(2)若10=N,则b=lgN

(3)若eb=N,则b=㏑N

4、对数公式:

(1)logaabb, ㏑e=b

(2)alogaNN,e

(3)logaN

(6)lnblnNnbb=N lnN

(4)abeblna

(5)lnMNlnMlnN lnan1MlnMlnN

(7)lnMnnlnM

(8)㏑M=lnM Nn

5、三角恒等式:

(1)(Sinα)²+(Cosα)²=1

(2)1+(tanα)²=(secα)² sincos

(3)1+(cotα)²=(cscα)²

(4)tan

(5)cot cossin111

(6)cot

(7)csc

(8)sec tancoscos

6、特殊角三角函数值:  α 0 2 6 4 3 2sina 0 12 22 32 1 0 --1 0 cosa 1 32 3 322 1 12 3 3 30 --1 0 1 tana 0 ∞ 0 --∞ 0 cota ∞ 3 1 0 --∞ 0 ∞ 7.倍角公式:

(1)sin22sincos

(2)tan22tan 21tan

(3)cos2cos2sin22cos2112sin2 8.半角公式(降幂公式): 1cosa1cosa2222

(1)(sin)=

(2)(cos)= 221cosasina

(3)tan=sina=1cosa

29、三角函数与反三角函数关系:

(1)若x=siny,则y=arcsinx

(2)若x=cosy,则y=arccosx

(3)若x=tany,则y=arctanx

(4)若x=coty,则y=arccotx

10、函数定义域求法: 1

(1)分式中的分母不能为0, (a α≠0)

(2)负数不能开偶次方, (a α≥0)

(3)对数中的真数必须大于0, (logaN N>0)

(4)反三角函数中arcsinx,arccosx的x满足:(--1≤x≤1)

(5)上面数种情况同时在某函数出现时,此时应取其交集。

11、直线形式及直线位置关系:

(1) 直线形式:点斜式:yy0kxx0 斜截式:y=kx+b xx1yy1yy1x2x1 两点式:2

(2)直线关系:l
1:yk1xb1 l
2:yk2xb2 平行:若l1//l2,则k1k2 垂直:若l1l2,则k1k21 常用公式表
(二)

1、求导法则:

(1)(u+v)=u+v

(2)(u-v)=u-v uuvuv

(3)(cu)=cu

(4)(uv)=uv+uv

(5) 2vv///////////

2、基本求导公式:

(1)(c)=0

(2)(x)=ax/a/a1

(3)(a)=alna x/x11x/x//axlna

(4)(e)=e

(5)(㏒x)=

(6)(lnx)=x

(7)(sinx)=cosx

(8)(cosx)=-sinx //1/(cosx)22

(9)(tanx)==(secx) 12/2(sinx)

(10)(cotx)=-=-(cscx) (11)(secx)=secx*tanx (12)(cscx)=-cscx*cotx //1/122/1x1x(13)(arcsinx)= (14)(arccosx)=- 1/211x(15)(arctanx)= (16)arccotx1x2

3、微分

(1)函数的微分:dy=ydx

(2)近似计算:|Δx|很小时,fx0x=f(x0)+f//(x0)*x

4、基本积分公式

(1)kdx=kx+c

(2)xadx1a1xC a11dxlnxcxaxC

(3)x

(4)adxlna

(5)xxedxec

(6)sinxdxcosxC

(7)cosxdxsinxC

(8)sec2xdx21dxtanxC 2cosx1cscxdx2dxcotxcsinx

(9)

(10)11x2bdxarcsinxc1dxarctanxc2

(11)1x

5、定积分公式:

(1)af(x)dxf(t)dtaab

(2)baaf(x)dx0c b

(3)fxdxfxdx

(4)babaf(x)dxf(x)dxf(x)dxaca

(5)若f(x)是[-a,a]的连续奇函数,则af(x)dx0

(6)若f(x)是[-a,a]的连续偶函数,则:  a f ( x ) da  2 0 f ( x ) d a

6、积分定理: x

(1)ftdtfx abx2axftdtfbxbxfaxax 

(3)若F(x)是f(x)的一个原函数,则7.积分表 baf(x)dxF(x)baF(b)F(a) 1secxdxlnsecxtanxC 2cscxdxlncscxcotxC 351x11x4dxarcsinC dxarctanC2222aaaaxax11xadxlnC 2axax2a28.积分方法 1fxaxb;设:axbt 2fxa2x2;设:xasint fxx2a2;设:xasect fxa2x2;设:xatant 3分部积分法:udvuvvdu 三角函数的公式。
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