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充分条件与必要条件
课程目标
知识点
充分条件与必要条件
考试要求
C
具体要求
理解必要条件、充分条件与充要条
件的意义 .
考察频率
常考
知识提要
充分条件与必要条件
充分条件与必要条件
一般地,“若 ,则 ”为真命题,是指由 通过推理可以得出 ,同时也称由 可以推出
,记作 ,并且说 是 的充分条件(sufficient condition), 是 的必要条件
(necessary condition).
充要条件
一般地,如果既有 ,又有 ,就记作 .此时, 是 的充分必要条件
(sufficient and necessary condition),简称充要条件.如果 是 的充要条件,那么 也
是 的充要条件,概括地说,如果 ,那么 与 互为充要条件.
精选例题
充分条件与必要条件
1. 下面有四个关于充要条件的命题:
①若 ,则 是 的充要条件;
②函数
为偶函数的充要条件是 ;
③ 是
的充要条件;
④若 ,则 是
的充要条件;
其中真命题的序号是
.
【答案】 ①②③
【分析】 由子集的定义知,①为真命题.当 时,
显然为偶函
数,
反之,
是偶函数,则
恒成立,就有
恒成立,得 ,因此②为真命题,
当 时,
成立,反之,当
时, ,所以③为真命题,
对于④,由于
,即 或 ,故 是
的充分不必要条件,所
以④为假命题.
2. 是直线
和直线 垂直的 条件.
【答案】 充分不必要
3. 已知命题: ,命题:
,则 是 的 条件.(选填“充分、“不必
要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)
【答案】 必要不充分
4. “ 或 ”为真命题是“ 且 ”为真命题的 条件.
【答案】 必要不充分
5. 设命题 实数 满足
,其中 ;命题 实数 满足
.若 是 的必要不充分条件,则实数 的取值范围是 .
【答案】
6. 已知甲: ,乙: 且 ,则甲是乙的 条件.
【答案】 既不充分也不必要
【分析】 当 时,可选取 , ,此时 且 不成立.
当 且 时,可选取 , ,此时 ,故 不成立.
因此,甲是乙的既不充分也不必要条件.
7. 设 :
, :
,若 是 的充分不必要条件,则实数
的取值范围是 .
【答案】
8. “ 或 ”是“ ”的
条件.(从“充分”,“充分不必要”,“必要不充
分”,“既不充分也不必要”中选择一个正确的填写)
【答案】 必要但非充分条件
9. 函数
的图象关于直线 对称的充要条件是 .
【答案】
【分析】 因为
的对称轴为直线
,
所以
的图象关于直线 对称
.
10. 在整数集 中,被 除所得余数为 的所有整数组成一个“类”,记为
,即
, .给出如下四个结论:①
;②
;③
;④“整数 , 属于同一‘类‘”的充要条件是“
”.其中,正
确结论的序号是 .
【答案】 ①③④
11. 是 的 条件.
【答案】 充分不必要
12. 设
,一元二次方程
有整数根的充要条件是 .
【答案】 或
【分析】 先利用求根公式求出方程的根,再对根进行分析即可.
【解】
,因为 是整数,即
为整数,所以
为
整数,且 .取 验证,可知 符合题意;反之, 时,可推出
一元二次方程
有整数根.
13. 关于 的一元二次不等式
的解集只有一个元素的充要条件是 .
【答案】
14. 已知 且 ,数列
的前 项和
,那么
是等比数列的充要条
件是 .
【答案】
15. 用充分、必要有关的词语填空:
(1) ,且 是 的 条件;
(2)
,或 是 的 条件.
【答案】
(1)既不充分也不必要;
(2)必要
【分析】
(1)若 ,且 ,而 .
(2) ,或 不能推出 的反例为:若 ,且 .
,或 的证明,
可以通过证明其逆否命题 ,且 来实现.
16. “ ”是“ ”的 条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充
要”或“既不充分也不必要”).
【答案】 必要不充分
17. 已知
, ,若 是 的充分不必要条件,则实数 的取
值范围是 .
【答案】
18. “ ”是“
”的 (填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必
要”)条件.
【答案】 充分不必要
19. , 是一次函数
的图象交 轴于负半轴,交 轴于正半轴
的 条件.
【答案】 充要
20. 设 ,则“ ”是“
”的
条件.(填充分不必要、必要不
充分、充要条件、既不充分也不必要)
【答案】 充分不必要
21. 指出下列各组命题中 是 的什么条件.(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分
也不必要”中选一种作答)
(1)在 中, , .
【解】 在 中,由正弦定理可知
,
所以 .
又由 知, ,
故 是 的充要条件.
(2)对于实数 , , 且 , .
【解】 命题“若 且 ,则 ”是真命题,故 .
命题“若 ,则 且 ”是假命题,故 不能退出 .
所以 是 的充分不必要条件.
(3)在 中, , .
【解】 取
,
,则 不能推导出 .
取
,
,则 不能推导出 .
所以 是 的既不充分也不必要条件.
(4)已知 , ,
,
.
【解】 由
,可得 且 ;
由
,可得 或 .
所以 ,而 ,
所以 是 的充分不必要条件.
22. 已知
,
,且 是 的必要条件,求
实数 的取值范围.
【解】
,
.
因为 是 的必要条件,即当 时有 ,
所以 .
所以 ,得 .
23. 已知 : , :
,若 是 的充分而不必要条件,
求实数 的取值范围.
【解】 由题意知 : ,
所以 .
所以 : 或 .
由题意知 : ,
所以 : 或 .
因为 是 的充分而不必要条件,
所以 或
所以 或 .
经检验, , 均满足题意,
所以 的取值范围为
.
(1)是否存在实数 ,使 是
的充分条件。
【解】 欲使 是
的充分条件,
则只要
或 ,
则只要
,即 ,
故存在实数 ,使 是
的充分条件.
(2)是否存在实数 ,使 是
的必要条件。
【解】 欲使 是
的必要条件,
则只要
或 ,
但这是不可能的,
故不存在实数 ,使 是
的必要条件.
25. 若
, 是增函数,求证:
成立的充要条件是
.
【解】 先证充分性.
这只要证明,若 ,则
.
因为 ,所以 , ,
由
是增函数可得
,
.
因此
.
充分性成立.
再证必要性.
这只要证明,若
,则 .
用反证法,假设 ,则 , ,
由
是增函数可得
,
,
因此
.
但这与
矛盾,故 不成立.
从而 .
必要性成立.
26. 求直线
和
的交点在第一象限的充要
条件.
【解】 易得
,
的交点坐标为
.
由
得 .
故直线
与
交点在第一象限的充要条件为 .
27. 已知 | | ,
,若 是 的充分不必要条件,
求 的取值范围.
【解】
, 或 ,
记 或 .
, 或 ,
记 或 .
因为 ,
所以 ,
所以
所以 .
28. 已知
,
,若 是 的充分而不必
要条件,求实数 的取值范围.
【解】 设
,
.
由已知: 是 的充分而不必要条件 是 的充分不必要条件
即
综上: 的取值范围是 .
29. 已知
,
,且 是 的必要条件,
求实数 的取值范围.
【解】
,
.
由 是 的必要条件知 .
解得 ,即实数 的取值范围是
.
30. 已知
,
,且 是 的必要条
件,求实数 的取值范围.
【解】 因为
,
,
又因为 是 的必要条件,
所以 ,即 ,
所以
即 .
31. 是否存在实数 ,使得“ ”是“
”的充分条件,若存在求出 的范
围.
【解】 由
的解是 或 ;
由 得 ,要使 时, 或 成立,应满足
,即
,
时,
,
是
的充分条件.
根的充要条件为
.
【解】 充分性:
时,
方程
,即为
,两根为
,
;
而方程
,即
,两根为
,
.
所以两个方程有公共根 .
必要性:
设两个方程的公共根为 ,则
且
两式相加,得
或
但 时, ,显然不符合题意,故 .
将 代入方程,化简可得
.
综上可知
是两个方程有公共根的充要条件.
33. 举例说明:
(1) 是 的充分不必要条件;
【解】 , ;
(2) 是 的必要不充分条件;
【解】 , ;
(3) 是 的充要条件;
【解】
,
;
(4) 是 的既不充分又不必要条件.
【解】 ,
.
32. 设 , , 为 的三边,求证:方程
与
有公共
34. 已知
( ),
,若 是 的必要而不充分条
件,求实数 的取值范围.
【解】 由
,得 ( ).
所以 或 ;
由
,得 ,
所以 或 .
由 是 的必要而不充分条件,知:
因为等号不可能同时取到,故
.
35. 设 :实数 满足
,其中 ; :实数 满足
或
,且 是 的必要不充分条件.求实数 的取值范围.
【解】 设
,
或
或
或
因为 是 的必要不充分条件,
所以 且 .
对应的集合为
, 对应的集合为 或 ,
所以
或 .
所以 或 即
或 .
所以 的取值范围是
.
,
36. 已知集合
,命题
,命题 ,并且命题 是命题 的充分条件,求实数 的取值范围.
【解】 对于 ,令
,因为
,所以
,
因为
,所以
,
所以
,
或
,
因为 是 的充分条件,所以 ,所以
或
,
解得
或
或 .
37. 设 实数 满足
,其中 , 实数 满足
,且
是 的必要不充分条件,求 的取值范围.
【解】 当 时,
,解得命题 ,
故 或 ;
又
,解得命题 或 ,
故 ,
又因为 是 的必要不充分条件,
所以
或 ,
所以 为所求.
38. 已知
;
.若 是 的必要不充分条件,求实数
的取值范围.
【解】 易知 : 或 .
由 是 的必要不充分条件,得 , .
当 时,显然有 , .
当 时, : 或 .
若 ,则
解得 ,这时显然有 .
当 时, : 或 .
若 ,则
解得 ,这时显然有 .
综上,当 时, 是 的必要不充分条件.
39. 已知 ,求证: 的充要条件是
.
【解】 先证必要性成立:
因为 ,即 ,
所以
再证充分性成立:
因为
,即
,
所以
.
由 ,即 且 ,
所以
.
所以只有 ,即有 .
综上,可知当 时, 的充要条件是
.
40. 已知命题 :
, :
,若命题 是命题 成立的必要不充分条件,求
实数 的取值范围.
【解】 , :
,命题 是命题 成立的必要不充分条件,所以
,
解得 .
课后练习
1. 用“充分不必要条件”,“必要不充分条件”或“充要条件’’填空.
设 , ,已知命题 ;命题
“ ”是“
”的 .
“ ”是“函数
在区间
上为增函数”的 .
设
,
是定义在 上的函数,
,则“
,
均为偶函数”
是“
为偶函数”的 .
2. “
”是“ ”成立的 条件.(从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”
中选择一个正确的填写)
3. “ ”是“ 与 是对顶角”的 条件.
4. 用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”填空.
(1)设 ,已知命题 ;命题
(2)“ ”是“
”的 ;
(3)设
是公比为 的等比数列,则“ ”是“
为递增数列”的 .
5. 下列各小题中, 是 的充要条件的序号是 .
① : ,或 , :
有两个不同的零点;
② :
, :
是偶函数;
③ : , : ;
为非零向量, :
, :函数
④ ,
为一次函数.
6. 已知 或 ;
.若 是 的充分不必要条件,则实数 的
取值范围是 .
,则 是 的 .
,则 是 的 ;
7. 已知条件 ,条件
,则非 是非 的 条件.
8. 已知命题
,命题 ,若 是 的充分不必要条件,则实数 的取
值范围为 .
9. “
且
”是“
”( , , , 为实数)的 条件.
10. 设集合
,
,那么 是
的 条件.
11. 函数
,则“
”是“函数
为奇函数”的 条件
(用“充分不必要”,“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写).
12. 已知集合
,
,若 成立的一
个充分不必要的条件是 ,则实数 的取值范围是 .
13. “ ”是“函数
的最小正周期为 ”的 (用“充分不必要”“必
要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”填空)条件.
14. “
”是“一元二次方程
有实数解”的 条件.
15. 是 的 .
16. 已知命题 :实数 满足
,命题 :实数 满足
,则
是 的 条件.
17. 设
,
,
,
,
,
均为非零实数,不等式
和
的解集为 和 ,那么 是
是 的 条件.
18. 已知 ,则 是
的 条件.
19. 命题
;命题
, 是
的 条件.
20. 设 , 是整数,则“ , 均为偶数”是“ 是偶数”的 条件.
21. 已知 , , , ,试判断 是 的什么条件.
22. 已知
,
,若 是 的充分条件,求 的
取值范围.
23. 已知函数
和点
,
,求证:
的图象与线段 有两个不同交点的充要条件.
24. 设 ,求证:
成立的充要条件是 .
25. 已知
,
,则 是 的什么条件。
26. 证明:关于 的方程
有实根 的充要条件是 .
是函数
27. 指出下列各小题中, 是 成立的什么条件。
(1)
, ;
(2)
, ;
(3)
, :直线
与
垂直;
(4) 或 , .
28. 求证:关于 的方程
有一根为 的充要条件是 .
29. 求关于 的方程
至少有一个负实根的充要条件.
30. 已知命题
;
,若 是 的必要非充分条
件,求实数 的取值范围.
31. 指出下列各题中 是 的什么条件:
(1)
, ;
(2) 四边形的对角线相等, 四边形是平行四边形;
(3)
,
;
(4)在 中, , .
32. 已知
,
.若 是 的必要不充分
条件,求实数 的取值范围.
33. 已知 关于 的不等式
( ),
,若 是 的必要不
充分条件,求实数 的取值范围.
34. 已知命题
,
,若非 是 的充分不必要条件,
求 的取值范围.
35. 已知集合
,集合
.
命题 ;命题 . 是 的充分条件,求实数 的取值范围.
36. 若 , ,判断下面命题的真假.
(1)
是
成立的必要条件;
(2)
是
的必要条件,也是
的必要条件.
37. 求关于 的实系数方程
有一个大于 和一个小于 的根的充要条
件.
38. 设 是关于方程
的两个实根,试分析 且 是两实根 均
大于 的什么条件。
39. 已知集合 或
.
(1)求
的充要条件;
(2)求实数 的一个值,使它成为
的一个充分但不必要条件.
40. 对下列问题进行解答:
(1) 是
的什么条件。
(2)
是 , 的什么条件。
(3) 是
( , ,
)的什么条件。
(4) 是
的什么条件。
(5) 是 , 的什么条件。
充分条件与必要条件-出门考
姓名 成绩
1. “ 且 ”是“ ”成立的 条件.(填充分不必要,必要不充分,充要
条件或既不充分也不必要)
2. “ ”是“关于 的一元二次方程
有实数解”的 条件(填“充分不
必要、必要不充分、充要”).
3. 设
,则对任意实数 , ,“ ”是“
”
的 条件.
4. 若 ,则
是 的 条件.
共线是向量
与向量
共线的 条件. 5. 向量 ,
6. 已知 ,则 与
同时成立的充要条件是 .
7. 已知 :与整数的差为 的数; :整数的 ,则 是 的 条件.
8. 已知不等式
成立的充分不必要条件是
,则实数 的取值范围
是 .
9.
是方程
的两实数根;
,则 是
的 条件.
为非零向量,
是函数
10. ,
为一次函数
的 条件.(填充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分也不必要
中的一个)
11. 下面四个条件中,选择正确序号填空,① ;② ;③
;④
.
12. 从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中,选出
适当的一种填空:
(1)“ ”是“函数
为偶函数”的 ;
(2)“ ”是“ ”的 ;
(3)“ ”是“
”的 ;
(4)“ ”是“ ”的 .
13. ,且 的充要条件是 ,且 .
14. 甲:
,乙:
,则甲是乙的 条件.
15. 设 :
; :
,则非 是非 的 条件.
16. 是 的 条件
17. 设
, 关于 的方程
有实根,则 是
的 条件.
18. 对于实数 , , 是 或 的 .
,条件 : ,如果条件 是条件 的充分不必要条件,
19. 已知:条件 :
则实数 的取值范围是 .
20. “
”是“ , , 成等比数列”的 条件.
21. 设命题 :实数 满足
,其中 ;命题 :实数 满足
,且 是 的必要不充分条件,求实数 的取值范围.
22. 已知 ,
,且 是 的充分条件,求实数 的取
值范围.
23. 设 是方程
的两个实根,试分析 是两根 均大于 的什
么条件。
24. 已知 , ;命题 关于 的方程
有两个小
于 的正根.试分析 是 的什么条件.
25. 已知关于 的一元二次方程( ):
①
;
②
.
求方程①和②都有整数解的充要条件.
26. 指出下列命题中, 是 的什么条件.(在“充分不必要条件”、‘‘必要不充分条件”、“充要
条件”、“既不充分又不必要条件”中选出一种)
(1) ,
;
(2) :两直线平行, :内错角相等;
(3) ,
;
(4) :四边形的四条边相等, :四边形是正方形.
27. 指出下列各组命题中 是 的什么条件。
(1) 为有理数, 为实数.
(2)
, .
(3) 内错角相等 , 两直线平行.
(4) 四边相等 , 四边形为正方形.
(5) , .
(6) 、 都不为零 , 、 不都为零.
28. 设命题 实数 满足
,( );命题 实数 满足
.
(1)若 ,且 为真,求实数 的取值范围;
(2)若 是 成立的充分不必要条件,求实数 的取值范围.
29. 已知命题 :实数 满足:方程
表示双曲线;命题 :实数 满
足方程
表示焦点在 轴上的椭圆,且 是 的必要不充分条件,求实数
的取值范围.
30. 试问
是方程
有两个同号且不等实根的什么条件。
31. 若
,
, ,
,
为常数,且
(1)求
对所有实数 成立的充要条件(用
,
表示);
(2)设 , 为两实数, ,且
,若
,求证:函数
在区间
上的单调增区间的长度之和为
(闭区间
的长度定义为 ).
32. 设命题 :实数 满足
,其中 ,命题 :实数 满足
.
(1)若 ,有 且 为真,求实数 的取值范围.
(2)若 是 的充分不必要条件,求实数 的取值范围.
33. 已知方程
,求使方程有两个大于 的实数根的充要条件.
34. 我们可以从集合的观点来看“若 ”,则 是 的充分条件:设满足条件 的元素构成
集合 ,满足条件 的元素构成集合 ,若 ,则 是 的充分条件.
类似地,试用集合的观点描述 是 的必要条件、 是 的充要条件,并举例说明.
35. 已知 :
, :
.若 是 的充分不必要条件,
求实数 的取值范围.
36. 已知数列
的前 项和
,求数列
是等比数列的充要条件.
37. 设数列
满足
,
,
,其中 为实数.
(1)证明:
对任意
成立的充分必要条件是
;
(2)设 ,证明:
.
38. 求关于 的实系数一元二次方程
有两个大于 的实根的充要条件.
39. 已知集合
,
;
命题 ,命题 ,并且命题 是命题 的充分条件,求实数 的取值范围.
40. 设集合
,集合
.
(1)若 ,求 ;
(2)设命题 ,命题 ,若 是 成立的必要不充分条件,求实数 的取值范围. 高中数学说课。
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