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考研数学公式大全(高数、概率、线代)目前文库中最全的 数学公式大全

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数学公式大全
高等数学公式 导数公式: 2(tgx)secx(arcsinx)211x2(ctgx)cscx(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(a)alna(logaxx(arccosx)(arctgx)11x211x2x)1xlna(arcctgx)11x2基本积分表: tgxdxctgxdxsecaxalncosxClnsinxCcossindx2xxseccsc2xdxtgxCxdxctgxCdx22xdxlnsecxtgxCcscxdxlncscxctgxCdx2secxtgxdxcscxctgxdxaxsecxCcscxCCxdxadxxdx221a1arctglnlnxaCCCxaxaaxaxxadxaxlna222a12ashxdxchxdx2chxCshxCln(xxa)C2222ax2arcsinCdxxa222Insin02nxdxcosxdx0nn1naaa2In2xa)CxaxaC22222u1uxadxxadxaxdx22222x2x2x2xaxaax22222222ln(xlnxarcsin22C2三角函数的有理式积分: sinx, cosx21u1u2, utg2x2, dx2du1u2 一些初等函数: 两个重要极限: ee2ee2shxchx2xxxx双曲正弦:shx双曲余弦:chx双曲正切:thxarshxln(xarchxln(xarthx12ln1x1xlimsinxx1xx01)e2.7182818284xlim(1x59045...eeeexxxxx1)x1)2 三角函数公式: ·诱导公式: 函数 角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α sin cos tg -tgα ctgα ctg -ctgα tgα -sinα cosα cosα cosα sinα sinα -sinα -ctgα -tgα -cosα -tgα -ctgα ctgα tgα -ctgα ctgα -sinα -cosα tgα -cosα -sinα ctgα -cosα sinα -sinα cosα sinα cosα -tgα tgα -ctgα -tgα ·和差角公式: ·和差化积公式: sin()sincoscossincos()coscossinsintg()tgtg1tgtgctgctg1ctgctgsinsin2sinsinsin2cos2cossin222coscos2coscoscos2sin2cossin2ctg()22 ·倍角公式: sin22sincoscos22cos112sincossinctg2tg2ctg12ctg2tg1tg222222sin33sin4sincos34cos3costg33tgtg13tg2333 ·半角公式: sintg21cos21cos1cosasinA          1cossinbsinB  cos  ctg21cos21cos1cos1cossinsin1cos2sin1cos2 ·正弦定理: ·反三角函数性质:arcsinx2arccosx   arctgxcsinC2R ·余弦定理:cab2abcosC 2222arcctgx 高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式: n(uv)u(n)Ck0knu(nk)v(k)(n)vnu(n1)vn(n1)2。u(n2)vn(n1)(nk1)k。 u(nk)v(k)uv(n)中值定理与导数应用: 拉格朗日中值定理:柯西中值定理:f(b)f(a)f()(ba)f()F()拉格朗日中值定理。f(b)f(a)F(b)F(a) 当F(x)x时,柯西中值定理就是曲率: 弧微分公式:平均曲率:Kdss1ydx,其中ytg.:从M点到M点,切线斜率的倾角变sddsy(1y)232化量;s:MM弧长。M点的曲率:直线:K0;Klims0. 半径为a的圆:K1a.定积分的近似计算: b矩形法:f(x)abban(y0y1yn1)梯形法:f(x)abba1[(y0yn)y1yn1]n2ba3n[(y0yn)2(y2y4yn2)4(y1y3yn1)] 抛物线法:f(x)a定积分应用相关公式: 功:WFs水压力:FpA引力:Fkm1m2r2,k为引力系数1bab 函数的平均值:y1babaf(x)dx均方根:af(t)dt2空间解析几何和向量代数: 空间2点的距离:向量在轴上的投影:dM1M2(x2x1)(y2y1)(z2z1)222PrjuABABcos,是AB与u轴的夹角。Prju(a1a2)Prja1Prja2ababcosaxbxaybyazbz,是一个数量两向量之间的夹角:cosk,axbxaybyazbzaxayazbxbybz222222icabaxbxjaybyaz,cabsin.例:线速度:bzaybycyazbzczvw向量的混合积:[abc](ab)cbxcx代表平行六面体的体积。
abccos,为锐角时, 平面的方程:

1、点法式:A(xx0)B(yy0)C(zz0)0,其中n{A,B,C},M0(x0,y0,z0)AxByCzD0xaybzc1dAx0By0Cz0DABC空间直线的方程:

2222、一般方程:

3、截距世方程:平面外任意一点到该平面的距离:xx0mtxx0yy0zz0t,其中s{m,n,p};参数方程:yy0ntmnpzzpt02222二次曲面:

1、椭球面:

2、抛物面:

3、双曲面:单叶双曲面:双叶双曲面:xaxa2222xa222yb2zc1xy2p2qz(,p,q同号)ybyb2222zczc22221(马鞍面)1 多元函数微分法及应用 全微分:dzzxdxzydy   duuxdxuydyuzdz全微分的近似计算:多元复合函数的求导法zdzfx(x,y)xfy(x,y)y:dzzuzvzf[u(t),v(t)]    dtutvtzzuzvzf[u(x,y),v(x,y)]    xuxvx当uu(x,y),vv(x,y)时,duuxdxuydy   dvvxdxvydy 隐函数的求导公式:FFFdydydy隐函数F(x,y)0,  x,  2(x)+(x)dxFyxFyyFydxdxFyFxzz隐函数F(x,y,z)0, ,  xFzyFzFF(x,y,u,v)0(F,G)隐函数方程组:   JuG(u,v)G(x,y,u,v)0uuxuy1(F,G)v1(F,G)    J(x,v)xJ(u,x)1(F,G)v1(F,G)    J(y,v)yJ(u,y)FvFuGGuvFvGv2 微分法在几何上的应用: x(t)xx0yy0zz0空间曲线y(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程:(t0)(t0)(t0)z(t)在点M处的法平面方程:若空间曲线方程为:(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0FzGzGz,FzFxGx,FxGxFyGyFyF(x,y,z)0,则切向量T{GyG(x,y,z)0}曲面F(x,y,z)0上一点M(x0,y0,z0),则:

1、过此点的法向量:n{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}

2、过此点的切平面方程

3、过此点的法线方程::Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0xx0Fx(x0,y0,z0)yy0Fy(x0,y0,z0)zz0Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度: 函数zf(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向其中为x轴到方向l的转角。l的方向导数为:flfxcosfysin函数zf(x,y)在一点p(x,y)的梯度:gradf(x,y)它与方向导数的关系是单位向量。fl是gradf(x,y)在l上的投影。ffijxyf:gradf(x,y)e,其中ecosisinj,为l方向上的l 多元函数的极值及其求法: 设fx(x0,y0)fy(x0,y0)0,令:fxx(x0,y0)A, fxy(x0,y0)B, fyy(x0,y0)CA0,(x0,y0)为极大值2ACB0时,A0,(x0,y0)为极小值2则:值ACB0时,      无极ACB20时,       不确定 重积分及其应用: Df(x,y)dxdyDf(rcos,rsin)rdrdzz1dxdyxy22曲面zf(x,y)的面积ADx平面薄片的重心:xMMx(x,y)dD(x,y)dD,  yMMyDDy(x,y)d(x,y)dD平面薄片的转动惯量:平面薄片(位于Fxf对于x轴IxDy(x,y)d,  对于y轴Iy2x(x,y)d2xoy平面)对z轴上质点M(0,0,a),(a0)的引力:F{Fx,Fy,Fz},其中:,  Fyf3D(x,y)xd222D(x,y)yd222,  Fzfa3D(x,y)xd3(xya)2(xya)2(xya)2222 柱面坐标和球面坐标: xrcos柱面坐标:yrsin,   f(x,y,z)dxdydzzz其中:F(r,,z)f(rcos,rsin,z)F(r,,z)rdrddz,xrsincos2球面坐标:yrsinsin,  dvrdrsinddrrsindrddzrcos2r(,)f(x,y,z)dxdydz1MF(r,,)rsindrdd1M2dd00F(r,,)rsindr02重心:x转动惯量:xdv,  yydv,  z1M2zdv,  其中Mx22dvIx(yz)dv,  Iy22(xz)dv,  Iz2(xy)dv 曲线积分: 第一类曲线积分(对弧长的曲线积分):x(t)设f(x,y)在L上连续,L的参数方程为:,  (t),则:y(t)Lf(x,y)dsxt22f[(t),(t)](t)(t)dt  ()  特殊情况:y(t)第二类曲线积分(对坐设L的参数方程为标的曲线积分):x(t),则:y(t)P(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dtL两类曲线积分之间的关L上积分起止点处切向量格林公式:(D系:PdxQdyL(PcosLQcos)ds,其中和分别为的方向角。)dxdyQxPyPdxQdy格林公式:(LDQxPy)dxdy12PdxLQdyQP当Py,Qx,即:2时,得到D的面积:Axy·平面上曲线积分与路径

1、G是一个单连通区域;

2、P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分,·二元函数的全微分求积在Qx=Py注意方向相反。:,且Qx无关的条件:DdxdyxdyLydx=Py。
注意奇点,如(0,0),应时,PdxQdy才是二元函数u(x,y)的全微分,其中:(x,y)u(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy,通常设(x0,y0)x0y00。 曲面积分: 对面积的曲面积分:对坐标的曲面积分:f(x,y,z)dsDxyf[x,y,z(x,y)]1zx(x,y)zy(x,y)dxdy22P(x,y,z)dydzDxyQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy,其中:号;号;号。QcosRcos)dsR(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正P[x(y,z),y,z]dydz,取曲面的前侧时取正DyzP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxQ[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取正Dzx两类曲面积分之间的关系:PdydzQdzdxRdxdy(Pcos 高斯公式: (PxQyRz)dvPdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds高斯公式的物理意义——通量与散度:div0,则为消失...PQR散度:div,即:单位体积内所产生的流体质量,若xyz通量:AndsAnds(PcosQcosRcos)ds,因此,高斯公式又可写成:divAdvAnds斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系: (RyQz)dydz(PzRx)dzdx(dzdxyQQxPy)dxdycosxPPdxQdyRdzcoszR上式左端又可写成:dydzxPdxdyzRRycosyQ空间曲线积分与路径无ixPjyQ关的条件:kzRQPRQP, , zzxxy 旋度:rotA向量场A沿有向闭曲线的环流量:PdxQdyRdzAtds常数项级数: 等比数列:1qqq等差数列:123n调和级数:112131n2n11qn1q(n1)n2 是发散的级数审敛法:

1、正项级数的审敛法——根植审敛法(柯西判别法):设:limnn1时,级数收敛un,则1时,级数发散1时,不确定

2、比值审敛法:1时,级数收敛Un1设:lim,则1时,级数发散nUn1时,不确定

3、定义法:snu1u2un;limsn存在,则收敛;否则发n 散。
交错级数u1u2u3u4(或u1u2u3,un0)的审敛法如果交错级数满足unun1limu0,那么级数收敛且其和nn——莱布尼兹定理:su1,其余项rn的绝对值rnun1。 绝对收敛与条件收敛: (1)u1u2un,其中un为任意实数;(2)u1u2u3un如果(2)收敛,则(1)肯定收敛,且称为绝对如果(2)发散,而(1)收敛,则称调和级数:  级数:1nn发散,而收敛;p1时发散  p1时收敛收敛级数;(1)为条件收敛级数。n (1)n收敛;12  p级数:1np幂级数: 1xxxx  23nx1时,收敛于x1时,发散11x对于级数(3)a0a1x a2xanx,如果它不是仅在原点xR时收敛数轴上都收敛,则必存在R,使2n收敛,也不是在全xR时发散,其中R称为收敛半径。xR时不定0时,R求收敛半径的方法:设liman1an,其中an,an1是(3)的系数,则1n0时,R时,R0 函数展开成幂级数: 函数展开成泰勒级数:余项:Rnf(n1)f(x)f(x0)(xx0)(xx0)n1f(x0)2。(xx0)2f(n)(x0)n。(xx0)n()(n1)。
,f(x)可以展开成泰勒级数的f(0)2。
2充要条件是:limRn0nx00时即为麦克劳林公式:f(x)f(0)f(0)xxf(n)(0)n。xn 一些函数展开成幂级数: (1x)m1mxx3m(m1)2。
xn12m(m1)(mn1)n。x   (1x1)nsinxx3。x55。(1)x2n1 (2n1)。   (x)欧拉公式: ixixeecosx2cosxisinx   或 ixixsinxee2eix三角级数: f(t)A0An1nsin(ntn)a02(an1ncosnxbnsinnx)其中,a0aA0,anAnsinn,bnAncosn,tx。正交性:1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积上的积分=0。
在[,] 傅立叶级数: f(x)a02(an1ncosnxbnsinnx),周期21an其中1bn1 122f(x)cosnxdx   (n0,1,2)f(x)sinnxdx   (n1,2,3)13214215216228112221332144226(相加)224121212122(相减)12正弦级数:an0,bn20f(x)sinnxdx  n1,2,3 f(x)ba02nsinnx是奇函数余弦级数:bn0,an0f(x)cosnxdx  n0,1,2 f(x)ancosnx是偶函数 周期为2l的周期函数的傅立叶级数: f(x)a02n1(ancosnxlbnsinnxl),周期2ll1nxaf(x)cosdx   (n0,1,2)nlll其中l1nxbnf(x)sindx   (n1,2,3)lll 微分方程的相关概念: 一阶微分方程:yf(x,y) 或 P(x,y)dxQ(x,y)dy
0:一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式,解法:可分离变量的微分方程g(y)dyyxf(x)dx  得:G(y)F(x)C称为隐式通解。程可以写成dudx,ududxdydxf(x,y)(x,y),即写成dxxduyx的函数,解法:yx代替u,齐次方程:一阶微分方设u,则dydxux(u),(u)u分离变量,积分后将即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程:

1、一阶线性微分方程:dydxP(x)yQ(x)P(x)dxyCe当Q(x)0时,为齐次方程,当Q(x)0时,为非齐次方程,

2、贝努力方程:dydxy(Q(x)enP(x)dxdxC)eP(x)dx P(x)yQ(x)y,(n0,1)全微分方程: 如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函数的全微du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0,其中:u(x,y)C应该是该全微分方程的通解。
u分方程,即:uP(x,y),Q(x,y) xy二阶微分方程: dydx22P(x)dydxQ(x)yf(x),f(x)0时为齐次f(x)0时为非齐次 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法: (*)ypyqy0,其中p,q为常数;求解步骤:

1、写出特征方程:()rprq0,其中r,r的系数及常数项恰好是

2、求出()式的两个根r1,r222(*)式中y,y,y的系数;

3、根据r1,r2的不同情况,按下表写r1,r2的形式 出(*)式的通解: (*)式的通解 两个不相等实根(p24q0) 两个相等实根(p24q0) 一对共轭复根(p24q0) r1i,r2iyc1er1xc2er2x y(c1c2x)eyexr1x(c1cosxc2sinx) p2,4qp22 二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqyf(x),p,q为常数f(x)ePm(x)型,为常数;f(x)e[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型xx 概率统计 公式整理 1.随机事件及其概率 AAA吸收律:AAA(AB)A AA(AB)A ABABA(AB) 反演律:ABAB ABAB nninini Ai1Ai1 Ai1Ai1i 2.概率的定义及其计算 P(A)1P(A) 若AB P(BA)P(B)P(A) 对任意两个事件A, B, 有 P(BA)P(B)P(AB) 加法公式:对任意两个事件A, B, 有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) P(AB)P(A)P(B) nnnP(Ai)i1i1P(Ai)P(AiAj)P(AiAjAk)(1)n1P(A1A2An)3.1ijn1ijkn条件概率 PBA 乘法公式 P(AB)P(A) P(AB)P(A)PBA(P(A)0)P(A1A2An)P(A1)PA2 A1PAnA1A2An1(P(A1A2An1)0)nni全概率公式 P(A)P(ABi1) P(B)P(Aii1Bi) Bayes公式 P(BkA)P(ABk)P(A) P(Bk)P(ABk)n P(B)P(Aii1Bi)4.随机变量及其分布 分布函数计算 P(aXb)P(Xb)P(Xa)F(b)F(a) 5.离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布 P(Xk)p(1p)k1k,k0,1 (2) 二项分布 B(n,p) 若P ( A ) = p P(Xk)Cnp(1p)kknk,k0,1,,n * Possion定理 limnpn0 n有 limCp(1pn)nknknnkekk。 k0,1,2,(3) Poisson 分布 P() P(Xk)ekk。,k0,1,2, 6.连续型随机变量 (1) 均匀分布 U(a,b) 1,baf(x)0,0,xaF(x), ba1axb其他 (2) 指数分布 E() xe,f(x)0,x0其他 0,F(x)x1e,x0x0 (3) 正态分布 N ( ,  2 ) f(x)12(x)222ex 2F(x)121x(t)22edt * N (0,1) — 标准正态分布 (x)212ex22x 2 (x)xet2dtx 7.多维随机变量及其分布 二维随机变量( X ,Y )的分布函数 F(x,y)xyxf(u,v)dvdu 边缘分布函数与边缘密度函数 FX(x)f(u,v)dvdu fX(x)FY(y)fY(y)yf(x,v)dv f(u,v)dudv f(u,y)du 8. 连续型二维随机变量 (1) 区域G 上的均匀分布,U ( G ) 1,f(x,y)A0,(x,y)G其他 (2) 二维正态分布 f(x,y)121212e(x1)2(x1)(y2)221121222(1)(y2)229. 二维随机变量的 条件分布 x,yf(x,y)fX(x)fYX(yx)fX(x)0 fY(y)0  fY(y)fXY(xy)fX(x)fY(y)f(x,y)dyf(x,y)dxf(x,y)fY(y)f(x,y)fX(x)fXY(xy)fY(y)dy fYXX(yx)fX(x)dx fXY(xy)  fY(yx)fX(x)fY(y) fYX(yx)  fXY(xy)fY(y)fX(x) 10. 随机变量的数字特征 数学期望 E(X)xk1kpk E(X)xf(x)dx 随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩E(X) X 的 k 阶绝对原点矩E(|X|) X 的 k 阶中心矩E((XE(X))) X 的 方差E((XE(X)))D(X) X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩E(XY) X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 E(XE(X))(YE(Y))kl2kkkkl X ,Y 的 二阶混合原点矩E(XY) X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 E(XE(X))(YE(Y)) X ,Y 的相关系数 (XE(X))(YE(Y))ED(X)D(Y) XYX 的方差 D (X ) = E ((X - E(X))2) D(X)E(X)E(X) 22协方差 cov(X,Y)E(XE(X))(YE(Y)) E(XY)E(X)E(Y) 12D(XY)D(X)D(Y) 相关系数XY F(x)12cov(X,Y)D(X)D(Y) 1x(t)222edt * N (0,1) — 标准正态分布 (x)212ex22x 2 (x)xet2dtx 7.多维随机变量及其分布 二维随机变量( X ,Y )的分布函数 F(x,y)xxyf(u,v)dvdu 边缘分布函数与边缘密度函数 FX(x)f(u,v)dvdu fX(x)FY(y)yf(x,v)dv f(u,v)dudv fY(y)f(u,y)du 8. 连续型二维随机变量 (1) 区域G 上的均匀分布,U ( G ) 1,f(x,y)A0,(x,y)G其他 (2) 二维正态分布 (x1)2(x1)(y2)221121222(1)(y2)22f(x,y)121212e9. 二维随机变量的 条件分布 x,yf(x,y)fX(x)fYX(yx)fX(x)0 fY(y)0  fY(y)fXY(xy)fX(x)fY(y)f(x,y)dyf(x,y)dxf(x,y)fY(y)f(x,y)fX(x)fXY(xy)fY(y)dy fYXX(yx)fX(x)dx fXY(xy)  fY(yx)fX(x)fY(y) fYX(yx)  fXY(xy)fY(y)fX(x) 10. 随机变量的数字特征 数学期望 E(X)xk1kpk E(X)xf(x)dx 随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩E(X) X 的 k 阶绝对原点矩E(|X|) X 的 k 阶中心矩E((XE(X))) X 的 方差E((XE(X)))D(X) 2kkkX ,Y 的 k + l 阶混合原点矩E(XkYl) X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 E(XE(X))(YE(Y))kl X ,Y 的 二阶混合原点矩E(XY) X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 E(XE(X))(YE(Y)) X ,Y 的相关系数 (XE(X))(YE(Y))ED(X)D(Y) XYX 的方差 D (X ) = E ((X - E(X))2) D(X)E(X)E(X) 22协方差 cov(X,Y)E(XE(X))(YE(Y)) E(XY)E(X)E(Y) 12D(XY)D(X)D(Y) 相关系数XY cov(X,Y)D(X)D(Y) 线性代数 数学公式大全。
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