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椭圆内接四边形面积的计算 四边形的面积公式

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四边形的面积公式
椭圆内接四边形面积的计算及应用 昭通市巧家县第一中学 侯成顺 云南师范大学数学学院 朱维宗(教授) 摘要:本文通过类比圆锥曲线内接焦点三角形面积的计算,利用代数方法来探讨椭圆内接四边形面积的计算,主要讨论了两种椭圆内接四边形的面积计算,一种是椭圆内接焦点四边形,另外一种是椭圆内接以焦点为顶点的四边形. 关键词: 椭圆;焦点; 面积 1.椭圆内接焦点四边形(过一个焦点,以右焦点为例) x2y21.1定义:在椭圆221(ab0)中,AB,CD为过椭圆一个焦点的两条弦,故四边形abACBD为椭圆内接焦点四边形. 1.2性质:(1)四边形ACBD的面积SACBD2absin241(其中2BF21(k121)(k221),2(a2k12b2)(a2k22b2) ). 证明:如右图所示,有F2(c,0),并且设AB, DACCD的斜率分别为k1,k2,故有:AB: yk1(xc) CD:yk2(xc) 联立方程:yk1(xc)及x2y221(ab0)2ab2a2k12c x1x2222ak1b2ab2(k221)2ab2(k121)AB2ae(x1x2)222同理有:CD222 (ak2b)(ak1b)故SACBD2a2b4(k121)(k221)1ABCDsin222222sin (为AB与CD的夹角), 2(ak1b)(ak2b)24令1(k121)(k221),2(a2k12b2)(a2k22b2) 就有:SACBD2absin1 . 2
(2)推论A: 当k1.k21时,.SACBDa2b22a2b4c42k121k128a2b42 (ab2)2B:当k1k20时,SACBD2a2b4(k21)2,并且有kACkBD0,kADkBC0. (a2k2b2)2推论证明A:当k1.k21时,说明AB, CD相互垂直,有sinsin21,k121,代入面k22 积公式就有SACBDa2b22a2b4c42k121k12,再利用均值不等式有SACBDa2b22a2b4c42k121k128a2b4 2. (ab2)2B : 当k1k20时, 有kk2,代入就有SACBD2122a2b4(k21)2成立.以下证明2222(akb)kACkBD0,kADkBC0. 证明:不妨把椭圆的方程化为xy1(与不同是为零),已知有AB,CD与x轴的夹角相等,设A、B、C、D四个点的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).直线AB、DC、AC、BD的斜率分别为kAB,kDC,kAC,kBD.又点A、C在曲线C上,x12y121
(1)及x32y321
(2),用
(2)带入
(1)有kAC22(x1x3),同理可得(y1y3)kBD(x2x4). (y2y4)已知有AB,CD与x轴的夹角相等,kACkBD,kACkBD0 y1y3y2y4yyyy40
(3)及1320
(4)由这两个式子得: x1x3x2x4x1x3x2x4(x1y2x2y1x3y4x4y3)(x1y4x2y3x3y2x4y1)0
(5) (x1y2x2y1x3y4x4y3)(x1y4x2y3x3y2x4y1)0
(6) 由
(5)及
(6)得到: x1y2x2y1x3y4x4y3=0
(7) x1y4x2y3x3y2x4y1=0
(8) 同理有:kAB(x1x2) k(y1y2)DC(x3x4) (y3y4)kABkDCy2y1y4y31[(x1y3x2y4x3y1x4y2)(x1y4x2y3x3y2x4y1)]x2x1x4x3(x2x1)(x4x3) 1 将
(8)代入有:kABkDC(x1y3x2y4x3y1x4y2)
(9) (x2x1)(y4y3)又kABkDCx1x2x3x4() 再将
(8)代入得到: y1y2y3y4kABkDC(x1y3x2y4x3y1x4y2)
(10) (y1y2)(y3y4)11]0 (x2x1)(x4x3)(y1y2)(y3y4)用
(9)-
(10)得到: (x1y3x2y4x3y1x4y2)[若11=0 故有: (x2x1)(x4x3)(y1y2)(y3y4)y1y4y2y30 结合平行截割线定理有:AB与DC平行,并且都平行于x轴,它与 AB,AC,DC,DB的斜率不为零矛盾, x1y3x2y4x3y1x4y20 kABkDC0 说明直线AB,DC与x轴的夹角相等.同理可证明AD,BC与x轴的夹角也相等, 有kACkBD0,kADkBC0. 1.3实例应用 2x2y2 已知椭圆221(ab0)的离心率为,过右焦点F的直线L与曲线相交于A、B3ab两点.当L的斜率为1时,C(0,b)到AB的距离为22,延长CF交椭圆于点B,求ACBD的面积. 解:由于e=c2 并且kAB1 、F(c,0)故AB的方程为:yxc 又C(0,b) a3所以C到AB 的距离为d=bc22bc4,c2,b2,a3 故椭圆的标准方2x2y21 又kAB1,kCD1 AFC90 即AB与CD垂直,代入公式有:程为:94SACBDa2b22a2b4c42k121k12=139 20 2 2椭圆内接焦点四边形(过两个焦点) x2y22.1定义:在椭圆221(ab0)中,AB,CD为过椭圆右左两焦点的弦,并且交椭圆于ab四点A、B、C、D.则有四边形ACBD为过椭圆两个焦点的内接焦点四边形. 2.2性质 (1)面积:四边形面积 SACBD2a3b212a2b42sin[1k22(a2c2)(k12c),2(a2k12b2)(a2k22b2)] y证明: 如右图所示,有F1(-c,0),F2(c,0),并 且设AB,CD的斜率分别为k1,k2,故有 AB: yk1(xc) CD: yk2(xc) . 联立方程:D-2-1F11 BO1F22Cx-1-2A yk1(xc)及x2y21(ab0)a2b22a2k12c x1x2222ak1b2ab2(k121)AB2ae(x1x2)222 (ak1b)2ak22(a2c2)2ab2同理有: CD 222(ak2b)SACBD1ABCDsin22a3b212a2b42sin(为AB与CD的夹角)[1k22(a2c2)(k12c),2(a2k12b2)(a2k22b2)]. 2a3b2k22(a2c2)(
(2)推论A: 当k1.k21时,SACBD124c)2ab2k2. 222212(ak1b)(a2b)k1B: 当k1k20时,SACBD2a3b2k12(a2c2)(k12c)2a2b4sin,并且有2222(ak1b)kACkBD0,kADkBC0. 2.3实例应用 x2y2设椭圆221(ab0)的左右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0).右准线交x轴ab 3 于点A,AF.过F1,F2分别作两条直线与椭圆相交于四个点D、E、M、N.并且DE12AF2与x轴的夹角为与直线L交于点G,并且有AGAF2.求:
(1)椭圆的标准方程.(2)42四边形DMEN的面积. a2解:
(1)由于F1(-1,0),c1.又有A(,0),F2(1,0) c故有:AF2a2aaa1 同理AF121212(21)a23,b22 所以椭圆ccccx2y21 的标准方程为:32(2)由于已知了DE与x轴的夹角为,故有kDE1,又411AF21,G(3,1) 所以有kMN 2232设AN与DE的夹角为,tan21   sin 3422AF22AG代入公式有:SDMEN48(26) 553椭圆内接以焦点为顶点的四边形 x2y23.1定义在椭圆 221(ab0)中,F1,F2为其左右焦点,A、B为椭圆上任意的两点.ab则四边形AF1BF2称为双曲线以焦点为顶点的内接四边形. 3.2性质
(1)面积: 四边形的面积为SAF1BF2b(tan证明:由椭圆的定义可知道: 22tan2) AF2AF12a
(1)由余弦定理有: 2 AF1AF22AF1AF2cos4c(2) 22由
(1)与
(2)SAF1F2同理有: SBF1F2btan21AF1AF2sinb2tan 22SAF1BF2b2(tan22tan2) (为AF1与AF2的夹角; 为BF1与BF2的夹角). y 4 O
(2)推论:当与互为补角时,有:SAF1BF2b(tan证明:当22tan12)2b2. 2,所以有:与互为补角时,2tan1tan()cottan1 将其代入面积公式中就有; 2222tan22SAF1BF2b2(tantan1)2b2,(当时取到“=”). 222x2y21的两个焦点,A、已知F,F2为椭圆B为椭圆上任意的两个焦点,并且A与64253.3实例应用 B为补角,求: 253时,求SAF1BF2的值. (1)当SAFF312(2)当SAF1BF2取得最小值时,A与B的度数分别为多少。此时面积的最小值为多少。 解:

(1)由已知a=8,b=5,又SAF1F2btan2AA2525tan3 223tan2A3A,并且A与B为补角,故有:B 3233所以有:SAF1BF21003 32(2)由推论可以知道: SAF1BF2(min)2b50AB2 参考资料: [1]董正洪圆锥曲线内接四边形面积的最值[M]数理化学习(高三),2009,(3). [2]陈宇对椭圆焦点弦四边形面积最值探究[J]中学数学研究,2009,(4). [3]邱继勇圆锥曲线内接四边形的一个性质[J]中学数学研究,2005,(6). [4]王伯龙圆锥曲线中一类内接四边形性质的探究[J]中学数学月刊,2010,(11). [5] 舒金根圆锥曲线内接四边形的一个有趣新性质的简证及类似[J]中学数学研究,2011,(5). [6]马跃进、康宇圆锥曲线内接四边形的一个统一性质[J]中学数学研究,2011,(4). 5 四边形的面积公式。
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