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数学知识点新知杯上海市初中数学竞赛试题及答案-总结 上海初中试题

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上海初中试题
初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学 2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答 一、填空题(第1-5小题每题8分,第6-10小题每题10分,共90分)
1、对于任意实数a,b,定义,a∗b=a(a+b) +b, 已知a∗2.5=28.5,则实数a的值是 。
【答案】4,13

22、在三角形ABC中,ABb21,BCa2,CA2a,其中a,b是大于1的整数,则b-a= 。
【答案】0

3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形,它的周长可能是 。
【答案】50,94

4、已知关于x的方程x42x3(3k)x2(2k)x2k0有实根,并且所有实根的乘积为−2,则所有实根的平方和为 。
【答案】5

5、如图,直角三角形ABC中, AC=1,BC=2,P为斜边AB上一动点。
PE⊥BC,PF⊥CA,则线段EF长的最小值为 。
【答案】2BEP25 5CF第五题图

6、设a,b是方程x268x10的两个根,c,d是方程x86x10的两个根,则(a+ c)( b + c)( a − d)( b − d)的值 。
【答案】2772 A7在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) , Q (2,2),函数y=kx−1 的图像与线段PQ 延长线相交(交点不包括Q),则实数k的取值范围是 。

【答案】k 8方程xyz=2009的所有整数解有 组。
【答案】72 9如图,四边形ABCD中AB=BC=CD,∠ABC=78°,∠BCD=162°。
设AD,BC延长线交于E ,则∠AEB= 。 1332初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学 初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学
【答案】21° ADCDBEC第九题图MA第十题图B

10、如图,在直角梯形ABCD中,∠ABC=∠BCD= 90°,AB=BC=10,点M在BC上,使得ΔADM是正三角形,则ΔABM与ΔDCM的面积和是 。

【答案】3001503 二、(本题15分)如图,ΔABC 中∠ACB =90°,点D在CA上,使得CD=1, AD=3,并且∠BDC=3∠BAC,求BC的长。 解:设BC=x,则BDx21,ABx216,如图,作∠ABD平分B线BE,则BDEADB,因此CADE第二大题图BD2DEDA3DE。 由角平分线定理可知DEBDDEBD3BDDE。 AEABAEDEABBDABBD因此x129x21x216x21,解得BCx411 11三、(本题15分)求所有满足下列条件的四位数abcd,abcd(abcd)2其中数字c可以是0。 解:设xab,ycd,,则100xy(xy)2,故x2(2y100)x(y2y)0有整数解,由于10< x < 100,故y≠0。因此x(2y100)24(y2y)4(250099y)是完全平方数, 初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学 初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学 可设t2250099y,故99y(50t)(50t),0≤50- t<50+ t之和为100,而且其中有11的倍数,只能有50−t= 1或50−t=45,相应得到y=1,25,代x98x20x30入解得因此abcd9801,2025,3025。
,,y1y25y25四、(本题15分)正整数n满足以下条件:任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中,至少有一个素数,求最小的n。 解:由于22,32,52,72,112,132,172,192,232,292,312,372,412,432这14个合数都小于2009且两两互质,因此n≥15。
而n=15时,我们取15个不超过2009的互质合数a1,a2,,a15的最小素因子p1,p2,,p15,则必有一个素数≥47,不失一般性设p1547,由于p15是合数a15的最小素因子,因此a15p152472009,矛盾。
因此,任意15个大于1且不超过的互质正整数中至少有一个素数。综上所述,n最小是15。 五、(本题15分)若两个实数a,b,使得,a2b与ab2都是有理数,称数对(a,b)是和谐的。
①试找出一对无理数,使得(a,b)是和谐的; ②证明:若(a,b)是和谐的,且a+b是不等于1的有理数,则a,b都是有理数; ③证明:若(a,b)是和谐的,且是有理数,则a,b都是有理数; 1122②由已知t(a2b)(ab2)(ab)(ab1)是有理数,abs是有理数,t1t因此ab,解得as是有理数,当然b=s−a也是有理ab12s1ab解:①不难验证(a,b)(2,2)是和谐的。
数。 ③若ab20,则b是有理数,因此a(ab2)b2也是有理数。若21abbb是有理数,ya也是有理数,ab20,由已知xa11bab2bbxy11y2x因此,故b2是有理数,因此a(ab2)b2也是有理数。
yxbxy1aba2 初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学 初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学 初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学 上海初中试题。
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