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数学公式大全
学习必备 欢迎下载 高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 ABAABBABCUBCUA ACUBCUABR 2.集合{a1,a2,,an}的子集个数共有2n 个;真子集有2n–1个;非空子集有2n –1个;非空的真子集有2n–2个. 3.充要条件
(1)充分条件:若pq,则p是q充分条件.
(2)必要条件:若qp,则p是q必要条件.
(3)充要条件:若pq,且qp,则p是q充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 4.函数的单调性 (1)设x1x2a,b,x1x2那么 f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数; x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是减函数. (x1x2)f(x1)f(x2)0x1x2(2)设函数yf(x)在某个区间内可导,如果f(x)0,则f(x)为增函数;如果f(x)0,则f(x)为减函(x1x2)f(x1)f(x2)0数. 5.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数; 如果函数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数. 6.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数. 7.对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x数yf(xa)与yf(bx) 的图象关于直线x8.几个函数方程的周期(约定a>0)
(1)f(x)f(xa),则f(x)的周期T=a;
(2),f(xa)9.分数指数幂 (1)amnab;两个函2ab对称. 211(f(x)0),或f(xa)(f(x)0),则f(x)的周期T=2a; f(x)f(x)1nam(a0,m,nN,且n1).(2)amn1amn(a0,m,nN,且n1). 10.根式的性质 nnn
(1)(na)a.
(2)当n为奇数时,ana;当n为偶数时,an|a|a,a0. a,a011.有理指数幂的运算性质 (1) aaarsrs(a0,r,sQ).(2) (ar)sars(a0,r,sQ).(3)(ab)rarbr(a0,b0,rQ). 12.指数式与对数式的互化式 logaNbabN(a0,a1,N0). ①.负数和零没有对数,②.1的对数等于0:loga10,③.底的对数等于1:logaa1, ④.积的对数:loga(MN)logaMlogaN,商的对数:logaMlogaMlogaN, N学习必备 欢迎下载 nnn幂的对数:logaMnlogaM;logamblogab m 13.对数的换底公式 logaN推论 logambnlogmN (a0,且a1,m0,且m1, N0). logmanlogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1, N0). mn1s1,( 数列{an}的前n项的和为sna1a2an). snsn1,n2*16.等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d(nN); n(a1an)n(n1)d1na1dn2(a1d)n. 2222ann1*17.等比数列的通项公式ana1q1q(nN); q其前n项和公式为sna1(1qn)a1anq,q1,q1其前n项的和公式为sn1q或sn1q. na,q1na,q11118.同角三角函数的基本关系式 sin2cos21,tan=19正弦、余弦的诱导公式 sin cos(n为偶数) (n为奇数) nn(1)2sin,sin() n12(1)2cos, 20和角与差角公式sin()sincoscossin; cos()coscossinsin; tantantan(). 1tantanasinbcos=a2b2sin()(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定,tan
21、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴sin22sincos. ⑵cos2cos2b ). asin22cos2112sin2(cos21cos21cos22,sin). 22⑶tan22tan. 1tan2222.三角函数的周期公式 函数ysin(x),x∈R及函数ycos(x),x∈R(A,ω,为常数,且A≠0,ω>0)的周期T函数ytan(x),xk23.正弦定理 ;2,kZ(A,ω,为常数,且A≠0,ω>0)的周期T. 学习必备 欢迎下载 abc2R. sinAsinBsinC24.余弦定理 a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC. 11125.面积定理SabsinCbcsinAcasinB
(2). 22226.三角形内角和定理 在△ABC中,有ABCC(AB)CAB2C22(AB). 22227.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数,那么 (1) 结合律:λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb. 28.向量的数量积的运算律: (1) a·b= b·a (交换律);(2)(a)·b= (a·b)=a·b= a·(b);(3)(a+b)·c= a ·c +b·c. 30.向量平行的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b0,则ab(b0)x1y2x2y10. 31. a与b的数量积(或内积)a·b=|a||b|cosθ. 32.数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积. 33.平面向量的坐标运算 (1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1x2,y1y2). (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1x2,y1y2). (3)设A(x1,y1),B(x2,y2),则ABOBOA(x2x1,y2y1). (4)设a=(x,y),R,则a=(x,y). (5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=(x1x2y1y2). 34.两向量的夹角公式cosx1x2y1y2xyxy21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)). 35.平面两点间的距离公式 dA,B=|AB|ABAB (x2x1)2(y2y1)2(A(x1,y1),B(x2,y2)). 36.向量的平行与垂直 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b0,则 A||bb=λa x1y2x2y10. ab(a0)a·b=0x1x2y1y20. 37.三角形的重心坐标公式 △ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是G(x1x2x3y1y2y3,). 33设O为ABC所在平面上一点,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,则 222
(1)O为ABC的外心OAOBOC.
(2)O为ABC的重心OAOBOC0.
(3)O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA. 38.常用不等式:
(1)a,bRab2ab(当且仅当a=b时取“=”号). 22abab(当且仅当a=b时取“=”号). 2
(3)ababab.
(2)a,bR39已知x,y都是正数,则有
(1)若积xy是定值p,则当xy时和xy有最小值2p; 学习必备 欢迎下载 12
(2)若和xy是定值s,则当xy时积xy有最大值s. 4240.含有绝对值的不等式 当a> 0时,有xax2aaxa. xax2a2xa或xa. yy141.斜率公式 k2(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)). x2x142.直线的五种方程
(1)点斜式 yy1k(xx1) (直线l过点P1(x1,y1),且斜率为k).
(2)斜截式 ykxb(b为直线l在y轴上的截距). yy1xx1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1x2)). y2y1x2x1xy(4)截距式 1(a、b分别为直线的横、纵截距,a、b0) ab
(5)一般式 AxByC0(其中A、B不同时为0).
(3)两点式 43.两条直线的平行和垂直 (1)若l1:yk1xb1,l2:yk2xb2①l1||l2k1k2,b1b2;②l1l2k1k21. (2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A
1、A
2、B
1、B2都不为零, A1B1C1;②l1l2A1A2B1B20; A2B2C2(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20). ①l1||l2直线l1l2时,直线l1与l2的夹角是45.点到直线的距离 d 46. 圆的四种方程
(1)圆的标准方程 (xa)(yb)r. 22
(2)圆的一般方程 xyDxEyF0(DE4F>0). 47.直线与圆的位置关系 22222. 2(点P(x0,y0),直线l:AxByC0). |Ax0By0C|AB22直线AxByC0与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种: 222dr相离0;dr相切0; dr相交0.其中d48.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,O1O2d AaBbCAB22. dr1r2外离4条公切线;dr1r2外切3条公切线; r1r2dr1r2相交2条公切线;dr1r2内切1条公切线; 0dr1r2内含无公切线. 49.圆的切线方程 (1)已知圆xyDxEyF0.(2)已知圆xyr. 2①过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为x0xy0yr; 22222xacosx2y250.椭圆221(ab0)的参数方程是. abybsin学习必备 欢迎下载 x2y2a2a2),PF2e(x). 51.椭圆221(ab0)焦半径公式 PF1e(xabcc52.椭圆的的内外部 22x0y0x2y2
(1)点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的内部221. abab22x0y0x2y2
(2)点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的外部221. ababa2x2y2a253.双曲线221(a0,b0)的焦半径公式PF1|e(x)|,PF2|e(x)|. cabc54.双曲线的方程与渐近线方程的关系 x2y2x2y2b(1)若双曲线方程为221渐近线方程:220yx. ababax2y2xyb(2)若渐近线方程为yx0双曲线可设为22. ababax2y2x2y2(3)若双曲线与221有公共渐近线,可设为22(0,焦点在x轴上,0,焦点在y轴上). abab255. 抛物线y2px的焦半径公式 p2抛物线y2px(p0)焦半径CFx0. 2pp过焦点弦长CDx1x2x1x2p. 2256.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB(x1x2)2(y1y2)2或 AB(1k2)(x2x1)2|x1x2|1tan2|y1y2|1cot2(弦端点A(x1,y1),B(x2,y2),由方程ykxb2 消去y得到axbxc0,0,为直线AB的倾斜角,k为直线的斜率). F(x,y)057(1)加法交换律:a+b=b+a.(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).(3)数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb. 59共线向量定理 对空间任意两个向量a、b(b≠0 ),a∥b存在实数λ使a=λb. P、A、B三点共线AP||ABAPtABOP(1t)OAtOB. 60.向量的直角坐标运算 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)则 (1)a+b=(a1b1,a2b2,a3b3);(2)a-b=(a1b1,a2b2,a3b3);(3)λa=(a1,a2,a3) (λ∈R); (4)a·b=a1b1a2b2a3b3; 61.设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则ABOBOA= (x2x1,y2y1,z2z1). 62.空间的线线平行或垂直 63.夹角公式 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则cos〈a,b〉=rrrrrr设a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),则abab0x1x2y1y2z1z20. a1b1a2b2a3b3aaa212223rrrr|x1x2y1y2z1z2||ab|r64.异面直线所成角cos|cosa,b|=r 222222|a||b|x1y1z1x2y2z2rroob所成角,a,b分别表示异面直线a,b的方向向量) (其中(090)为异面直线a,65.直线AB与平面所成角 bbb212223. 学习必备 欢迎下载 arcsinABm(m为平面的法向量). |AB||m|66.二面角l的平面角arccos134.空间两点间的距离公式 mnmn或arccos(m,n为平面,的法向量). |m||n||m||n|ABAB(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2. 若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 dA,B=|AB|67.球的半径是R,则 其体积V43R,其表面积S4R2. 3 (3) 球与正四面体的组合体: 66a,外接球的半径为a. 1241168V柱体Sh(S是柱体的底面积、h是柱体的高).V锥体Sh(S是锥体的底面积、h是锥体的高). 3369.分类计数原理(加法原理)Nm1m2mn. n。*m70.排列数公式 An=n(n1)(nm1)=.(n,m∈N,且mn).注:规定0。1. (nm)。
棱长为a的正四面体的内切球的半径为n。
Anmn(n1)(nm1)*71.组合数公式 C=m==(n∈N,mN,且mn). m。(nm)。
12mAmmn72.组合数的两个性质(1)Cn=Cnmnmnm (2) Cn+Cnmm1m0=Cn1.注:规定Cn1. nnm1m1nnm1rmmmCn 155.组合恒等式

(1)

(2)

(3)

(4)=2n; CCn;CnCn1;CnCn1; mnmmr0mm。Cn73.排列数与组合数的关系Anm . 74.单条件排列以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列.

(1)“在位”与“不在位” m1mm11m1①某(特)元必在某位有An1种;②某(特)元不在某位有AnAn1(补集思想)An1An1(着眼位置)m1m1An1Am1An1(着眼元素)种.

(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻) ①定位紧贴:k(kmn)个元在固定位的排列有AkAnk种. ②浮动紧贴:n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有Ank1Ak种.注:此类问题常用捆绑法; ③插空:两组元素分别有k、h个(kh1),把它们合在一起来作全排列,k个的一组互不能挨近的所有排列数有AhAh1种.

(3)两组元素各相同的插空 m个大球n个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法。 nAmn1当nm1时,无解;当nm1时,有nCm1种排法. Anhknk1kkmk

(4)两组相同元素的排列:两组元素有m个和n个,各组元素分别相同的排列数为Cmn. 75.分配问题

(1)(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人,各得n件,其分配方法数共有n(mn)。
. (n。
)m

(2)(平均分组无归属问题)将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆,其分配方法数共有 nnnnnCmnCmn(mn)。nCmn2n...C2nCnN. m。
m。(n。)m

(3)(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分给m个人,物件必须被分完,分别得到n1,nnnnnNCmnCmnnCmn2nC2nCn学习必备 欢迎下载 nnnn2,nm件,n2,nm这m个数彼此不相等,…,且n1,…,则其分配方法数共有NCpCpn...Cnm。
12m1mp。m。. n1。n2。...nm。
n0n1n12n22rnrrnn76.二项式定理 (ab)CnaCnabCnabCnabCnb rnrr二项展开式的通项公式Tr1Cnab(r0,1,2,n). kknk77.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率Pn(k)CnP(1P). 78.离散型随机变量的分布列的两个性质

(1)Pi0(i1,2,79.数学期望Ex1P1x2P22);

(2)P1P21. xnPn 80..数学期望的性质

(1)E(ab)aE()b.

(2)若~B(n,p),则Enp. 81.方差Dx1Ep1x2Ep22xnEpn2标准差=D. 82.方差的性质(1)Daba2D;(2)若~B(n,p),则Dnp(1p). 83..f(x)在(a,b)的导数f(x)ydydfyf(xx)f(x). limlimdxdxx0xx0x84.. 函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义 函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f(x0),相应的切线方程是yy0f(x0)(xx0). 85..几种常见函数的导数 'n1(1) C0(C为常数).(2) (xn)nx(nQ).(3) (sinx)cosx. (4) (cosx)sinx (5) (lnx)86..导数的运算法则 11xxxxx;(loga)(6) (e)e; (a)alna. xxlna''u'u'vuv'(v0).

(1)(uv)uv.

(2)(uv)uvuv.

(3)()2vv''''87..复合函数的求导法则 ''''设函数u(x)在点x处有导数ux(x),函数yf(u)在点x处的对应点U处有导数yuf(u),则复合函''''''数yf((x))在点x处有导数,且yxyuux,或写作fx((x))f(u)(x). 89.复数的相等abicdiac,bd.(a,b,c,dR) 90.复数zabi的模(或绝对值)|z|=|abi|=a2b2. 91.复数的四则运算法(1)(abi)(cdi)(ac)(bd)i(2)(abi)(cdi)(ac)(bd)i; (3)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i;(4)(abi)(cdi)的角度 0 的弧度 0 sin cos 30 45 60 90 120 135 acbdbcad2i(cdi0). 222cdcd150 180 270 360 5 6 61 23 2 42 22 2 33 21 23  21 0 无 2 33 23 42 22 2 0 3 22 0 1 23 23 31 0 无 0 1 0 1 23 1 0 1 0 tan 3 31 1 学习必备 欢迎下载

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 函 ycosx ysinx 数 性 质 ytanx 图象 定义域 值域 R R xxk,k 21,1 当x2k1,1 当x2kk时, R 2k时,2最值 ymax1;当x2k ymax1;当x2k 既无最大值也无最小值 k时,ymin1. 周期性 奇偶性 2 奇函数 k时,ymin1. 2 偶函数  奇函数 在2k,2k 22k上是增函数;在 单调性 在2k,2kk上是增函数;在2k,2k 在k,k 2232k,2k 22k上是减函数. k上是增函数. k上是减函数. 对称中心k,0k 对称性 对称中心k,0k k对称中心,0k 22对称轴xkk 2对称轴xkk 无对称轴 数学公式大全。
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