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三角函数计算公式大全 三角函数的公式

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三角函数的公式
三角函数公式 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。
其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中,但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系。
三角函数公式看似很多、很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律,就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。 定义式 锐角三角函数 任意角三角函数 图形 直角三角形 任意角三角函数 正弦(sin) 余弦(cos) 正切(tan或tg) 余切(cot或ctg) 正割(sec) 余割(csc) 表格参考资料来源:现代汉语词典 [1] . 函数关系 倒数关系:① 商数关系:① 平方关系:① ;② ;② ;② ;③ . ;③ . 诱导公式 公式一:设 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: 公式二:设 为任意角, 与 的三角函数值之间的关系: 公式三:任意角 与 的三角函数值之间的关系: 公式四: 与 的三角函数值之间的关系: 公式五: 与 的三角函数值之间的关系: 公式六: 及 的三角函数值之间的关系: 记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限 [2] .即形如(2k+1)90°±α,则函数名称变为余名函数,正弦变余弦,余弦变正弦,正切变余切,余切变正切。形如2k×90°±α,则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”意义: k×π/2±a(k∈z)的三角函数值.(1)当k为偶数时,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号; (2)当k为奇数时,等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一:奇变偶不变,符号看象限: 记忆方法二:无论α是多大的角,都将α看成锐角. 以诱导公式二为例: 若将α看成锐角(终边在第一象限),则π+α是第三象限的角(终边在第三象限),正弦函数的函数值在第三象限是负值,余弦函数的函数值在第三象限是负值,正切函数的函数值在第三象限是正值.这样,就得到了诱导公式二. 以诱导公式四为例: 若将α看成锐角(终边在第一象限),则π-α是第二象限的角(终边在第二象限),正弦函数的三角函数值在第二象限是正值,余弦函数的三角函数值在第二象限是负值,正切函数的三角函数值在第二象限是负值.这样,就得到了诱导公式四. 诱导公式的应用: 运用诱导公式转化三角函数的一般步骤: 特别提醒:三角函数化简与求值时需要的知识储备:①熟记特殊角的三角函数值;②注意诱导公式的灵活运用;③三角函数化简的要求是项数要最少,次数要最低,函数名最少,分母能最简,易求值最好。
基本公式 和差角公式 二角和差公式 证明如图:负号的情况只需要用-β代替β即可.cot(α+β)推导只需把角α对边设为1,过程与tan(α+β)相同. 证明正切的和差角公式 证明正弦、余弦的和差角公式 三角和公式 和差化积公式 口诀:正加正,正在前,余加余,余并肩,正减正,余在前,余减余,负正弦. 积化和差公式 倍角公式 二倍角公式 三倍角公式 证明: sin3a =sin(a+2a) =sin^2a·cosa+cos^2a·sina =2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos^2acosa-sin^2asina =(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a =3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin^2a) =4sina[(√3/2)-sina][(√3/2)+sina] =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[60°+a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a =4cos^3a-3cosa =4cosa(cos^2a-3/4) =4cosa[cos^2a-(√3/2)^2] =4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得: tan3a=tana·tan(60°-a)·tan(60°+a) 四倍角公式 sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sin^2a-1)] cos4a=1+(-8*cos^2a+8*cos^4a) tan4a=(4*tana-4*tan^3a)/(1-6*tan^2a+tan^4a) 五倍角公式 n倍角公式 应用欧拉公式: . 上式用于求n倍角的三角函数时,可变形为: 所以 其中,Re表示取实数部分,Im表示取虚数部分.而 所以 n倍角的三角函数 半角公式 (正负由 所在的象限决定) 万能公式 辅助角公式 . 证明:由于 ,显然 ,且 故有: 其他公式 编辑 正弦定理 余弦定理 详见词条:正弦定理 在任意△ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,三角形外接圆的半径为R.则有 [3] : 正弦定理变形可得: 余弦定理 详见词条:余弦定理 余弦定理 对于如图所示的边长为a、b、c而相应角为α、β、γ的△ABC,有: 也可表示为: 降幂公式 sin²α=[1-cos(2α)]/2 cos²α=[1+cos(2α)]/2 tan²α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)] 三角和 sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 幂级数 c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞) c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞) 它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数, 这种级数称为幂级数。 泰勒展开式 泰勒展开式又叫幂级数展开法 f(x)=f(a)+f'(a)/1。
*(x-a)+f''(a)/2。*(x-a)2+...+f(n)(a)/n。
*(x-a)n+… 实用幂级数: ex= 1+x+x2/2。+x3/3。
+…+xn/n。+…,x∈R ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-…+(-1)k-1xk/k, x∈(-1,1) sin x = x-x3/3。
+x5/5。-…+(-1)k-1x2k-1/(2k-1)。
+…, x∈R cos x = 1-x2/2。+x4/4。
-…+(-1)kx2k/(2k)。+…, x∈R arcsin x = x + x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) + (1*3*5)x7/(2*4*6*7)…+(2k+1)。
。*x2k+1/(2k。
。*(2k+1))+…, x∈(-1,1)(。
。表示双阶乘)[4] arccos x = π/2 -[x + x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) + (1*3*5)x7/(2*4*6*7)……], x∈(-1,1) arctan x = x - x3/3 + x5/5 -…, x∈(-∞,1) sinh x = x+x3/3。
+x^/5。
+…+x2k-1/(2k-1)。+…, x∈R cosh x = 1+x2/2。+x^4/4。
+…+x2k/(2k)。+…, x∈R arcsinh x =x - x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) -(1*3*5)x7/(2*4*6*7)…, x∈(-1,1) arctanh x = x + x3/3 + x5/5 + …, x∈(-1,1) 在解初等三角函数时,只需记住公式便可轻松作答,在竞赛中,往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。 傅里叶级数 傅里叶级数 傅里叶级数又称三角级数 f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx) a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx 三角函数的公式。
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