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教学资源|题库|学习文库-「普洱教育」来源: https://www.puerjy.cn 2020-02-08 19:40公式大全 659657 ℃
数学公式大全
高中数学常用公式及结论 1 元素与集合的关系:xAxCUA,xCUAxA.ØAA 2 集合{a1,a2,n,an}的子集个数共有2n 个;真子集有2n1个;非空子集有2n1个;非空的真子集有22个. 3 二次函数的解析式的三种形式: (1) 一般式f(x)axbxc(a0); (2) 顶点式f(x)a(xh)k(a0);(当已知抛物线的顶点坐标(h,k)时,设为此式) (3) 零点式f(x)a(xx1)(xx2)(a0);(当已知抛物线与x轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0)时,设为此式) 2
(4)切线式:f(x)a(xx0)(kxd),(a0)。(当已知抛物线与直线ykxd相切且切点的22横坐标为x0时,设为此式) 4 真值表: 同真且真,同假或假 5 四种命题的相互关系(下图):(原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假.) 原命题 互逆 逆命题 若p则q 若q则p 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非p则非q 互逆 若非q则非p 充要条件: (1)、pq,则P是q的充分条件,反之,q是p的必要条件;

(2)、pq,且q ≠> p,则P是q的充分不必要条件; (3)、p ≠> p ,且qp,则P是q的必要不充分条件;

4、p ≠> p ,且q ≠> p,则P是q的既不充分又不必要条件。 6 函数单调性: 增函数:(1)、文字描述是:y随x的增大而增大。

(2)、数学符号表述是:设f(x)在xD上有定义,若对任意的x1,x2D,且x1x2,都有 f(x1)f(x2)成立,则就叫f(x)在xD上是增函数。
D则就是f(x)的递增区间。 减函数:(1)、文字描述是:y随x的增大而减小。

(2)、数学符号表述是:设f(x)在xD上有定义,若对任意的x1,x2D,且x1x2,都有 f(x1)f(x2)成立,则就叫f(x)在xD上是减函数。D则就是f(x)的递减区间。 单调性性质:(1)、增函数+增函数=增函数;

(2)、减函数+减函数=减函数; (3)、增函数-减函数=增函数;(4)、减函数-增函数=减函数; 注:上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的,是等号左边两个函数定义域的交集。 1 复合函数的单调性: 函数 单调 内层函数 外层函数 复合函数 等价关系: 单调性 ↓ ↓ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↓ ↑ ↓ (1)设x1,x2a,b,x1x2那么 (x1x2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数; x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是减函数. (x1x2)f(x1)f(x2)0x1x2(2)设函数yf(x)在某个区间内可导,如果f(x)0,则f(x)为增函数;如果f(x)0,则f(x)为减函数. 7函数的奇偶性:(注:是奇偶函数的前提条件是:定义域必须关于原点对称) 奇函数: 定义:在前提条件下,若有f(x)f(x)或f(x)f(x)0, 则f(x)就是奇函数。 性质:

(1)、奇函数的图象关于原点对称;

(2)、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间;

(3)、定义在R上的奇函数,有f

(0)=0 . 偶函数: 定义:在前提条件下,若有f(x)f(x),则f(x)就是偶函数。 性质:

(1)、偶函数的图象关于y轴对称;

(2)、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间; 奇偶函数间的关系: (1)、奇函数·偶函数=奇函数;

(2)、奇函数·奇函数=偶函数; (3)、偶奇函数·偶函数=偶函数; (4)、奇函数±奇函数=奇函数(也有例外得偶函数的) (5)、偶函数±偶函数=偶函数; (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数. 8函数的周期性: 定义:对函数f(x),若存在T0,使得f(x+T)=f(x),则就叫f(x)是周期函数,其中,T是f(x)的一个周期。
周期函数几种常见的表述形式: f(x+T)= - f(x),此时周期为2T ; 2 9常见函数的图像: yyyyk<0ok>0xoa<0xy=ax01y=kx+ba>02 y=ax+bx+c o1a>1x 10对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是x数yf(xa)与yf(bx) 的图象关于直线x11分数指数幂与根式的性质: (1)amnab;两个函2ba对称. 2nam(a0,m,nN,且n1). mn

(2)a1mn1nan

(3)(na)a. am(a0,m,nN,且n1). 

(4)当n为奇数时,nana;当n为偶数时,an|a|na,a0. a,a012 指数式与对数式的互化式: logaNbabN(a0,a1,N0). 指数性质: (1)

1、arps1mnmn0a(a) a1 ;

(2)、() ; (3)、a0pars(4)、aaa指数函数: (a0,r,sQ) ; (5)、anam ; mn(1)、 ya(a1)在定义域内是单调递增函数;

(2)、 ya(0a1)在定义域内是单调递减函数。注:指数函数图象都恒过点(0,1) 对数性质: (1) logaMlogaNloga(MN) ;

(2) logaMlogaNlogamn(3) logabmlogab ; (4) logambxxM ; Nnlogab ; mb (5) loga10 (6) logaa1 ; (7) a 3 logab 对数函数: (1)、 ylogax(a1) 在定义域内是单调递增函数;

(2)、ylogax(0a1)在定义域内是单调递减函数;注: 对数函数图象都恒过点(1,0) a,x(0或,1)ax,(3)、 logax0(1, (4)、logax0a(0,1)则x(1,) 或 a(1,)则x(0,1) 13对数的换底公式 :logaN 对数恒等式:anlogaNlogmN (a0,且a1,m0,且m1, N0). logmaN(a0,且a1, N0). 推论 logambnlogab(a0,且a1, N0). m14对数的四则运算法则:若a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1)loga(MN)logaMlogaN; (2) logan(3)logaMnlogaM(nR); (4) logamMlogaMlogaN; NnNnlogaN(n,mR)。
m15 等差数列: 通项公式:

(1) ana1(n1)d ,其中a1为首项,d为公差,n为项数,an为末项。

(2)推广: anak(nk)d

(3)anSnSn1(n2) (注:该公式对任意数列都适用) 前n项和:

(1)Snn(a1an) ;其中a1为首项,n为项数,an为末项。 2n(n1)d

(2)Snna12

(3)SnSn1an(n2) (注:该公式对任意数列都适用)

(4)Sna1a2an (注:该公式对任意数列都适用)

(5) 1+2+3+…+n= 等比数列: 通项公式:

(1) ana1qn1n(n1) 2a1nq(nN*) ,其中a1为首项,n为项数,q为公比。 qnk

(2)推广:anakq 4

(3)anSnSn1(n2) (注:该公式对任意数列都适用) 前n项和:

(1)SnSn1an(n2) (注:该公式对任意数列都适用)

(2)Sna1a2an (注:该公式对任意数列都适用) na1

(3)Sna1(1qn)1q 2(q1)(q1) 16 同角三角函数的基本关系式 :sincos1,tan=17 正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限) 18和角与差角公式 sin()sincoscossin; 2sin, coscos()coscossinsin; tantantan(). 1tantan19 二倍角公式及降幂公式 sin22sincos222tan. 21tan221tan2cos2cossin2cos112sin. 1tan22tansin21cos2tan2. tan21tan1cos2sin21cos21cos2 sin2,cos222 20三角函数的周期公式 函数ysin(x),x∈R及函数ycos(x),x∈R(A,ω,为常数,且A≠0)的周期T2;函数ytan(x),xk,kZ(A,ω,为常数,且A≠0)的周期T. ||||2三角函数的图像: yy=sinx-π1y=cosxπ/2π3π/22πy1-π/2-2π-3π/2o-1x-2π-3π/2-π-π/2o-1π/2π3π/22πx21 正弦定理 :abc2R(R为ABC外接圆的半径). sinAsinBsinCa2RsinA,b2RsinB,c2RsinCa:b:csinA:sinB:sinC 5 22余弦定理: a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC. 23面积定理: 111ahabhbchc(ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高). 222111

(2)SabsinCbcsinAcasinB. 222

(1)S 24三角形内角和定理 : 在△ABC中,有ABCC(AB) CAB2C22(AB). 22225实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数,那么: (1) 结合律:λ(μa)=(λμ) a; (2)第一分配律:(λ+μ) a=λa+μa; (3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb. 26a与b的数量积(或内积):a·b=|a||b|cos。 27平面向量的坐标运算: (1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1x2,y1y2). (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1x2,y1y2). (3)设A(x1,y1),B(x2,y2),则ABOBOA(x2x1,y2y1). (4)设a=(x,y),R,则a=(x,y). (5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=(x1x2y1y2). 28 两向量的夹角公式: cosab|a||b|x1x2y1y2xyxy21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)). 29 平面两点间的距离公式: dA,B(x2x1)(y2y1) (A(x1,y1),B(x2,y2)). 30向量的平行与垂直 :设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b0,则: 22a||bb=λa x1y2x2y10.(交叉相乘差为零) ab (a0) a·b=0x1x2y1y20.(对应相乘和为零) 31三角形的重心坐标公式: △ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABCxx2x3y1y2y3,). 的重心的坐标是G(133 6 32常用不等式: 22

(1)a,bRab2ab(当且仅当a=b时取“=”号). abab(当且仅当a=b时取“=”号). 2

(3)ababab. 33极值定理:已知x,y都是正数,则有

(2)a,bR

(1)若积xy是定值p,则当xy时和xy有最小值2p;

(2)若和xy是定值s,则当xy时积xy有最大值 34 含有绝对值的不等式 :当a> 0时,有 12s. 4xax2a2axa. xax2a2xa或xa. 35斜率公式 : ky2y1(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)). x2x136 直线的五种方程:

(1)点斜式 yy1k(xx1) (直线l过点P1(x1,y1),且斜率为k).

(2)斜截式 ykxb(b为直线l在y轴上的截距). yy1xx1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1x2,y1y2)). y2y1x2x1 两点式的推广:(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)0(无任何限制条件。) xy(4)截距式 1(a、b分别为直线的横、纵截距,a

0、b0) ab

(3)两点式 37夹角公式: k2k1|. (l
1:yk1xb1,l
2:yk2xb2,k1k21) 1k2k1ABA2B1|.(l
1:A1xB1yC10,l
2:A2xB2yC20,A1A2B1B20). (2)tan|12A1A2B1B2(1)tan|直线l1l2时,直线l1与l2的夹角是38l1到l2的角公式: . 2k2k1.(l
1:yk1xb1,l
2:yk2xb2,k1k21) 1k2k1ABA2B1(2)tan12.(l
1:A1xB1yC10,l
2:A2xB2yC20,A1A2B1B20). A1A2B1B2(1)tan直线l1l2时,直线l1到l2的角是 . 2 7 39点到直线的距离 :d40圆的四种方程: |Ax0By0C|AB222(点P(x0,y0),直线l:AxByC0). 2

(1)圆的标准方程 (xa)(yb)r.

(2)圆的一般方程 xyDxEyF0(D2E24F>0). 41点与圆的位置关系:点P(x0,y0)与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种: 若d(ax0)(by0),则dr点P在圆外; 22222222dr点P在圆上; dr点P在圆内. 22242直线与圆的位置关系:直线AxByC0与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种AaBbC(d): 22ABdr相离0; dr相切0; dr相交0. 43 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,O1O2d,则: dr1r2外离4条公切线; dr1r2外切3条公切线; r1r2dr1r2相交2条公切线; 内含内切r2-r1相交外切相离r1+r2dr1r2内切1条公切线; 0dr1r2内含无公切线. oddddxacosx2y2cb244椭圆221(ab0)的参数方程是. 离心率e12, abybsinaab2a2准线到中心的距离为,焦点到对应准线的距离(焦准距)p。 ccb2过焦点且垂直于长轴的弦叫通径,其长度为:2. ax2y245椭圆221(ab0)焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积: aba2a2FPFPF1e(x)aex,PF2e(x)aex;SF1PF2c|yP|b2tan1。 cc246椭圆的的内外部: x2y2

(1)点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的内部abx2y2

(2)点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的外部ab 22x0y01. a2b222x0y01. a2b2a2x2y2cb247双曲线221(a0,b0)的离心率e12,准线到中心的距离为,焦点到对应准cabaab2b2线的距离(焦准距)p。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经,其长度为:2. ca 8 48双曲线的方程与渐近线方程的关系: x2y2x2y2b(1)若双曲线方程为221渐近线方程:220yx. ababax2y2xyb (2)若渐近线方程为yx0双曲线可设为22. ababax2y2x2y2(3)若双曲线与221有公共渐近线,可设为22 abab(0,焦点在x轴上,0,焦点在y轴上). (4) 焦点到渐近线的距离总是b。 49抛物线y2px的焦半径公式: 抛物线y2px(p0)焦半径CFx0过焦点弦长CDx122p. 2ppx2x1x2p. 22 50证明直线与平面的平行的思考途径:

(1)转化为直线与平面无公共点;

(2)转化为线线平行;

(3)转化为面面平行. 51证明直线与平面垂直的思考途径:

(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;

(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;

(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;

(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。
52证明平面与平面的垂直的思考途径:

(1)转化为线面垂直; 53球的半径是R,则其体积V43R,其表面积S4R2. 354球的组合体: (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3)球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为(正四面体高 9 6a 1266613a的),外接球的半径为a(正四面体高a的). 34344 55 f(x)在x0处的导数(或变化率): f(x0x)f(x0)y. limxx0x0xx0xss(tt)s(t)瞬时速度:s(t)lim. limt0tt0tvv(tt)v(t)瞬时加速度:av(t)lim. limt0tt0t56 函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义: f(x0)ylim函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f(x0),相应的切线方程是yy0f(x0)(xx0). 57 几种常见函数的导数: (1) C0(C为常数).(2) (xn)nx(nQ).(3) (sinx)cosx. 11(4) (cosx)sinx. (5) (lnx);(logax)logae. xxxxxx(6) (e)e; (a)alna. 58 导数的运算法则: n1u'u'vuv'(v0).

(1)(uv)uv.

(2)(uv)uvuv.

(3)()vv259判别f(x0)是极大(小)值的方法: ''''''当函数f(x)在点x0处连续时,

(1)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,则f(x0)是极大值;

(2)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,则f(x0)是极小值. 60 复数zabi的模(或绝对值)|z|=|abi|=a2b2. 61实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程axbxc0, 2bb24ac①若b4ac0,则x1,2; 2ab2②若b4ac0,则x1x2; 2a2③若b4ac0,它在实数集R内没有实数根;在复数集C内有且仅有两个共轭复数根2b(b24ac)i2x(b4ac0). 2a 10 数学高考应试技巧 数学考试时,有许多地方都要考生特别注意.在考试中掌握好各种做题技巧,可以帮助各位在最后关头鲤鱼跃龙门。 考试注意: 1.考前5分钟很重要 在考试中,要充分利用考前5分钟的时间。考卷发下后,可浏览题目。当准备工作(填写姓名、考号等)完成后,可以翻到后面的解答题,通读一遍,做到心中有数。
2.区别对待各档题目 考试题目分为易、中、难三种,它们的分值比约为3:5:2。考试中大家要根据自身状况分别对待。
⑴做容易题时,要争取一次做完,不要中间拉空。这类题要100%的拿分。
⑵做中等题时,要静下心来,尽量保证拿分,起码有80%的完成度。 ⑶做难题时,大家通常会感觉无从下手。
这时要做到: ①多读题目,仔细审题。 ②在草稿上简单感觉一下。
③不要轻易放弃。许多同学一看是难题、大题,不多做考虑,就彻底投降。解答题多为小步设问,许多小问题同学们都是可以解决的,因此,每一个题、每一个问,考生都要认真对待。 3.时间分配要合理 ⑴考试时主要是在选择题上抢时间。
⑵做题时要边做边检查,充分保证每一题的正确性。不要抱着“等做完后再重新检查”的念头而在后面浪费太多的时间用于检查。
⑶在交卷前30分钟要回头再检查一下自己的进度。注意及时填机读卡。 11 数学公式大全。
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