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东莞市2019年中考数学试题及答案

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东莞市2019年中考数学试题及答案
说明:1.全卷共4页,满分为120分,考试用时为100分钟.
2.答卷前,考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考
场号、座位号.用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑.
3.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需
改动,用像皮檫干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试题上.
4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按上
要求作答的答案无效.
5.考生务必保持答题卡的整洁.考试结束时,将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正
确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.
1.﹣2的绝对值是
A.2 B.﹣2 C.
1
D.±2
2
2.某网店2019年母亲节这天的营业额为221 000元,将数221 000用科学记数法表示为
A.2.21×10 B.2.21×10 C.221×10 D.0.221×10
3.如图,由4个相同正方体组合而成的几何体,它的左视图是
65 3 6

4.下列计算正确的是
A.b÷b=b B.b·b=b C.a+a=2a D.(a)=a
1
632339222336

5.下列四个银行标志中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是

6.数据
3、
3、
5、
8、11的中位数是
A.3 B.4 C.5 D.6
7.实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列式子成立的是

A.a>b B.|a| < |b| C.a+b>0 D.
a
<0
b

2
8.化简
4
的结果是
A.﹣4 B.4 C.±4 D.2
9.已知x
1
、x
2
是一元二次方程了x﹣2x=0的两个实数根,下列结论错误的是
A.x
1
≠x
2
B.x
1
﹣2x
1
=0 C.x
1
+x
2
=2 D.x
1
·x
2
=2
10.如图,正方形ABCD的边长为4,延长CB至E使EB=2,以EB为边
在上方作正方形EFGB,延长FG交DC于M,连接AM、AF,H为
AD的中点,连接FH分别与AB、AM交于点N、K.则下列结论:
①△ANH≌△GNF;②∠AFN=∠HFG;③FN=2NK;④S
△AFN
: S
△ADM
=1 :
4.其中正确的结论有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

二、填空题(本大题6小题,每小题4分,共24分)请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的
2
2
2
位置上.
11.计算2019+(
0
1
﹣1
)=____________.
3
12.如图,已知a∥b,∠l=75°,则∠2 =________.

13.一个多边形的内角和是1080°,这个多边形的边数是_________.

14.已知x=2y+3,则代数式4x﹣8y+9的值是___________.
15.如图,某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=
153
米,在实验楼的顶部B点测得教学楼顶
部A点的仰角是30°,底部C点的俯角是45°,则教学楼AC的高度是_________________米(结
果保留根号).

16.如题16-1图所示的图形是一个轴对称图形,且每个角都是直角,长度如图所示,小明按题16-2
图所示方法玩拼图游戏,两两相扣,相互间不留空隙,那么小明用9个这样的图形(题16-1图)
拼出来的图形的总长度是_____________________(结果用含a、b代数式表示).
3

三、解答题(一)(本大题3小题,每小题6分,共18分)
17.解不等式组:
1

x
2
-x

x
-
18.先化简,再求值:

,其中x=
2



2

x-2x-2

x-4
19.如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点.

(1)请用尺规作图法,在△ABC内,求作∠ADE.使∠ADE=∠B,DE交AC于E;(不要求写作法,保
留作图痕迹)

(2)在
(1)的条件下,若
ADAE
=2,求的值.
DBEC


四、解答题(二)(本大题3小题,毎小题7分,共21分)
20.为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩,随机抽取了部分男生进行测试,并将测试成绩
分为A、B、C、D四个等级,绘制如下不完整的统计图表,如题20图表所示,根据图表信息解
答下列问题:
4


(1)x =________,y =_______,扇形图中表示C的圆心角的度数为_______度;

(2)甲、乙、丙是A等级中的三名学生,学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验,
用列表法或画树状图法,求同时抽到甲、乙两名学生的概率.
21.某校为了开展“阳光体育运动”,计划购买篮球、足球共60个,己知每个篮球的价格为70元,
毎个足球的价格为80元.

(1)若购买这两类球的总金额为4600元,篮球、足球各买了多少个。


(2)若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额,最多可购买多少个篮球。
22.在如图所示的网格中,每个正方形的连长为1,每个小正方形的顶点叫格点,△ABC的三个顶点
均在格点上,以点A为圆心的与BC相切于点D,分别交AB、AC于点E、F.


(1)求△ABC三边的长;


(2)求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积.

五、解答题
(三)(本大题3小题,毎小题7分,共21分)
5
23.如图,一次函数y=k
1
x+b的图象与反比例函数y=
为(﹣1,4),点B的坐标为(4,n).
k
2
的图象相交于A、B两点,其中点A的坐标
x


(1)根据函数图象,直接写出满足k
1
x+b>
k
2
的x的取值范围;
x


(2)求这两个函数的表达式;


(3)点P在线段AB上,且S
△AOP
: S
△BOP
=1 : 2,求点P的坐标.


24.如题24-1图,在△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆,过点C作∠BCD=∠ACB交⊙O于点D,
连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CF=AC,连接AF.


(1)求证:ED=EC;


(2)求证:AF是⊙O的切线;


(3)如题24-2图,若点G是△ACD的内心,BC·BE=25,求BG的长.
6

25.如题25-1图,在平面直角坐标系中,抛物线y=
3
2
3373
xx -
与x轴交于点A、B(点A在点
848
B右侧),点D为抛物线的顶点.点C在y轴的正半轴上,CD交x轴于点F,△CAD绕点C顺时针旋
转得到△CFE,点A恰好旋转到点F,连接BE.


(1)求点A、B、D的坐标;


(2)求证:四边形BFCE是平行四边形;


(3)如题25-2图,过顶点D作DD
1
⊥x 轴于点D
1
,点P是抛物线上一动点,过点P作PM⊥ x轴,
点M为垂足,使得△PAM与△DD
1
A相似(不含全等).
①求出一个满足以上条件的点P的横坐标;
②直接回答这样的点P共有几个。

....


7
参考答案
一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正
确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.
1.A 2.B 3.A 4.C 5.C 6.C 7.D 8.B 9.D 10.C
二、填空题(本大题6小题,每小题4分,共24分)请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的
位置上.
11.4 12. 105° 13. 8 14. 21 15.15+15
3
16. a+8b
三、解答题
(一)(本大题3小题,每小题6分,共18分)
17.解:由①得x>3,由②得x>1,
∴原不等式组的解集为x>3.
x-1
x
2
-x

18.解:原式=
x-2
x
2
-4
x-1

x2

x-2

×
x

x-1

x-2
=
=
x2

x
当x=
2
,原式=
22
222
==
1+
2
.

2
2
19.解:

(1)如图所示,∠ADE为所求.


(2)∵∠ADE=∠B
∴DE∥BC

AEAD
=
ECDB
8

AD
=2
DB
AE
=2
EC

四、解答题
(二)(本大题3小题,毎小题7分,共21分)
20.解:

(1)y=10÷25%=40,x=40-24-10-2=4,C的圆心角=360°×
4
=36°
40


(2)画树状图如下:

一共有6种可能结果,每种结果出现的可能性相同,其中同时抽到甲、乙的结果有2种
∴P
(甲乙)
=
21
=
6
3
1
.
3
答:同时抽到甲、乙两名学生的概率为
21.解:

(1)设购买篮球x个,则足球(60-x)个.
由题意得70x+80(60-x)=4600,解得x=20
则60-x=60-20=40.
答:篮球买了20个,足球买了40个.


(2)设购买了篮球y个.
由题意得 70y≤80(60-x),解得y≤32
答:最多可购买篮球32个.
9
2222
22.解:

(1)由题意可知,AB=
26
=
210
,AC=
26
=
210

22
BC=
48
=
45



(2)连接AD


(1)可知,AB2+AC2=BC2,AB=AC
∴∠BAC=90°,且△ABC是等腰直角三角形
∵以点A为圆心的与BC相切于点D
∴AD⊥BC
∴AD=
1
BC=
25
(或用等面积法AB·AC=BC·AD求出AD长度)
2
∵S
阴影
=S
△ABC
-S
扇形EAF
S
△ABC
=
1
×
210
×
210
=20
2
2
1
S
扇形EAF
=


25
=5π
4

∴S
阴影
=20-5π
23.解:

(1)x<-1或0<x<4


(2)∵反比例函数y=
k
2
图象过点A(﹣1,4)
x
∴4=
k
2
,解得k
2
=﹣4
-1
4

x
∴反比例函数表达式为
y-
∵反比例函数
y-
4
图象过点B(4,n)
x
10
∴n=
-
4
=﹣1,∴B(4,﹣1)
4
∵一次函数y=k
1
x+b图象过A(﹣1,4)和B(4,﹣1)



4-k
1
b

k
1
-1
,解得



b3

-14k
1
b
∴一次函数表达式为y=﹣x+3


(3)∵P在线段AB上,设P点坐标为(a,﹣a+3)
∴△AOP和△BOP的高相同
∵S
△AOP
: S
△BOP
=1 : 2
∴AP : BP=1 : 2
过点B作BC∥x轴,过点A、P分别作AM⊥BC,PN⊥BC交于点M、N

∵AM⊥BC,PN⊥BC

APMN


BPBN
∵MN=a+1,BN=4-a

a112

,解得a=
4-a23
7

3
∴-a+3=
∴点P坐标为(
27
,)
33
11
(或用两点之间的距离公式AP=

a1

2


-a3-4

2
,BP=

4-a

2


-1a-3

2
,由
AP

1
解得a
2
1
=
3
,a
2
=-6舍去)
24.

(1)证明:∵AB=AC
∴∠B==∠ACB
∵∠BCD=∠ACB
∴∠B=∠BCD
∵=
∴∠B=∠D
∴∠BCD=∠D
∴ED=EC


(2)证明:

连接AO并延长交⊙O于点G,连接CG


(1)得∠B=∠BCD
∴AB∥DF
∵AB=AC,CF=AC
∴AB=CF
∴四边形ABCF是平行四边形

BP2
12
∴∠CAF=∠ACB
∵AG为直径
∴∠ACG=90°,即∠G+∠GAC=90°
∵∠G=∠B,∠B=∠ACB
∴∠ACB+∠GAC=90°
∴∠CAF+∠GAC=90°即∠OAF=90°
∵点A在⊙O上
∴AF是⊙O的切线


(3)解:

连接AG
∵∠BCD=∠ACB,∠BCD=∠1
∴∠1=∠ACB
∵∠B=∠B
∴△ABE∽△CBA

BEAB
AB

BC

∵BC·BE=25
∴AB
2
=25
13
∴AB=5
∵点G是△ACD的内心
∴∠2=∠3
∵∠BGA=∠3+∠BCA=∠3+∠BCD=∠3+∠1=∠3+∠2=∠BAG
∴BG=AB=5
25.

(1)解:由y=
3
2
33733

x3

-23
得点D坐标为(﹣3,
23

xx -
=
8488
令y=0得x
1
=﹣7,x
2
=1
∴点A坐标为(﹣7,0),点B坐标为(1,0)


(2)证明:

过点D作DG⊥y轴交于点G,设点C坐标为(0,m)
∴∠DGC=∠FOC=90°,∠DCG=∠FCO
∴△DGC∽△FOC

DGCG


FOCO
由题意得CA=CF,CD=CE,∠DCA=∠ECF,OA=1,DG=3,CG=m+
23

∵CO⊥FA
14
∴FO=OA=1

3m23

,解得m=
3
(或先设直线CD的函数解析式为y=kx+b,用D、F两点坐标求出
1m
y=
3
x+
3
,再求出点C的坐标)
∴点C坐标为(0,
3

∴CD=CE=
3
2

323

2
=6
∵tan∠CFO=
CO
=
3

FO
∴∠CFO=60°
∴△FCA是等边三角形
∴∠CFO=∠ECF
∴EC∥BA
∵BF=BO-FO=6
∴CE=BF
∴四边形BFCE是平行四边形


(3)解:①设点P坐标为(m,
3
2
3373
mm-
),且点P不与点A、B、D重合.若△PAM
848
与△DD
1
A相似,因为都是直角三角形,则必有一个锐角相等.由

(1)得AD
1
=4,DD
1
=
23

(A)当P在点A右侧时,m>1
(a)当△PAM∽△DAD
1
,则∠PAM=∠DAD
1
,此时P、A、D三点共线,这种情况不存在
(b)当△PAM∽△ADD
1
,则∠PAM=∠ADD
1
,此时
PM
AD
1


AMDD
1
15
3
2
3373
mm-
848

4
,解得m
1
=
-
5
(舍去)∴,m
2
=1(舍去),这种不存在
m-1
3
23
(B)当P在线段AB之间时,﹣7<m<1
(a)当△PAM∽△DAD
1
,则∠PAM=∠DAD
1
,此时P与D重合,这种情况不存在
PM
AD
1

(b)当△PAM∽△ADD
1
,则∠PAM=∠ADD
1
,此时
AMDD
1
3
2
3373
mm-
848

4
,解得m
1
=
-
5
,m
2
=1(舍去) ∴
m-1
3
23
(C)当P在点B左侧时,m<﹣7
PM
DD
1

(a)当△PAM∽△DAD
1
,则∠PAM=∠DAD
1
,此时
AMAD
1
3
2
3373
mm-
848

2
4
3
,解得m
1
=﹣11,m
2
=1(舍去) ∴﹣
m-1
2
4
3
PM
AD
1


AMDD
1
(b)当△PAM∽△ADD
1
,则∠PAM=∠ADD
1
,此时
3
2
3373
mm-
848

4
,解得m
1
=
-
37
,m
2
=1(舍去) ∴﹣
m-1
3
23
综上所述,点P的横坐标为
-
537
,﹣11,
-
,三个任选一个进行求解即可.
33
②一共存在三个点P,使得△PAM与△DD
1
A相似.


16
东莞市2019年中考数学试题及答案
说明:1.全卷共4页,满分为120分,考试用时为100分钟.
2.答卷前,考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考
场号、座位号.用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑.
3.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需
改动,用像皮檫干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试题上.
4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按上
要求作答的答案无效.
5.考生务必保持答题卡的整洁.考试结束时,将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正
确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.
1.﹣2的绝对值是
A.2 B.﹣2 C.
1
D.±2
2
2.某网店2019年母亲节这天的营业额为221 000元,将数221 000用科学记数法表示为
A.2.21×10 B.2.21×10 C.221×10 D.0.221×10
3.如图,由4个相同正方体组合而成的几何体,它的左视图是
65 3 6

4.下列计算正确的是
A.b÷b=b B.b·b=b C.a+a=2a D.(a)=a
1
632339222336

5.下列四个银行标志中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是

6.数据

3、

3、

5、

8、11的中位数是
A.3 B.4 C.5 D.6
7.实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列式子成立的是

A.a>b B.|a| < |b| C.a+b>0 D.
a
<0
b

2
8.化简
4
的结果是
A.﹣4 B.4 C.±4 D.2
9.已知x
1
、x
2
是一元二次方程了x﹣2x=0的两个实数根,下列结论错误的是
A.x
1
≠x
2
B.x
1
﹣2x
1
=0 C.x
1
+x
2
=2 D.x
1
·x
2
=2
10.如图,正方形ABCD的边长为4,延长CB至E使EB=2,以EB为边
在上方作正方形EFGB,延长FG交DC于M,连接AM、AF,H为
AD的中点,连接FH分别与AB、AM交于点N、K.则下列结论:
①△ANH≌△GNF;②∠AFN=∠HFG;③FN=2NK;④S
△AFN
: S
△ADM
=1 :
4.其中正确的结论有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

二、填空题(本大题6小题,每小题4分,共24分)请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的
2
2
2
位置上.
11.计算2019+(
0
1
﹣1
)=____________.
3
12.如图,已知a∥b,∠l=75°,则∠2 =________.

13.一个多边形的内角和是1080°,这个多边形的边数是_________.

14.已知x=2y+3,则代数式4x﹣8y+9的值是___________.
15.如图,某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=
153
米,在实验楼的顶部B点测得教学楼顶
部A点的仰角是30°,底部C点的俯角是45°,则教学楼AC的高度是_________________米(结
果保留根号).

16.如题16-1图所示的图形是一个轴对称图形,且每个角都是直角,长度如图所示,小明按题16-2
图所示方法玩拼图游戏,两两相扣,相互间不留空隙,那么小明用9个这样的图形(题16-1图)
拼出来的图形的总长度是_____________________(结果用含a、b代数式表示).
3

三、解答题
(一)(本大题3小题,每小题6分,共18分)
17.解不等式组:
1

x
2
-x

x
-
18.先化简,再求值:

,其中x=
2



2

x-2x-2

x-4
19.如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点.


(1)请用尺规作图法,在△ABC内,求作∠ADE.使∠ADE=∠B,DE交AC于E;(不要求写作法,保
留作图痕迹)


(2)在

(1)的条件下,若
ADAE
=2,求的值.
DBEC


四、解答题
(二)(本大题3小题,毎小题7分,共21分)
20.为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩,随机抽取了部分男生进行测试,并将测试成绩
分为A、B、C、D四个等级,绘制如下不完整的统计图表,如题20图表所示,根据图表信息解
答下列问题:
4



(1)x =________,y =_______,扇形图中表示C的圆心角的度数为_______度;


(2)甲、乙、丙是A等级中的三名学生,学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验,
用列表法或画树状图法,求同时抽到甲、乙两名学生的概率.
21.某校为了开展“阳光体育运动”,计划购买篮球、足球共60个,己知每个篮球的价格为70元,
毎个足球的价格为80元.


(1)若购买这两类球的总金额为4600元,篮球、足球各买了多少个。



(2)若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额,最多可购买多少个篮球。
22.在如图所示的网格中,每个正方形的连长为1,每个小正方形的顶点叫格点,△ABC的三个顶点
均在格点上,以点A为圆心的与BC相切于点D,分别交AB、AC于点E、F.


(1)求△ABC三边的长;


(2)求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积.

五、解答题
(三)(本大题3小题,毎小题7分,共21分)
5
23.如图,一次函数y=k
1
x+b的图象与反比例函数y=
为(﹣1,4),点B的坐标为(4,n).
k
2
的图象相交于A、B两点,其中点A的坐标
x


(1)根据函数图象,直接写出满足k
1
x+b>
k
2
的x的取值范围;
x


(2)求这两个函数的表达式;


(3)点P在线段AB上,且S
△AOP
: S
△BOP
=1 : 2,求点P的坐标.


24.如题24-1图,在△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆,过点C作∠BCD=∠ACB交⊙O于点D,
连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CF=AC,连接AF.


(1)求证:ED=EC;


(2)求证:AF是⊙O的切线;


(3)如题24-2图,若点G是△ACD的内心,BC·BE=25,求BG的长.
6

25.如题25-1图,在平面直角坐标系中,抛物线y=
3
2
3373
xx -
与x轴交于点A、B(点A在点
848
B右侧),点D为抛物线的顶点.点C在y轴的正半轴上,CD交x轴于点F,△CAD绕点C顺时针旋
转得到△CFE,点A恰好旋转到点F,连接BE.


(1)求点A、B、D的坐标;


(2)求证:四边形BFCE是平行四边形;


(3)如题25-2图,过顶点D作DD
1
⊥x 轴于点D
1
,点P是抛物线上一动点,过点P作PM⊥ x轴,
点M为垂足,使得△PAM与△DD
1
A相似(不含全等).
①求出一个满足以上条件的点P的横坐标;
②直接回答这样的点P共有几个。

....


7
参考答案
一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正
确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.
1.A 2.B 3.A 4.C 5.C 6.C 7.D 8.B 9.D 10.C
二、填空题(本大题6小题,每小题4分,共24分)请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的
位置上.
11.4 12. 105° 13. 8 14. 21 15.15+15
3
16. a+8b
三、解答题
(一)(本大题3小题,每小题6分,共18分)
17.解:由①得x>3,由②得x>1,
∴原不等式组的解集为x>3.
x-1
x
2
-x

18.解:原式=
x-2
x
2
-4
x-1

x2

x-2

×
x

x-1

x-2
=
=
x2

x
当x=
2
,原式=
22
222
==
1+
2
.

2
2
19.解:

(1)如图所示,∠ADE为所求.


(2)∵∠ADE=∠B
∴DE∥BC

AEAD
=
ECDB
8

AD
=2
DB
AE
=2
EC

四、解答题
(二)(本大题3小题,毎小题7分,共21分)
20.解:

(1)y=10÷25%=40,x=40-24-10-2=4,C的圆心角=360°×
4
=36°
40


(2)画树状图如下:

一共有6种可能结果,每种结果出现的可能性相同,其中同时抽到甲、乙的结果有2种
∴P
(甲乙)
=
21
=
6
3
1
.
3
答:同时抽到甲、乙两名学生的概率为
21.解:

(1)设购买篮球x个,则足球(60-x)个.
由题意得70x+80(60-x)=4600,解得x=20
则60-x=60-20=40.
答:篮球买了20个,足球买了40个.


(2)设购买了篮球y个.
由题意得 70y≤80(60-x),解得y≤32
答:最多可购买篮球32个.
9
2222
22.解:

(1)由题意可知,AB=
26
=
210
,AC=
26
=
210

22
BC=
48
=
45



(2)连接AD


(1)可知,AB2+AC2=BC2,AB=AC
∴∠BAC=90°,且△ABC是等腰直角三角形
∵以点A为圆心的与BC相切于点D
∴AD⊥BC
∴AD=
1
BC=
25
(或用等面积法AB·AC=BC·AD求出AD长度)
2
∵S
阴影
=S
△ABC
-S
扇形EAF
S
△ABC
=
1
×
210
×
210
=20
2
2
1
S
扇形EAF
=


25
=5π
4

∴S
阴影
=20-5π
23.解:

(1)x<-1或0<x<4


(2)∵反比例函数y=
k
2
图象过点A(﹣1,4)
x
∴4=
k
2
,解得k
2
=﹣4
-1
4

x
∴反比例函数表达式为
y-
∵反比例函数
y-
4
图象过点B(4,n)
x
10
∴n=
-
4
=﹣1,∴B(4,﹣1)
4
∵一次函数y=k
1
x+b图象过A(﹣1,4)和B(4,﹣1)



4-k
1
b

k
1
-1
,解得



b3

-14k
1
b
∴一次函数表达式为y=﹣x+3


(3)∵P在线段AB上,设P点坐标为(a,﹣a+3)
∴△AOP和△BOP的高相同
∵S
△AOP
: S
△BOP
=1 : 2
∴AP : BP=1 : 2
过点B作BC∥x轴,过点A、P分别作AM⊥BC,PN⊥BC交于点M、N

∵AM⊥BC,PN⊥BC

APMN


BPBN
∵MN=a+1,BN=4-a

a112

,解得a=
4-a23
7

3
∴-a+3=
∴点P坐标为(
27
,)
33
11
(或用两点之间的距离公式AP=

a1

2


-a3-4

2
,BP=

4-a

2


-1a-3

2
,由
AP

1
解得a
2
1
=
3
,a
2
=-6舍去)
24.

(1)证明:∵AB=AC
∴∠B==∠ACB
∵∠BCD=∠ACB
∴∠B=∠BCD
∵=
∴∠B=∠D
∴∠BCD=∠D
∴ED=EC


(2)证明:

连接AO并延长交⊙O于点G,连接CG


(1)得∠B=∠BCD
∴AB∥DF
∵AB=AC,CF=AC
∴AB=CF
∴四边形ABCF是平行四边形

BP2
12
∴∠CAF=∠ACB
∵AG为直径
∴∠ACG=90°,即∠G+∠GAC=90°
∵∠G=∠B,∠B=∠ACB
∴∠ACB+∠GAC=90°
∴∠CAF+∠GAC=90°即∠OAF=90°
∵点A在⊙O上
∴AF是⊙O的切线


(3)解:

连接AG
∵∠BCD=∠ACB,∠BCD=∠1
∴∠1=∠ACB
∵∠B=∠B
∴△ABE∽△CBA

BEAB
AB

BC

∵BC·BE=25
∴AB
2
=25
13
∴AB=5
∵点G是△ACD的内心
∴∠2=∠3
∵∠BGA=∠3+∠BCA=∠3+∠BCD=∠3+∠1=∠3+∠2=∠BAG
∴BG=AB=5
25.

(1)解:由y=
3
2
33733

x3

-23
得点D坐标为(﹣3,
23

xx -
=
8488
令y=0得x
1
=﹣7,x
2
=1
∴点A坐标为(﹣7,0),点B坐标为(1,0)


(2)证明:

过点D作DG⊥y轴交于点G,设点C坐标为(0,m)
∴∠DGC=∠FOC=90°,∠DCG=∠FCO
∴△DGC∽△FOC

DGCG


FOCO
由题意得CA=CF,CD=CE,∠DCA=∠ECF,OA=1,DG=3,CG=m+
23

∵CO⊥FA
14
∴FO=OA=1

3m23

,解得m=
3
(或先设直线CD的函数解析式为y=kx+b,用D、F两点坐标求出
1m
y=
3
x+
3
,再求出点C的坐标)
∴点C坐标为(0,
3

∴CD=CE=
3
2

323

2
=6
∵tan∠CFO=
CO
=
3

FO
∴∠CFO=60°
∴△FCA是等边三角形
∴∠CFO=∠ECF
∴EC∥BA
∵BF=BO-FO=6
∴CE=BF
∴四边形BFCE是平行四边形


(3)解:①设点P坐标为(m,
3
2
3373
mm-
),且点P不与点A、B、D重合.若△PAM
848
与△DD
1
A相似,因为都是直角三角形,则必有一个锐角相等.由

(1)得AD
1
=4,DD
1
=
23

(A)当P在点A右侧时,m>1
(a)当△PAM∽△DAD
1
,则∠PAM=∠DAD
1
,此时P、A、D三点共线,这种情况不存在
(b)当△PAM∽△ADD
1
,则∠PAM=∠ADD
1
,此时
PM
AD
1


AMDD
1
15
3
2
3373
mm-
848

4
,解得m
1
=
-
5
(舍去)∴,m
2
=1(舍去),这种不存在
m-1
3
23
(B)当P在线段AB之间时,﹣7<m<1
(a)当△PAM∽△DAD
1
,则∠PAM=∠DAD
1
,此时P与D重合,这种情况不存在
PM
AD
1

(b)当△PAM∽△ADD
1
,则∠PAM=∠ADD
1
,此时
AMDD
1
3
2
3373
mm-
848

4
,解得m
1
=
-
5
,m
2
=1(舍去) ∴
m-1
3
23
(C)当P在点B左侧时,m<﹣7
PM
DD
1

(a)当△PAM∽△DAD
1
,则∠PAM=∠DAD
1
,此时
AMAD
1
3
2
3373
mm-
848

2
4
3
,解得m
1
=﹣11,m
2
=1(舍去) ∴﹣
m-1
2
4
3
PM
AD
1


AMDD
1
(b)当△PAM∽△ADD
1
,则∠PAM=∠ADD
1
,此时
3
2
3373
mm-
848

4
,解得m
1
=
-
37
,m
2
=1(舍去) ∴﹣
m-1
3
23
综上所述,点P的横坐标为
-
537
,﹣11,
-
,三个任选一个进行求解即可.
33
②一共存在三个点P,使得△PAM与△DD
1
A相似.


16 东莞初中
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