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高中数学教案:充分条件与必要条件

教学资源|题库|学习文库-「普洱教育」来源: https://www.puerjy.cn 2020-05-24 00:30数学 851816 ℃


充分条件与必要条件
课程目标
知识点
充分条件与必要条件
考试要求
C
具体要求
理解必要条件、充分条件与充要条
件的意义 .
考察频率
常考
知识提要
充分条件与必要条件

 充分条件与必要条件
一般地,“若 ,则 ”为真命题,是指由 通过推理可以得出 ,同时也称由 可以推出
,记作 ,并且说 是 的充分条件(sufficient condition), 是 的必要条件
(necessary condition).
 充要条件
一般地,如果既有 ,又有 ,就记作 .此时, 是 的充分必要条件
(sufficient and necessary condition),简称充要条件.如果 是 的充要条件,那么 也
是 的充要条件,概括地说,如果 ,那么 与 互为充要条件.
精选例题
充分条件与必要条件
1. 下面有四个关于充要条件的命题:
①若 ,则 是 的充要条件;
②函数

为偶函数的充要条件是 ;
③ 是

的充要条件;
④若 ,则 是
的充要条件;


其中真命题的序号是





【答案】 ①②③

【分析】 由子集的定义知,①为真命题.当 时,



显然为偶函
数,
反之,

是偶函数,则










恒成立,就有
恒成立,得 ,因此②为真命题,
当 时,

成立,反之,当

时, ,所以③为真命题,

对于④,由于



,即 或 ,故 是

的充分不必要条件,所
以④为假命题.

2. 是直线



和直线 垂直的 条件.

【答案】 充分不必要

3. 已知命题: ,命题:

,则 是 的 条件.(选填“充分、“不必
要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)

【答案】 必要不充分

4. “ 或 ”为真命题是“ 且 ”为真命题的 条件.

【答案】 必要不充分

5. 设命题 实数 满足



,其中 ;命题 实数 满足


.若 是 的必要不充分条件,则实数 的取值范围是 .

【答案】





6. 已知甲: ,乙: 且 ,则甲是乙的 条件.

【答案】 既不充分也不必要

【分析】 当 时,可选取 , ,此时 且 不成立.
当 且 时,可选取 , ,此时 ,故 不成立.
因此,甲是乙的既不充分也不必要条件.

7. 设 :

, :









,若 是 的充分不必要条件,则实数
的取值范围是 .


【答案】





8. “ 或 ”是“ ”的



条件.(从“充分”,“充分不必要”,“必要不充
分”,“既不充分也不必要”中选择一个正确的填写)

【答案】 必要但非充分条件

9. 函数





的图象关于直线 对称的充要条件是 .

【答案】


【分析】 因为





的对称轴为直线


所以



的图象关于直线 对称




10. 在整数集 中,被 除所得余数为 的所有整数组成一个“类”,记为



,即







, .给出如下四个结论:①



;②



;③



















;④“整数 , 属于同一‘类‘”的充要条件是“



”.其中,正
确结论的序号是 .

【答案】 ①③④

11. 是 的 条件.

【答案】 充分不必要

12. 设

,一元二次方程

有整数根的充要条件是 .

【答案】 或

【分析】 先利用求根公式求出方程的根,再对根进行分析即可.

【解】







,因为 是整数,即

为整数,所以


整数,且 .取 验证,可知 符合题意;反之, 时,可推出
一元二次方程

有整数根.

13. 关于 的一元二次不等式

的解集只有一个元素的充要条件是 .

【答案】



14. 已知 且 ,数列




的前 项和



,那么




是等比数列的充要条
件是 .

【答案】

15. 用充分、必要有关的词语填空:
(1) ,且 是 的 条件;
(2)
,或 是 的 条件.

【答案】
(1)既不充分也不必要;
(2)必要

【分析】
(1)若 ,且 ,而 .

(2) ,或 不能推出 的反例为:若 ,且 .
,或 的证明,
可以通过证明其逆否命题 ,且 来实现.

16. “ ”是“ ”的 条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充
要”或“既不充分也不必要”).

【答案】 必要不充分

17. 已知





, ,若 是 的充分不必要条件,则实数 的取
值范围是 .

【答案】





18. “ ”是“

”的 (填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必
要”)条件.

【答案】 充分不必要

19. , 是一次函数



的图象交 轴于负半轴,交 轴于正半轴
的 条件.

【答案】 充要

20. 设 ,则“ ”是“

”的



条件.(填充分不必要、必要不
充分、充要条件、既不充分也不必要)

【答案】 充分不必要

21. 指出下列各组命题中 是 的什么条件.(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分
也不必要”中选一种作答)
(1)在 中, , .


【解】 在 中,由正弦定理可知




所以 .
又由 知, ,
故 是 的充要条件.
(2)对于实数 , , 且 , .

【解】 命题“若 且 ,则 ”是真命题,故 .
命题“若 ,则 且 ”是假命题,故 不能退出 .
所以 是 的充分不必要条件.
(3)在 中, , .

【解】 取



,则 不能推导出 .




,则 不能推导出 .
所以 是 的既不充分也不必要条件.
(4)已知 , ,



















【解】 由









,可得 且 ;






,可得 或 .
所以 ,而 ,
所以 是 的充分不必要条件.

22. 已知









,且 是 的必要条件,求
实数 的取值范围.

【解】








因为 是 的必要条件,即当 时有 ,
所以 .
所以 ,得 .

23. 已知 : , :





,若 是 的充分而不必要条件,
求实数 的取值范围.

【解】 由题意知 : ,
所以 .
所以 : 或 .
由题意知 : ,
所以 : 或 .
因为 是 的充分而不必要条件,


所以 或


所以 或 .
经检验, , 均满足题意,
所以 的取值范围为





(1)是否存在实数 ,使 是

的充分条件。


【解】 欲使 是

的充分条件,
则只要

或 ,
则只要

,即 ,


故存在实数 ,使 是

的充分条件.
(2)是否存在实数 ,使 是

的必要条件。


【解】 欲使 是

的必要条件,
则只要

或 ,
但这是不可能的,
故不存在实数 ,使 是

的必要条件.

25. 若



, 是增函数,求证:















成立的充要条件是



【解】 先证充分性.
这只要证明,若 ,则
















因为 ,所以 , ,




是增函数可得
















因此
















充分性成立.
再证必要性.
这只要证明,若















,则 .
用反证法,假设 ,则 , ,




是增函数可得
















因此
















但这与















矛盾,故 不成立.
从而 .
必要性成立.

26. 求直线







的交点在第一象限的充要
条件.


【解】 易得



的交点坐标为









得 .


故直线



交点在第一象限的充要条件为 .

27. 已知 | | ,







,若 是 的充分不必要条件,
求 的取值范围.


【解】

, 或 ,
记 或 .




, 或 ,
记 或 .
因为 ,
所以 ,

所以



所以 .

28. 已知













,若 是 的充分而不必
要条件,求实数 的取值范围.


【解】 设

























由已知: 是 的充分而不必要条件 是 的充分不必要条件





综上: 的取值范围是 .

29. 已知









,且 是 的必要条件,
求实数 的取值范围.


【解】














由 是 的必要条件知 .

解得 ,即实数 的取值范围是






30. 已知









,且 是 的必要条
件,求实数 的取值范围.


【解】 因为








又因为 是 的必要条件,
所以 ,即 ,


所以

即 .



31. 是否存在实数 ,使得“ ”是“

”的充分条件,若存在求出 的范
围.


【解】 由

的解是 或 ;

由 得 ,要使 时, 或 成立,应满足
,即

时,




的充分条件.

根的充要条件为








【解】 充分性:






时,
方程



,即为





,两根为




而方程



,即





,两根为




所以两个方程有公共根 .
必要性:
设两个方程的公共根为 ,则









两式相加,得







但 时, ,显然不符合题意,故 .
将 代入方程,化简可得






综上可知





是两个方程有公共根的充要条件.

33. 举例说明:
(1) 是 的充分不必要条件;


【解】 , ;
(2) 是 的必要不充分条件;


【解】 , ;
(3) 是 的充要条件;


【解】








(4) 是 的既不充分又不必要条件.



【解】 ,




32. 设 , , 为 的三边,求证:方程







有公共


34. 已知



( ),




,若 是 的必要而不充分条

件,求实数 的取值范围.


【解】 由







,得 ( ).
所以 或 ;







,得 ,

所以 或 .
由 是 的必要而不充分条件,知:





因为等号不可能同时取到,故





35. 设 :实数 满足



,其中 ; :实数 满足




,且 是 的必要不充分条件.求实数 的取值范围.


【解】 设






































因为 是 的必要不充分条件,
所以 且 .
对应的集合为



, 对应的集合为 或 ,
所以



或 .


所以 或 即

或 .


所以 的取值范围是



















36. 已知集合

,命题




,命题 ,并且命题 是命题 的充分条件,求实数 的取值范围.


【解】 对于 ,令


,因为



,所以











因为







,所以





所以










因为 是 的充分条件,所以 ,所以











解得









或 .


37. 设 实数 满足



,其中 , 实数 满足

,且
是 的必要不充分条件,求 的取值范围.


【解】 当 时,



,解得命题 ,
故 或 ;


,解得命题 或 ,
故 ,
又因为 是 的必要不充分条件,
所以



或 ,
所以 为所求.

38. 已知





.若 是 的必要不充分条件,求实数
的取值范围.


【解】 易知 : 或 .
由 是 的必要不充分条件,得 , .
当 时,显然有 , .
当 时, : 或 .

若 ,则

解得 ,这时显然有 .
当 时, : 或 .

若 ,则

解得 ,这时显然有 .
综上,当 时, 是 的必要不充分条件.

39. 已知 ,求证: 的充要条件是










【解】 先证必要性成立:
因为 ,即 ,


























所以













再证充分性成立:
因为







,即
















所以









由 ,即 且 ,
所以
















所以只有 ,即有 .
综上,可知当 时, 的充要条件是









40. 已知命题 :


, :





,若命题 是命题 成立的必要不充分条件,求
实数 的取值范围.



【解】 , :



,命题 是命题 成立的必要不充分条件,所以






解得 .


课后练习
1. 用“充分不必要条件”,“必要不充分条件”或“充要条件’’填空.
设 , ,已知命题 ;命题

“ ”是“

”的 .
“ ”是“函数



在区间



上为增函数”的 .








是定义在 上的函数,











,则“







均为偶函数”
是“



为偶函数”的 .
2. “

”是“ ”成立的 条件.(从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”
中选择一个正确的填写)
3. “ ”是“ 与 是对顶角”的 条件.
4. 用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”填空.


(1)设 ,已知命题 ;命题



(2)“ ”是“

”的 ;


(3)设




是公比为 的等比数列,则“ ”是“




为递增数列”的 .
5. 下列各小题中, 是 的充要条件的序号是 .
① : ,或 , :

有两个不同的零点;
② :




, :



是偶函数;
③ : , : ;

为非零向量, :

, :函数








④ ,
为一次函数.
6. 已知 或 ;



.若 是 的充分不必要条件,则实数 的
取值范围是 .



















,则 是 的 .







,则 是 的 ;
7. 已知条件 ,条件

,则非 是非 的 条件.
8. 已知命题

,命题 ,若 是 的充分不必要条件,则实数 的取
值范围为 .
9. “





”是“



”( , , , 为实数)的 条件.
10. 设集合







,那么 是
的 条件.
11. 函数












,则“



”是“函数



为奇函数”的 条件
(用“充分不必要”,“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写).


12. 已知集合







,若 成立的一
个充分不必要的条件是 ,则实数 的取值范围是 .
13. “ ”是“函数



的最小正周期为 ”的 (用“充分不必要”“必
要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”填空)条件.
14. “
”是“一元二次方程

有实数解”的 条件.


15. 是 的 .
16. 已知命题 :实数 满足










,命题 :实数 满足

,则
是 的 条件.
17. 设











均为非零实数,不等式
















的解集为 和 ,那么 是








是 的 条件.



18. 已知 ,则 是







的 条件.
19. 命题





;命题



, 是
的 条件.
20. 设 , 是整数,则“ , 均为偶数”是“ 是偶数”的 条件.
21. 已知 , , , ,试判断 是 的什么条件.
22. 已知














,若 是 的充分条件,求 的
取值范围.
23. 已知函数

和点







,求证:
的图象与线段 有两个不同交点的充要条件.
24. 设 ,求证:









成立的充要条件是 .
25. 已知








,则 是 的什么条件。
26. 证明:关于 的方程

有实根 的充要条件是 .



是函数


27. 指出下列各小题中, 是 成立的什么条件。
(1)



, ;
(2)



, ;
(3)







, :直线











垂直;
(4) 或 , .
28. 求证:关于 的方程

有一根为 的充要条件是 .
29. 求关于 的方程

至少有一个负实根的充要条件.



30. 已知命题









,若 是 的必要非充分条
件,求实数 的取值范围.
31. 指出下列各题中 是 的什么条件:
(1)





, ;
(2) 四边形的对角线相等, 四边形是平行四边形;
(3)
















(4)在 中, , .
32. 已知









.若 是 的必要不充分
条件,求实数 的取值范围.
33. 已知 关于 的不等式

( ),



,若 是 的必要不
充分条件,求实数 的取值范围.
34. 已知命题









,若非 是 的充分不必要条件,
求 的取值范围.
35. 已知集合













,集合







命题 ;命题 . 是 的充分条件,求实数 的取值范围.
36. 若 , ,判断下面命题的真假.
(1)








成立的必要条件;
(2)





的必要条件,也是

的必要条件.
37. 求关于 的实系数方程







有一个大于 和一个小于 的根的充要条
件.
38. 设 是关于方程

的两个实根,试分析 且 是两实根 均
大于 的什么条件。
39. 已知集合 或












(1)求



的充要条件;

(2)求实数 的一个值,使它成为



的一个充分但不必要条件.
40. 对下列问题进行解答:
(1) 是



的什么条件。

(2)





是 , 的什么条件。
(3) 是



( , ,

)的什么条件。

(4) 是
的什么条件。



(5) 是 , 的什么条件。


充分条件与必要条件-出门考
姓名 成绩

1. “ 且 ”是“ ”成立的 条件.(填充分不必要,必要不充分,充要
条件或既不充分也不必要)
2. “ ”是“关于 的一元二次方程

有实数解”的 条件(填“充分不


必要、必要不充分、充要”).
3. 设










,则对任意实数 , ,“ ”是“








的 条件.
4. 若 ,则



是 的 条件.

共线是向量

与向量

共线的 条件. 5. 向量 ,
6. 已知 ,则 与

同时成立的充要条件是 .


7. 已知 :与整数的差为 的数; :整数的 ,则 是 的 条件.


8. 已知不等式

成立的充分不必要条件是



,则实数 的取值范围
是 .
9.



是方程





的两实数根;




,则 是



的 条件.

为非零向量,

是函数








10. ,
为一次函数
的 条件.(填充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分也不必要
中的一个)
11. 下面四个条件中,选择正确序号填空,① ;② ;③



;④







12. 从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中,选出
适当的一种填空:


(1)“ ”是“函数









为偶函数”的 ;


(2)“ ”是“ ”的 ;


(3)“ ”是“



”的 ;


(4)“ ”是“ ”的 .
13. ,且 的充要条件是 ,且 .
14. 甲:

,乙:

,则甲是乙的 条件.
15. 设 :

; :






,则非 是非 的 条件.
16. 是 的 条件
17. 设





, 关于 的方程





有实根,则 是
的 条件.
18. 对于实数 , , 是 或 的 .


,条件 : ,如果条件 是条件 的充分不必要条件,
19. 已知:条件 :







则实数 的取值范围是 .
20. “

”是“ , , 成等比数列”的 条件.
21. 设命题 :实数 满足



,其中 ;命题 :实数 满足


,且 是 的必要不充分条件,求实数 的取值范围.
22. 已知 ,





,且 是 的充分条件,求实数 的取
值范围.
23. 设 是方程

的两个实根,试分析 是两根 均大于 的什
么条件。
24. 已知 , ;命题 关于 的方程

有两个小
于 的正根.试分析 是 的什么条件.
25. 已知关于 的一元二次方程( ):








求方程①和②都有整数解的充要条件.
26. 指出下列命题中, 是 的什么条件.(在“充分不必要条件”、‘‘必要不充分条件”、“充要
条件”、“既不充分又不必要条件”中选出一种)
(1) ,






(2) :两直线平行, :内错角相等;
(3) ,




(4) :四边形的四条边相等, :四边形是正方形.
27. 指出下列各组命题中 是 的什么条件。

(1) 为有理数, 为实数.
(2)

, .
(3) 内错角相等 , 两直线平行.
(4) 四边相等 , 四边形为正方形.
(5) , .
(6) 、 都不为零 , 、 不都为零.
28. 设命题 实数 满足





,( );命题 实数 满足


(1)若 ,且 为真,求实数 的取值范围;
(2)若 是 成立的充分不必要条件,求实数 的取值范围.
29. 已知命题 :实数 满足:方程







表示双曲线;命题 :实数 满
足方程











表示焦点在 轴上的椭圆,且 是 的必要不充分条件,求实数
的取值范围.
30. 试问

是方程

有两个同号且不等实根的什么条件。
31. 若

















, ,



为常数,且






































(1)求








对所有实数 成立的充要条件(用



表示);
(2)设 , 为两实数, ,且







,若







,求证:函数



在区间



上的单调增区间的长度之和为



(闭区间



的长度定义为 ).

32. 设命题 :实数 满足





,其中 ,命题 :实数 满足


(1)若 ,有 且 为真,求实数 的取值范围.
(2)若 是 的充分不必要条件,求实数 的取值范围.
33. 已知方程







,求使方程有两个大于 的实数根的充要条件.
34. 我们可以从集合的观点来看“若 ”,则 是 的充分条件:设满足条件 的元素构成
集合 ,满足条件 的元素构成集合 ,若 ,则 是 的充分条件.
类似地,试用集合的观点描述 是 的必要条件、 是 的充要条件,并举例说明.
35. 已知 :

, :







.若 是 的充分不必要条件,
求实数 的取值范围.
36. 已知数列




的前 项和







,求数列




是等比数列的充要条件.

37. 设数列




满足







,其中 为实数.
(1)证明:





对任意

成立的充分必要条件是




(2)设 ,证明:











38. 求关于 的实系数一元二次方程







有两个大于 的实根的充要条件.
39. 已知集合










命题 ,命题 ,并且命题 是命题 的充分条件,求实数 的取值范围.
40. 设集合





,集合




(1)若 ,求 ;
(2)设命题 ,命题 ,若 是 成立的必要不充分条件,求实数 的取值范围. 高中数学说课
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