上海初中试题
初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学 2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答 一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分）
1、对于任意实数a,b，定义,a∗b=a(a+b) +b, 已知a∗2.5=28.5，则实数a的值是 。
【答案】4，13

22、在三角形ABC中，ABb21,BCa2,CA2a，其中a,b是大于1的整数，则b-a= 。

【答案】0

3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。
【答案】50,94

4、已知关于x的方程x42x3(3k)x2(2k)x2k0有实根，并且所有实根的乘积为−2，则所有实根的平方和为 。

【答案】5

5、如图，直角三角形ABC中, AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点。
PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为 。
【答案】2BEP25 5CF第五题图

6、设a，b是方程x268x10的两个根，c，d是方程x86x10的两个根，则(a+ c)( b + c)( a − d)( b − d)的值 。
【答案】2772 A7在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) , Q (2,2)，函数y=kx−1 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是 。

【答案】k 8方程xyz=2009的所有整数解有 组。
【答案】72 9如图，四边形ABCD中AB=BC=CD，∠ABC=78°，∠BCD=162°。
设AD,BC延长线交于E ，则∠AEB= 。 1332初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学 初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学
【答案】21° ADCDBEC第九题图MA第十题图B

10、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD= 90°，AB=BC=10，点M在BC上，使得ΔADM是正三角形，则ΔABM与ΔDCM的面积和是 。

【答案】3001503 二、（本题15分）如图，ΔABC 中∠ACB =90°，点D在CA上，使得CD=1, AD=3，并且∠BDC=3∠BAC，求BC的长。 解：设BC=x，则BDx21，ABx216，如图，作∠ABD平分B线BE，则BDEADB,因此CADE第二大题图BD2DEDA3DE。 由角平分线定理可知DEBDDEBD3BDDE。
AEABAEDEABBDABBD因此x129x21x216x21，解得BCx411 11三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数abcd，abcd(abcd)2其中数字c可以是0。 解：设xab,ycd,，则100xy(xy)2，故x2(2y100)x(y2y)0有整数解，由于10< x < 100，故y≠0。因此x(2y100)24(y2y)4(250099y)是完全平方数， 初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学 初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学 可设t2250099y，故99y(50t)(50t)，0≤50- t<50+ t之和为100，而且其中有11的倍数，只能有50−t= 1或50−t=45，相应得到y=1,25，代x98x20x30入解得因此abcd9801,2025,3025。
,,y1y25y25四、（本题15分）正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n。 解：由于22,32,52,72,112,132,172,192,232,292,312,372,412,432这14个合数都小于2009且两两互质，因此n≥15。
而n=15时，我们取15个不超过2009的互质合数a1,a2,,a15的最小素因子p1,p2,,p15，则必有一个素数≥47，不失一般性设p1547，由于p15是合数a15的最小素因子，因此a15p152472009，矛盾。
因此，任意15个大于1且不超过的互质正整数中至少有一个素数。综上所述，n最小是15。 五、（本题15分）若两个实数a,b,使得,a2b与ab2都是有理数，称数对(a,b)是和谐的。
①试找出一对无理数，使得(a，b)是和谐的； ②证明：若(a，b)是和谐的，且a+b是不等于1的有理数，则a,b都是有理数； ③证明：若(a，b)是和谐的，且是有理数，则a,b都是有理数； 1122②由已知t(a2b)(ab2)(ab)(ab1)是有理数，abs是有理数，t1t因此ab，解得as是有理数，当然b=s−a也是有理ab12s1ab解：①不难验证(a,b)(2,2)是和谐的。 数。 ③若ab20，则b是有理数，因此a(ab2)b2也是有理数。若21abbb是有理数，ya也是有理数，ab20，由已知xa11bab2bbxy11y2x因此，故b2是有理数，因此a(ab2)b2也是有理数。 yxbxy1aba2 初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学 初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学 初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学 上海初中试题。

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