东莞市2019年中考数学试题及答案
说明：1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为100分钟．
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考
场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑．
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需
改动，用像皮檫干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按上
要求作答的答案无效．
5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正
确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．﹣2的绝对值是
A．2 B．﹣2 C．
1
D．±2
2
2．某网店2019年母亲节这天的营业额为221 000元，将数221 000用科学记数法表示为
A．2.21×10 B．2.21×10 C．221×10 D．0.221×10
3．如图，由4个相同正方体组合而成的几何体，它的左视图是
65 3 6

4．下列计算正确的是
A．b÷b=b B．b·b=b C．a+a=2a D．(a)=a
1
632339222336

5．下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是

6．数据
3、
3、
5、
8、11的中位数是
A．3 B．4 C．5 D．6
7．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是

A．a>b B．|a| < |b| C．a+b>0 D．
a
<0
b

2
8．化简
4
的结果是
A．﹣4 B．4 C．±4 D．2
9．已知x
1
、x
2
是一元二次方程了x﹣2x=0的两个实数根，下列结论错误的是
A．x
1
≠x
2
B．x
1
﹣2x
1
=0 C．x
1
+x
2
=2 D．x
1
·x
2
=2
10．如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB=2，以EB为边
在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM、AF，H为
AD的中点，连接FH分别与AB、AM交于点N、K．则下列结论：
①△ANH≌△GNF；②∠AFN=∠HFG；③FN=2NK；④S
△AFN
: S
△ADM
=1 :
4．其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的
2
2
2
位置上．
11．计算2019+(
0
1
﹣1
)=____________．
3
12．如图，已知a∥b，∠l=75°，则∠2 =________．

13．一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是_________．

14．已知x=2y+3，则代数式4x﹣8y+9的值是___________．
15．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=
153
米，在实验楼的顶部B点测得教学楼顶
部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是_________________米（结
果保留根号）．

16．如题16-1图所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按题16-2
图所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（题16-1图）
拼出来的图形的总长度是_____________________（结果用含a、b代数式表示）．
3

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．解不等式组：
1

x
2
-x

x
-
18．先化简，再求值：

，其中x=
2
．


2

x-2x-2

x-4
19．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．

（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE．使∠ADE=∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保
留作图痕迹）

（2）在
（1）的条件下，若
ADAE
=2，求的值．
DBEC


四、解答题（二）（本大题3小题，毎小题7分，共21分）
20．为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩
分为A、B、C、D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如题20图表所示，根据图表信息解
答下列问题：
4


（1）x =________，y =_______，扇形图中表示C的圆心角的度数为_______度；

（2）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，
用列表法或画树状图法，求同时抽到甲、乙两名学生的概率．
21．某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，己知每个篮球的价格为70元，
毎个足球的价格为80元．

（1）若购买这两类球的总金额为4600元，篮球、足球各买了多少个。


（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，最多可购买多少个篮球。
22．在如图所示的网格中，每个正方形的连长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点
均在格点上，以点A为圆心的与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F．


（1）求△ABC三边的长；


（2）求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积．

五、解答题
（三）（本大题3小题，毎小题7分，共21分）
5
23．如图，一次函数y=k
1
x+b的图象与反比例函数y=
为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
k
2
的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标
x


（1）根据函数图象，直接写出满足k
1
x+b>
k
2
的x的取值范围；
x


（2）求这两个函数的表达式；


（3）点P在线段AB上，且S
△AOP
: S
△BOP
=1 : 2，求点P的坐标．


24．如题24-1图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD=∠ACB交⊙O于点D，
连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF=AC，连接AF．


（1）求证：ED=EC；


（2）求证：AF是⊙O的切线；


（3）如题24-2图，若点G是△ACD的内心，BC·BE=25，求BG的长．
6

25．如题25-1图，在平面直角坐标系中，抛物线y=
3
2
3373
xx -
与x轴交于点A、B(点A在点
848
B右侧)，点D为抛物线的顶点．点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋
转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．


（1）求点A、B、D的坐标；


（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；


（3）如题25-2图，过顶点D作DD
1
⊥x 轴于点D
1
，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥ x轴，
点M为垂足，使得△PAM与△DD
1
A相似（不含全等）．
①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；
②直接回答这样的点P共有几个。

．．．．


7
参考答案
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正
确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1.A 2.B 3.A 4.C 5.C 6.C 7.D 8.B 9.D 10.C
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的
位置上．
11.4 12. 105° 13. 8 14. 21 15.15+15
3
16. a+8b
三、解答题
（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17.解：由①得x＞3，由②得x＞1，
∴原不等式组的解集为x＞3.
x-1
x
2
-x

18.解：原式=
x-2
x
2
-4
x-1

x2

x-2

×
x

x-1

x-2
=
=
x2

x
当x=
2
，原式=
22
222
==
1+
2
.

2
2
19.解：

（1）如图所示，∠ADE为所求.


（2）∵∠ADE=∠B
∴DE∥BC
∴
AEAD
=
ECDB
8
∵
AD
=2
DB
AE
=2
EC
∴
四、解答题
（二）（本大题3小题，毎小题7分，共21分）
20.解：

（1）y=10÷25%=40，x=40-24-10-2=4，C的圆心角=360°×
4
=36°
40


（2）画树状图如下：

一共有6种可能结果，每种结果出现的可能性相同，其中同时抽到甲、乙的结果有2种
∴P
（甲乙）
=
21
=
6
3
1
.
3
答：同时抽到甲、乙两名学生的概率为
21.解：

（1）设购买篮球x个，则足球（60-x）个.
由题意得70x+80（60-x）=4600，解得x=20
则60-x=60-20=40.
答：篮球买了20个，足球买了40个.


（2）设购买了篮球y个.
由题意得 70y≤80（60-x），解得y≤32
答：最多可购买篮球32个.
9
2222
22.解：

（1）由题意可知，AB=
26
=
210
，AC=
26
=
210
，
22
BC=
48
=
45



（2）连接AD
由

（1）可知，AB2+AC2=BC2，AB=AC
∴∠BAC=90°，且△ABC是等腰直角三角形
∵以点A为圆心的与BC相切于点D
∴AD⊥BC
∴AD=
1
BC=
25
（或用等面积法AB·AC=BC·AD求出AD长度）
2
∵S
阴影
=S
△ABC
－S
扇形EAF
S
△ABC
=
1
×
210
×
210
=20
2
2
1
S
扇形EAF
=


25
=5π
4

∴S
阴影
=20－5π
23.解：

（1）x＜-1或0＜x＜4


（2）∵反比例函数y=
k
2
图象过点A（﹣1，4）
x
∴4=
k
2
，解得k
2
=﹣4
-1
4

x
∴反比例函数表达式为
y-
∵反比例函数
y-
4
图象过点B（4，n）
x
10
∴n=
-
4
=﹣1，∴B（4，﹣1）
4
∵一次函数y=k
1
x+b图象过A（﹣1，4）和B（4，﹣1）
∴


4-k
1
b

k
1
-1
，解得



b3

-14k
1
b
∴一次函数表达式为y=﹣x+3


（3）∵P在线段AB上，设P点坐标为（a，﹣a+3）
∴△AOP和△BOP的高相同
∵S
△AOP
: S
△BOP
=1 : 2
∴AP : BP=1 : 2
过点B作BC∥x轴，过点A、P分别作AM⊥BC，PN⊥BC交于点M、N

∵AM⊥BC，PN⊥BC
∴
APMN


BPBN
∵MN=a+1，BN=4-a
∴
a112

，解得a=
4-a23
7

3
∴-a+3=
∴点P坐标为（
27
，）
33
11
（或用两点之间的距离公式AP=

a1

2


-a3-4

2
，BP=

4-a

2


-1a-3

2
，由
AP

1
解得a
2
1
=
3
，a
2
=-6舍去）
24.

（1）证明：∵AB=AC
∴∠B==∠ACB
∵∠BCD=∠ACB
∴∠B=∠BCD
∵=
∴∠B=∠D
∴∠BCD=∠D
∴ED=EC


（2）证明：

连接AO并延长交⊙O于点G，连接CG
由

（1）得∠B=∠BCD
∴AB∥DF
∵AB=AC，CF=AC
∴AB=CF
∴四边形ABCF是平行四边形

BP2
12
∴∠CAF=∠ACB
∵AG为直径
∴∠ACG=90°，即∠G+∠GAC=90°
∵∠G=∠B，∠B=∠ACB
∴∠ACB+∠GAC=90°
∴∠CAF+∠GAC=90°即∠OAF=90°
∵点A在⊙O上
∴AF是⊙O的切线


（3）解：

连接AG
∵∠BCD=∠ACB，∠BCD=∠1
∴∠1=∠ACB
∵∠B=∠B
∴△ABE∽△CBA
∴
BEAB
AB

BC

∵BC·BE=25
∴AB
2
=25
13
∴AB=5
∵点G是△ACD的内心
∴∠2=∠3
∵∠BGA=∠3+∠BCA=∠3+∠BCD=∠3+∠1=∠3+∠2=∠BAG
∴BG=AB=5
25.

（1）解：由y=
3
2
33733

x3

-23
得点D坐标为（﹣3，
23
）
xx -
=
8488
令y=0得x
1
=﹣7，x
2
=1
∴点A坐标为（﹣7，0），点B坐标为（1，0）


（2）证明：

过点D作DG⊥y轴交于点G，设点C坐标为（0，m）
∴∠DGC=∠FOC=90°，∠DCG=∠FCO
∴△DGC∽△FOC
∴
DGCG


FOCO
由题意得CA=CF，CD=CE，∠DCA=∠ECF，OA=1，DG=3，CG=m+
23

∵CO⊥FA
14
∴FO=OA=1
∴
3m23

，解得m=
3
（或先设直线CD的函数解析式为y=kx+b，用D、F两点坐标求出
1m
y=
3
x+
3
，再求出点C的坐标）
∴点C坐标为（0，
3
）
∴CD=CE=
3
2

323

2
=6
∵tan∠CFO=
CO
=
3

FO
∴∠CFO=60°
∴△FCA是等边三角形
∴∠CFO=∠ECF
∴EC∥BA
∵BF=BO－FO=6
∴CE=BF
∴四边形BFCE是平行四边形


（3）解：①设点P坐标为（m，
3
2
3373
mm-
），且点P不与点A、B、D重合．若△PAM
848
与△DD
1
A相似，因为都是直角三角形，则必有一个锐角相等．由

（1）得AD
1
=4，DD
1
=
23

（A）当P在点A右侧时，m＞1
（a）当△PAM∽△DAD
1
，则∠PAM=∠DAD
1
，此时P、A、D三点共线，这种情况不存在
（b）当△PAM∽△ADD
1
，则∠PAM=∠ADD
1
，此时
PM
AD
1


AMDD
1
15
3
2
3373
mm-
848

4
，解得m
1
=
-
5
（舍去）∴，m
2
=1（舍去），这种不存在
m-1
3
23
（B）当P在线段AB之间时，﹣7＜m＜1
（a）当△PAM∽△DAD
1
，则∠PAM=∠DAD
1
，此时P与D重合，这种情况不存在
PM
AD
1

（b）当△PAM∽△ADD
1
，则∠PAM=∠ADD
1
，此时
AMDD
1
3
2
3373
mm-
848

4
，解得m
1
=
-
5
，m
2
=1（舍去） ∴
m-1
3
23
（C）当P在点B左侧时，m＜﹣7
PM
DD
1

（a）当△PAM∽△DAD
1
，则∠PAM=∠DAD
1
，此时
AMAD
1
3
2
3373
mm-
848

2
4
3
，解得m
1
=﹣11，m
2
=1（舍去） ∴﹣
m-1
2
4
3
PM
AD
1


AMDD
1
（b）当△PAM∽△ADD
1
，则∠PAM=∠ADD
1
，此时
3
2
3373
mm-
848

4
，解得m
1
=
-
37
，m
2
=1（舍去） ∴﹣
m-1
3
23
综上所述，点P的横坐标为
-
537
，﹣11，
-
，三个任选一个进行求解即可．
33
②一共存在三个点P，使得△PAM与△DD
1
A相似．


16
东莞市2019年中考数学试题及答案
说明：1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为100分钟．
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考
场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑．
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需
改动，用像皮檫干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按上
要求作答的答案无效．
5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正
确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．﹣2的绝对值是
A．2 B．﹣2 C．
1
D．±2
2
2．某网店2019年母亲节这天的营业额为221 000元，将数221 000用科学记数法表示为
A．2.21×10 B．2.21×10 C．221×10 D．0.221×10
3．如图，由4个相同正方体组合而成的几何体，它的左视图是
65 3 6

4．下列计算正确的是
A．b÷b=b B．b·b=b C．a+a=2a D．(a)=a
1
632339222336

5．下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是

6．数据

3、

3、

5、

8、11的中位数是
A．3 B．4 C．5 D．6
7．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是

A．a>b B．|a| < |b| C．a+b>0 D．
a
<0
b

2
8．化简
4
的结果是
A．﹣4 B．4 C．±4 D．2
9．已知x
1
、x
2
是一元二次方程了x﹣2x=0的两个实数根，下列结论错误的是
A．x
1
≠x
2
B．x
1
﹣2x
1
=0 C．x
1
+x
2
=2 D．x
1
·x
2
=2
10．如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB=2，以EB为边
在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM、AF，H为
AD的中点，连接FH分别与AB、AM交于点N、K．则下列结论：
①△ANH≌△GNF；②∠AFN=∠HFG；③FN=2NK；④S
△AFN
: S
△ADM
=1 :
4．其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的
2
2
2
位置上．
11．计算2019+(
0
1
﹣1
)=____________．
3
12．如图，已知a∥b，∠l=75°，则∠2 =________．

13．一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是_________．

14．已知x=2y+3，则代数式4x﹣8y+9的值是___________．
15．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=
153
米，在实验楼的顶部B点测得教学楼顶
部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是_________________米（结
果保留根号）．

16．如题16-1图所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按题16-2
图所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（题16-1图）
拼出来的图形的总长度是_____________________（结果用含a、b代数式表示）．
3

三、解答题
（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．解不等式组：
1

x
2
-x

x
-
18．先化简，再求值：

，其中x=
2
．


2

x-2x-2

x-4
19．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．


（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE．使∠ADE=∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保
留作图痕迹）


（2）在

（1）的条件下，若
ADAE
=2，求的值．
DBEC


四、解答题
（二）（本大题3小题，毎小题7分，共21分）
20．为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩
分为A、B、C、D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如题20图表所示，根据图表信息解
答下列问题：
4



（1）x =________，y =_______，扇形图中表示C的圆心角的度数为_______度；


（2）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，
用列表法或画树状图法，求同时抽到甲、乙两名学生的概率．
21．某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，己知每个篮球的价格为70元，
毎个足球的价格为80元．


（1）若购买这两类球的总金额为4600元，篮球、足球各买了多少个。


（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，最多可购买多少个篮球。
22．在如图所示的网格中，每个正方形的连长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点
均在格点上，以点A为圆心的与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F．


（1）求△ABC三边的长；


（2）求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积．

五、解答题
（三）（本大题3小题，毎小题7分，共21分）
5
23．如图，一次函数y=k
1
x+b的图象与反比例函数y=
为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
k
2
的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标
x


（1）根据函数图象，直接写出满足k
1
x+b>
k
2
的x的取值范围；
x


（2）求这两个函数的表达式；


（3）点P在线段AB上，且S
△AOP
: S
△BOP
=1 : 2，求点P的坐标．


24．如题24-1图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD=∠ACB交⊙O于点D，
连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF=AC，连接AF．


（1）求证：ED=EC；


（2）求证：AF是⊙O的切线；


（3）如题24-2图，若点G是△ACD的内心，BC·BE=25，求BG的长．
6

25．如题25-1图，在平面直角坐标系中，抛物线y=
3
2
3373
xx -
与x轴交于点A、B(点A在点
848
B右侧)，点D为抛物线的顶点．点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋
转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．


（1）求点A、B、D的坐标；


（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；


（3）如题25-2图，过顶点D作DD
1
⊥x 轴于点D
1
，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥ x轴，
点M为垂足，使得△PAM与△DD
1
A相似（不含全等）．
①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；
②直接回答这样的点P共有几个。
．．．．


7
参考答案
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正
确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1.A 2.B 3.A 4.C 5.C 6.C 7.D 8.B 9.D 10.C
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的
位置上．
11.4 12. 105° 13. 8 14. 21 15.15+15
3
16. a+8b
三、解答题
（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17.解：由①得x＞3，由②得x＞1，
∴原不等式组的解集为x＞3.
x-1
x
2
-x

18.解：原式=
x-2
x
2
-4
x-1

x2

x-2

×
x

x-1

x-2
=
=
x2

x
当x=
2
，原式=
22
222
==
1+
2
.

2
2
19.解：

（1）如图所示，∠ADE为所求.


（2）∵∠ADE=∠B
∴DE∥BC
∴
AEAD
=
ECDB
8
∵
AD
=2
DB
AE
=2
EC
∴
四、解答题
（二）（本大题3小题，毎小题7分，共21分）
20.解：

（1）y=10÷25%=40，x=40-24-10-2=4，C的圆心角=360°×
4
=36°
40


（2）画树状图如下：

一共有6种可能结果，每种结果出现的可能性相同，其中同时抽到甲、乙的结果有2种
∴P
（甲乙）
=
21
=
6
3
1
.
3
答：同时抽到甲、乙两名学生的概率为
21.解：

（1）设购买篮球x个，则足球（60-x）个.
由题意得70x+80（60-x）=4600，解得x=20
则60-x=60-20=40.
答：篮球买了20个，足球买了40个.


（2）设购买了篮球y个.
由题意得 70y≤80（60-x），解得y≤32
答：最多可购买篮球32个.
9
2222
22.解：

（1）由题意可知，AB=
26
=
210
，AC=
26
=
210
，
22
BC=
48
=
45



（2）连接AD
由

（1）可知，AB2+AC2=BC2，AB=AC
∴∠BAC=90°，且△ABC是等腰直角三角形
∵以点A为圆心的与BC相切于点D
∴AD⊥BC
∴AD=
1
BC=
25
（或用等面积法AB·AC=BC·AD求出AD长度）
2
∵S
阴影
=S
△ABC
－S
扇形EAF
S
△ABC
=
1
×
210
×
210
=20
2
2
1
S
扇形EAF
=


25
=5π
4

∴S
阴影
=20－5π
23.解：

（1）x＜-1或0＜x＜4


（2）∵反比例函数y=
k
2
图象过点A（﹣1，4）
x
∴4=
k
2
，解得k
2
=﹣4
-1
4

x
∴反比例函数表达式为
y-
∵反比例函数
y-
4
图象过点B（4，n）
x
10
∴n=
-
4
=﹣1，∴B（4，﹣1）
4
∵一次函数y=k
1
x+b图象过A（﹣1，4）和B（4，﹣1）
∴


4-k
1
b

k
1
-1
，解得



b3

-14k
1
b
∴一次函数表达式为y=﹣x+3


（3）∵P在线段AB上，设P点坐标为（a，﹣a+3）
∴△AOP和△BOP的高相同
∵S
△AOP
: S
△BOP
=1 : 2
∴AP : BP=1 : 2
过点B作BC∥x轴，过点A、P分别作AM⊥BC，PN⊥BC交于点M、N

∵AM⊥BC，PN⊥BC
∴
APMN


BPBN
∵MN=a+1，BN=4-a
∴
a112

，解得a=
4-a23
7

3
∴-a+3=
∴点P坐标为（
27
，）
33
11
（或用两点之间的距离公式AP=

a1

2


-a3-4

2
，BP=

4-a

2


-1a-3

2
，由
AP

1
解得a
2
1
=
3
，a
2
=-6舍去）
24.

（1）证明：∵AB=AC
∴∠B==∠ACB
∵∠BCD=∠ACB
∴∠B=∠BCD
∵=
∴∠B=∠D
∴∠BCD=∠D
∴ED=EC


（2）证明：

连接AO并延长交⊙O于点G，连接CG
由

（1）得∠B=∠BCD
∴AB∥DF
∵AB=AC，CF=AC
∴AB=CF
∴四边形ABCF是平行四边形

BP2
12
∴∠CAF=∠ACB
∵AG为直径
∴∠ACG=90°，即∠G+∠GAC=90°
∵∠G=∠B，∠B=∠ACB
∴∠ACB+∠GAC=90°
∴∠CAF+∠GAC=90°即∠OAF=90°
∵点A在⊙O上
∴AF是⊙O的切线


（3）解：

连接AG
∵∠BCD=∠ACB，∠BCD=∠1
∴∠1=∠ACB
∵∠B=∠B
∴△ABE∽△CBA
∴
BEAB
AB

BC

∵BC·BE=25
∴AB
2
=25
13
∴AB=5
∵点G是△ACD的内心
∴∠2=∠3
∵∠BGA=∠3+∠BCA=∠3+∠BCD=∠3+∠1=∠3+∠2=∠BAG
∴BG=AB=5
25.

（1）解：由y=
3
2
33733

x3

-23
得点D坐标为（﹣3，
23
）
xx -
=
8488
令y=0得x
1
=﹣7，x
2
=1
∴点A坐标为（﹣7，0），点B坐标为（1，0）


（2）证明：

过点D作DG⊥y轴交于点G，设点C坐标为（0，m）
∴∠DGC=∠FOC=90°，∠DCG=∠FCO
∴△DGC∽△FOC
∴
DGCG


FOCO
由题意得CA=CF，CD=CE，∠DCA=∠ECF，OA=1，DG=3，CG=m+
23

∵CO⊥FA
14
∴FO=OA=1
∴
3m23

，解得m=
3
（或先设直线CD的函数解析式为y=kx+b，用D、F两点坐标求出
1m
y=
3
x+
3
，再求出点C的坐标）
∴点C坐标为（0，
3
）
∴CD=CE=
3
2

323

2
=6
∵tan∠CFO=
CO
=
3

FO
∴∠CFO=60°
∴△FCA是等边三角形
∴∠CFO=∠ECF
∴EC∥BA
∵BF=BO－FO=6
∴CE=BF
∴四边形BFCE是平行四边形


（3）解：①设点P坐标为（m，
3
2
3373
mm-
），且点P不与点A、B、D重合．若△PAM
848
与△DD
1
A相似，因为都是直角三角形，则必有一个锐角相等．由

（1）得AD
1
=4，DD
1
=
23

（A）当P在点A右侧时，m＞1
（a）当△PAM∽△DAD
1
，则∠PAM=∠DAD
1
，此时P、A、D三点共线，这种情况不存在
（b）当△PAM∽△ADD
1
，则∠PAM=∠ADD
1
，此时
PM
AD
1


AMDD
1
15
3
2
3373
mm-
848

4
，解得m
1
=
-
5
（舍去）∴，m
2
=1（舍去），这种不存在
m-1
3
23
（B）当P在线段AB之间时，﹣7＜m＜1
（a）当△PAM∽△DAD
1
，则∠PAM=∠DAD
1
，此时P与D重合，这种情况不存在
PM
AD
1

（b）当△PAM∽△ADD
1
，则∠PAM=∠ADD
1
，此时
AMDD
1
3
2
3373
mm-
848

4
，解得m
1
=
-
5
，m
2
=1（舍去） ∴
m-1
3
23
（C）当P在点B左侧时，m＜﹣7
PM
DD
1

（a）当△PAM∽△DAD
1
，则∠PAM=∠DAD
1
，此时
AMAD
1
3
2
3373
mm-
848

2
4
3
，解得m
1
=﹣11，m
2
=1（舍去） ∴﹣
m-1
2
4
3
PM
AD
1


AMDD
1
（b）当△PAM∽△ADD
1
，则∠PAM=∠ADD
1
，此时
3
2
3373
mm-
848

4
，解得m
1
=
-
37
，m
2
=1（舍去） ∴﹣
m-1
3
23
综上所述，点P的横坐标为
-
537
，﹣11，
-
，三个任选一个进行求解即可．
33
②一共存在三个点P，使得△PAM与△DD
1
A相似．


16 东莞初中。

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