矩阵乘积的运算法则的证明 乘法分配律公式_教学资源|题库|学习文库-「普洱教育」

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矩阵乘积的运算法则的证明 乘法分配律公式

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乘法分配律公式
矩阵乘积的运算法则的证明 矩阵乘积的运算法则 mn1 乘法结合律:若AC,BCnp , CCpq,则A(BC)(AB)C. 2 乘法左分配律:若A和B是两个mn矩阵,且C是一个np矩阵,则(AB)CACBC. 3 乘法右分配律:若A是一个mn矩阵,并且B和C是两个np矩阵,则A(BC)ACBC. 4 若是一个标量,并且A和B是两个nm矩阵,则(AB)AB.  证明1 ①先设n阶矩阵为A(aij),B(bij), C(cij),AB(dij),BC(eij) ABC(fij),A(BC)(gij),有矩阵的乘法得: dijai1b1jai2b2jainbnj.i,j1,2n eijbi1c1jbi2c2jbincnj.i,j1,2n fijdi1c1jdi2c2jdincnj.i,j1,2n gijai1e1jai2e2jainenj.i,j1,2n 故对任意i,j1,2n有: fijdi1c1jdi2c2jdincnj (ai1b11ai2b21ainbn1)c1j (ai1b12ai2b22ainbn2)c2j (ai1b1nai2b2nainbnn)cnj ai1(b11c1jb12c2jb1ncnj) ai2(b21c1jb22c2jb2ncnj) ain(bn1c1jbn2c2jbnncnj) ai1e1jai2e2jainenj =gij 故(AB)CA(BC) ②再看 A(aik)mn ,B(bkj)np,C(cjt)pq, AB(dij)mp , BC(ekt)nq , A(BC)(git)mq, 有矩阵的乘法得: dijai1b1jai2b2jainbnj.i,j1,2n ektbk1c1tbk2c2tbkpcpt.k1,2n,t1,2q fitdi1c1tdi2c2tdipcpt.i1,2m,t1,2q gitai1e1tai2e2tainent.i1,2m,t1,2q 故对任意的i1,2m, j1,2p, k1,2n, t1,2q有: fitdi1c1tdi2c2tdipcpt (ai1b11ai2b21ainbn1)c1t (ai1b12ai2b22ainbn2)c2t (ai1b1pai2b2painbnp)cpt ai1(b11c1tb12c2tb1pcpt) ai2(b21c1tb22c2tb2pcpt) ain(bn1c1tbn2c2tbnpcpt) 6ai1e1tai2e2tainent =gij 故(AB)CA(BC) 证明2 设Aij表示矩阵A的第i行,第j列上的元素,则有 (AB)Cij(AikBik)Ckj k AikCkjBikCkj kk =(AC)ij(BC)ij 故证出矩阵乘法左分配律. 证明3 同理矩阵乘法左分配律可得 (AC)ij(BC)ijAikCkjBikCkj kk (AikBik)Ckj k = (AB)Cij 故证出矩阵乘法左分配律. 证明4 aaa11121nbb12 设A(aa21a22a112nbb22ij)mn,B(b)mn21ijam1am2amnbm1bm2ab11a12b12a1nb111n可得ABa21b21a22b22a2nb2n, am1bm1am2bm2amnbmn(a(a11b11)12b12)(a1nb1n)(AB)(a21b21)(a22b22)(a2nb2n)(am1bm1)(am2bm2)(amnbmn)b1nb2n,bmn a11a21 Aam1a12a22a1na2nam2amnb11b21,Bbm1b12b22b1nb2nbm2bmn, (a11b11)(a21b21)(a12b12)(a22b22)(a1nb1n)(a2nb2n)AB(am1bm1)(am2bm2)所以(AB)=AB. , (amnbmn) 乘法分配律公式。
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