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全国初中数学竞赛决赛试题及答案 有免费初中试题下载吗

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学习必备 欢迎下载 中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”20XX年全国初中数学竞赛试题 题 号 得 分 评卷人 复查人 一 1~5 二 6~10 11 12 三 13 14 总 分 答题时注意: 1.用圆珠笔或钢笔作答; 2.解答书写时不要超过装订线; 3.草稿纸不上交. 一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分) 1.设a71,则代数式3a312a26a12的值为( ). (A)24 (B)25 (C)4710 (D)4712 2.对于任意实数a,b,c,d,定义有序实数对与之间的运算(a,b)(c,d)“△”为:(a,b)△(c,d)=(acbd,adbc).如果对于任意实数u,v, 都有(u,v)△(x,y)=(u,v),那么(x,y)为( ). (A)(0,1) (B)(1,0) (C)(﹣1,0) (D)(0,-1) x3.若x1,y0,且满足xyxy,x3y,则xy的值为( ). y911 (D) 224.点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,BE,CD相交于点F,设(A)1 (B)2 (C)S四边形EADFS1,SBDFS2,SBCFS3,SCEFS4,则S1S3与S2S4的大小关系为( ). (A)S1S3S2S4 (B)S1S3S2S4 (C)S1S3S2S4 (D)不能确定 学习必备 欢迎下载 5.设S1111323331,则4S的整数部分等于( ). 993(A)4 (B)5 (C)6 (D)7 二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分) 6.若关于x的方程(x2)(x24xm)0有三个根,且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长,则m的取值范围是 . 7.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8. 同时掷这两枚骰子,则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 . 8.如图,点A,B为直线yx上的两点,过A,B两点分别作y轴的平行线交双曲线y1(x>0)于C,D两点. 若BD2AC,则4OC2OD2 的值x为 . (第8题) (第10题) 9.若y1xx为 . 1的最大值为a,最小值为b,则a2b2的值2 10.如图,在Rt△ABC中,斜边AB的长为35,正方形CDEF内接于△ABC,且其边长为12,则△ABC的周长为 . 三、解答题(共4题,每题20分,共80分) 11.已知关于x的一元二次方程x2cxa0的两个整数根恰好比方程x2axb0的两个根都大1,求abc的值. 学习必备 欢迎下载 12.如图,点H为△ABC的垂心,以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D,延长AD交CH于点P,求证:点P为CH的中点. (第12题) 13.如图,点A为y轴正半轴上一点,A,B两点关于x轴对称,过点A任作直线交抛物线y22x于P,Q两点. 3
(1)求证:∠ABP=∠ABQ;
(2)若点A的坐标为(0,1),且∠PBQ=60º,试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式. (第13题) 14.如图,△ABC中,BAC60,AB2AC.点P在△ABC内,且PA3,PB5,PC2,求△ABC的面积. (第14题) 学习必备 欢迎下载 中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”20XX年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题 1.A 解:因为a71, a17, a262a, 所以 3a312a26a123(a62a)12(62a)6a126a212a60(662a)12a6024. 2.B uxvyu,u(x1)vy0,解:依定义的运算法则,有即对任何实数vxuyv,v(x1)uy0u,v都成立. 由于实数u,v的任意性,得 (x,y)=(1,0). 3.C y1解:由题设可知yx,于是 xyx3yx4y1, 所以 4y11, 91故y,从而x4.于是xy. 224.C S1,解:如图,连接DE,设SD则EFS1EFS4,S2BFS3从而有S1S3S2S4.因为S1S1,所以S1S3S2S4. 5.A 解:当k2,, 3 , 99时,因为 11111, 32kkk12k1kkk1(第4题) 学习必备 欢迎下载 所以 1S1113323111151. 39942299100 于是有44S5,故4S的整数部分等于4. 二、填空题 6.3<m≤4 x2,解:易知x2是方程的一个根,设方程的另外两个根为x1,则x1x24,x1x2m.显然x1x242,所以 x1x22, 164m≥0, 即 x1x224x1x22,164m≥0,所以 164m2, 164m≥0, 解之得 3<m≤4. 7. 解: 在36对可能出现的结果中,有4对:(1,4),(2,3),(2,3),(4,1)的和为5,所以朝上的面两数字之和为5的概率是 8.6 解:如图,设点C的坐标为,点D的坐标为,(a,b)(c,d)则点A的坐标为,点B的坐标为(a,a)(c,c). 因为点C,D在双曲线y1941. 3691上,所以ab1,cd1. x(第8题) 由于ACab,BDcd, 又因为BD2AC,于是 cd2ab,c22cdd2(4a22abb2),4a2b2)(c2d2)8ab2cd6,所以 ( 即4OC2OD26. 9.3 211解:由1x≥0,且x≥0,得≤x≤1. 22学习必备 欢迎下载 y21311312x2x2(x)2. 2222416由于313<<1,所以当x=时,y2取到最大值1,故a=1. 424211或1时,y2取到最小值,故b=. 222当x=所以,a2b210.84 3. 2解:如图,设BC=a,AC=b,则 a2b2352=1225. ① 又Rt△AFE∽Rt△ACB,所以FEAF,即CBAC12b12,故 ab 12(ab)ab. ② 由①②得 222)ab2ab1225(24a)b (ab, (第10题) 解得a+b=49(另一个解-25舍去),所以 abc493584. 三、解答题 11.解:设方程x2axb0的两个根为,,其中,为整数,且≤,则方程x2cxa0的两根为1,1,由题意得 a,11a, 两式相加得 2210, 即 (2)(2)3, 21,23,所以  或 23;21.1,5, 解得  或 1;3.学习必备 欢迎下载 又因为a 所以 (),b,c([1)(1)],a0,b1,c2a8,b,1,5 c;或者故abc3,或29. 12.证明:如图,延长AP交⊙O2于点Q, 连接AH,BD,QB, QC,QH. 因为AB为⊙O1的直径, 所以∠ADB∠BDQ90°, 故BQ为⊙O2的直径. 于是CQBC,BHHQ. 又因为点H为△ABC的垂心,所以AHBC,BHAC. 所以AH∥CQ,AC∥HQ,四边形ACQH为平行四边形. 所以点P为CH的中点. Q作y轴的垂线,垂足分别为C, D. 13.解:
(1)如图,分别过点P, (第12题) 设点A的坐标为(0,t),则点B的坐标为(0,-t). 设直线PQ的函数解析式为ykxt,并设P,Q的坐(xQ,yQ)(xP,yP)标分别为 ,.由 ykxt,22 yx,3得 x2kxt0, 于是 xPxQt,即 txPxQ. 322323(第13题) 222222xPtxxxxP(xPxQ)PPQBCyPt3x333P. 于是 2BDyQt2x2t2x22xxxQxQ(xQxP)QPQQ3333学习必备 欢迎下载 又因为xPCBCPCP,所以. QDxQBDQD 因为∠BCP∠BDQ90,所以△BCP∽△BDQ, 故∠ABP=∠ABQ.
(2)解法一 设PCa,DQb,不妨设a≥b>0,由
(1)可知 ∠ABP=∠ABQ30,BC=3a,BD=3b, 所以 AC=3a2,AD=23b. 因为PC∥DQ,所以△ACP∽△ADQ. 于是a3a2PCAC,即, b23bDQAD所以ab3ab. 33333,由
(1)中xPxQt,即ab,所以ab,ab 2222于是可求得a2b3. 将b3312代入yx2,得到点Q的坐标(,). 22323. 3再将点Q的坐标代入ykx1,求得k所以直线PQ的函数解析式为y3x1. 333x1,或yx1. 33根据对称性知,所求直线PQ的函数解析式为y解法二 设直线PQ的函数解析式为ykxt,其中t1. 由
(1)可知,∠ABP=∠ABQ30,所以BQ2DQ. 2(yQ1)2. 故 2xQxQ将yQ22xQ代入上式,平方并整理得 342224xQ15xQ90,即(4xQ3)(xQ3)0. 学习必备 欢迎下载 所以 xQ3或3. 2323232又由 (1)得xPxQt,xPxQk. 若xQ323,代入上式得 xP3, 从而 k(xPxQ). 332323, 从而 k(xPxQ). 33233x1,或yx1. 33同理,若xQ3, 可得xP所以,直线PQ的函数解析式为y14.解:如图,作△ABQ,使得 则△ABQ∽△ACP . QABPAC,ABQACP,由于AB2AC,所以相似比为2. 于是 AQ2AP23,BQ2CP4. (第14题) QAPQABBAPPACBAPBAC60. 由AQ:AP2:1知,APQ90,于是PQ3AP3. 所以 BP225BQ2PQ2,从而BQP90. 于是 AB2PQ2(APBQ)22883 . 故 SABC 132673ABACsin60AB. 282有免费初中试题下载吗。
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