充分条件与必要条件
课程目标
知识点
充分条件与必要条件
考试要求
C
具体要求
理解必要条件、充分条件与充要条
件的意义 .
考察频率
常考
知识提要
充分条件与必要条件

 充分条件与必要条件
一般地，“若 ，则 ”为真命题，是指由 通过推理可以得出 ，同时也称由 可以推出
，记作 ，并且说 是 的充分条件（sufficient condition）， 是 的必要条件
（necessary condition）．
 充要条件
一般地，如果既有 ，又有 ，就记作 ．此时， 是 的充分必要条件
（sufficient and necessary condition），简称充要条件．如果 是 的充要条件，那么 也
是 的充要条件，概括地说，如果 ，那么 与 互为充要条件．
精选例题
充分条件与必要条件
1. 下面有四个关于充要条件的命题：
①若 ，则 是 的充要条件；
②函数

为偶函数的充要条件是 ；
③ 是

的充要条件；
④若 ，则 是
的充要条件；


其中真命题的序号是



．

【答案】 ①②③

【分析】 由子集的定义知，①为真命题．当 时，



显然为偶函
数，
反之，

是偶函数，则










恒成立，就有
恒成立，得 ，因此②为真命题，
当 时，

成立，反之，当

时， ，所以③为真命题，

对于④，由于



，即 或 ，故 是

的充分不必要条件，所
以④为假命题．

2. 是直线



和直线 垂直的 条件．

【答案】 充分不必要

3. 已知命题： ，命题：

，则 是 的 条件．（选填“充分、“不必
要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）

【答案】 必要不充分

4. “ 或 ”为真命题是“ 且 ”为真命题的 条件．

【答案】 必要不充分

5. 设命题 实数 满足



，其中 ；命题 实数 满足


．若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是 ．

【答案】





6. 已知甲： ，乙： 且 ，则甲是乙的 条件．

【答案】 既不充分也不必要

【分析】 当 时，可选取 ， ，此时 且 不成立．
当 且 时，可选取 ， ，此时 ，故 不成立．
因此，甲是乙的既不充分也不必要条件．

7. 设 ：

， ：









，若 是 的充分不必要条件，则实数
的取值范围是 ．


【答案】





8. “ 或 ”是“ ”的



条件．（从“充分”，“充分不必要”，“必要不充
分”，“既不充分也不必要”中选择一个正确的填写）

【答案】 必要但非充分条件

9. 函数





的图象关于直线 对称的充要条件是 ．

【答案】


【分析】 因为





的对称轴为直线

，
所以



的图象关于直线 对称
．



10. 在整数集 中，被 除所得余数为 的所有整数组成一个“类”，记为



，即







， ．给出如下四个结论：①



；②



；③



















；④“整数 ， 属于同一‘类‘”的充要条件是“



”．其中，正
确结论的序号是 ．

【答案】 ①③④

11. 是 的 条件．

【答案】 充分不必要

12. 设

，一元二次方程

有整数根的充要条件是 ．

【答案】 或

【分析】 先利用求根公式求出方程的根，再对根进行分析即可．

【解】







，因为 是整数，即

为整数，所以

为
整数，且 ．取 验证，可知 符合题意；反之， 时，可推出
一元二次方程

有整数根．

13. 关于 的一元二次不等式

的解集只有一个元素的充要条件是 ．

【答案】



14. 已知 且 ，数列




的前 项和



，那么




是等比数列的充要条
件是 ．

【答案】

15. 用充分、必要有关的词语填空：
（1） ，且 是 的 条件；
（2）
，或 是 的 条件．

【答案】
（1）既不充分也不必要；
（2）必要

【分析】
（1）若 ，且 ，而 ．

（2） ，或 不能推出 的反例为：若 ，且 ．
，或 的证明，
可以通过证明其逆否命题 ，且 来实现．

16. “ ”是“ ”的 条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充
要”或“既不充分也不必要”）．

【答案】 必要不充分

17. 已知





， ，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取
值范围是 ．

【答案】





18. “ ”是“

”的 （填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必
要”）条件．

【答案】 充分不必要

19. ， 是一次函数



的图象交 轴于负半轴，交 轴于正半轴
的 条件．

【答案】 充要

20. 设 ，则“ ”是“

”的



条件．（填充分不必要、必要不
充分、充要条件、既不充分也不必要）

【答案】 充分不必要

21. 指出下列各组命题中 是 的什么条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分
也不必要”中选一种作答）
(1)在 中， ， ．


【解】 在 中，由正弦定理可知



，
所以 ．
又由 知， ，
故 是 的充要条件．
(2)对于实数 ， ， 且 ， ．

【解】 命题“若 且 ，则 ”是真命题，故 ．
命题“若 ，则 且 ”是假命题，故 不能退出 ．
所以 是 的充分不必要条件．
(3)在 中， ， ．

【解】 取

，

，则 不能推导出 ．
取

，

，则 不能推导出 ．
所以 是 的既不充分也不必要条件．
(4)已知 ， ，









，







．

【解】 由









，可得 且 ；
由





，可得 或 ．
所以 ，而 ，
所以 是 的充分不必要条件．

22. 已知



，





，且 是 的必要条件，求
实数 的取值范围．

【解】



，



．
因为 是 的必要条件，即当 时有 ，
所以 ．
所以 ，得 ．

23. 已知 ： ， ：





，若 是 的充分而不必要条件，
求实数 的取值范围．

【解】 由题意知 ： ，
所以 ．
所以 ： 或 ．
由题意知 ： ，
所以 ： 或 ．
因为 是 的充分而不必要条件，


所以 或


所以 或 ．
经检验， ， 均满足题意，
所以 的取值范围为



．

(1)是否存在实数 ，使 是

的充分条件。


【解】 欲使 是

的充分条件，
则只要

或 ，
则只要

，即 ，


故存在实数 ，使 是

的充分条件．
(2)是否存在实数 ，使 是

的必要条件。



【解】 欲使 是

的必要条件，
则只要

或 ，
但这是不可能的，
故不存在实数 ，使 是

的必要条件．

25. 若



， 是增函数，求证：















成立的充要条件是
．


【解】 先证充分性．
这只要证明，若 ，则















．
因为 ，所以 ， ，
由



是增函数可得







，







．
因此















．
充分性成立．
再证必要性．
这只要证明，若















，则 ．
用反证法，假设 ，则 ， ，
由



是增函数可得







，







，
因此















．
但这与















矛盾，故 不成立．
从而 ．
必要性成立．

26. 求直线



和



的交点在第一象限的充要
条件．


【解】 易得

，

的交点坐标为





．

由

得 ．


故直线

与

交点在第一象限的充要条件为 ．

27. 已知 ｜ ｜ ，







，若 是 的充分不必要条件，
求 的取值范围．


【解】

， 或 ，
记 或 ．




， 或 ，
记 或 ．
因为 ，
所以 ，

所以



所以 ．

28. 已知



，









，若 是 的充分而不必
要条件，求实数 的取值范围．


【解】 设









，














．
由已知： 是 的充分而不必要条件 是 的充分不必要条件


即


综上： 的取值范围是 ．

29. 已知



，





，且 是 的必要条件，
求实数 的取值范围．


【解】



，









．
由 是 的必要条件知 ．

解得 ，即实数 的取值范围是



．


30. 已知



，





，且 是 的必要条
件，求实数 的取值范围．


【解】 因为



，



，
又因为 是 的必要条件，
所以 ，即 ，


所以

即 ．



31. 是否存在实数 ，使得“ ”是“

”的充分条件，若存在求出 的范
围．


【解】 由

的解是 或 ；

由 得 ，要使 时， 或 成立，应满足
，即
，
时，

，
是

的充分条件．

根的充要条件为





．


【解】 充分性：






时，
方程



，即为





，两根为

，

；
而方程



，即





，两根为

，

．
所以两个方程有公共根 ．
必要性：
设两个方程的公共根为 ，则




且




两式相加，得






或
但 时， ，显然不符合题意，故 ．
将 代入方程，化简可得





．
综上可知





是两个方程有公共根的充要条件．

33. 举例说明：
(1) 是 的充分不必要条件；


【解】 ， ；
(2) 是 的必要不充分条件；


【解】 ， ；
(3) 是 的充要条件；


【解】



，



；
(4) 是 的既不充分又不必要条件．



【解】 ，

．


32. 设 ， ， 为 的三边，求证：方程



与



有公共


34. 已知



（ ），




，若 是 的必要而不充分条

件，求实数 的取值范围．


【解】 由







，得 （ ）．
所以 或 ；


由




，得 ，

所以 或 ．
由 是 的必要而不充分条件，知：





因为等号不可能同时取到，故



．

35. 设 ：实数 满足



，其中 ； ：实数 满足

或


，且 是 的必要不充分条件．求实数 的取值范围．


【解】 设











，


或





















或
或
因为 是 的必要不充分条件，
所以 且 ．
对应的集合为



， 对应的集合为 或 ，
所以



或 ．


所以 或 即

或 ．


所以 的取值范围是





．











，

36. 已知集合

，命题




，命题 ，并且命题 是命题 的充分条件，求实数 的取值范围．


【解】 对于 ，令


，因为



，所以

，









因为







，所以

，



所以



，



或

，
因为 是 的充分条件，所以 ，所以



或


，




解得







或

或 ．


37. 设 实数 满足



，其中 ， 实数 满足

，且
是 的必要不充分条件，求 的取值范围．


【解】 当 时，



，解得命题 ，
故 或 ；
又

，解得命题 或 ，
故 ，
又因为 是 的必要不充分条件，
所以



或 ，
所以 为所求．

38. 已知



；

．若 是 的必要不充分条件，求实数
的取值范围．


【解】 易知 ： 或 ．
由 是 的必要不充分条件，得 ， ．
当 时，显然有 ， ．
当 时， ： 或 ．

若 ，则

解得 ，这时显然有 ．
当 时， ： 或 ．

若 ，则

解得 ，这时显然有 ．
综上，当 时， 是 的必要不充分条件．

39. 已知 ，求证： 的充要条件是







．


【解】 先证必要性成立：
因为 ，即 ，


























所以













再证充分性成立：
因为







，即















，
所以








．
由 ，即 且 ，
所以















．
所以只有 ，即有 ．
综上，可知当 时， 的充要条件是







．

40. 已知命题 ：


， ：





，若命题 是命题 成立的必要不充分条件，求
实数 的取值范围．



【解】 ， ：



，命题 是命题 成立的必要不充分条件，所以


，



解得 ．


课后练习
1. 用“充分不必要条件”，“必要不充分条件”或“充要条件’’填空．
设 ， ，已知命题 ；命题

“ ”是“

”的 ．
“ ”是“函数



在区间



上为增函数”的 ．
设



，



是定义在 上的函数，











，则“



，



均为偶函数”
是“



为偶函数”的 ．
2. “

”是“ ”成立的 条件．（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”
中选择一个正确的填写）
3. “ ”是“ 与 是对顶角”的 条件．
4. 用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”填空．


（1）设 ，已知命题 ；命题



（2）“ ”是“

”的 ；


（3）设




是公比为 的等比数列，则“ ”是“




为递增数列”的 ．
5. 下列各小题中， 是 的充要条件的序号是 ．
① ： ，或 ， ：

有两个不同的零点；
② ：




， ：



是偶函数；
③ ： ， ： ；

为非零向量， ：

， ：函数








④ ，
为一次函数．
6. 已知 或 ；



．若 是 的充分不必要条件，则实数 的
取值范围是 ．



















，则 是 的 ．







，则 是 的 ；
7. 已知条件 ，条件

，则非 是非 的 条件．
8. 已知命题

，命题 ，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取
值范围为 ．
9. “

且



”是“



”（ ， ， ， 为实数）的 条件．
10. 设集合



，



，那么 是
的 条件．
11. 函数












，则“



”是“函数



为奇函数”的 条件
（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）．


12. 已知集合



，



，若 成立的一
个充分不必要的条件是 ，则实数 的取值范围是 ．
13. “ ”是“函数



的最小正周期为 ”的 （用“充分不必要”“必
要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”填空）条件．
14. “
”是“一元二次方程

有实数解”的 条件．


15. 是 的 ．
16. 已知命题 ：实数 满足










,命题 :实数 满足

，则
是 的 条件．
17. 设

，

，

，

，

，

均为非零实数，不等式







和








的解集为 和 ，那么 是








是 的 条件．



18. 已知 ，则 是







的 条件．
19. 命题





；命题



， 是
的 条件．
20. 设 ， 是整数，则“ ， 均为偶数”是“ 是偶数”的 条件．
21. 已知 ， ， ， ，试判断 是 的什么条件．
22. 已知








，





，若 是 的充分条件，求 的
取值范围．
23. 已知函数

和点



，



，求证：
的图象与线段 有两个不同交点的充要条件．
24. 设 ，求证：









成立的充要条件是 ．
25. 已知




，



，则 是 的什么条件。

26. 证明：关于 的方程

有实根 的充要条件是 ．



是函数


27. 指出下列各小题中， 是 成立的什么条件。

(1)



， ；
(2)



， ；
(3)







， ：直线





与





垂直；
(4) 或 ， ．
28. 求证：关于 的方程

有一根为 的充要条件是 ．
29. 求关于 的方程

至少有一个负实根的充要条件．



30. 已知命题





；



，若 是 的必要非充分条
件，求实数 的取值范围．
31. 指出下列各题中 是 的什么条件：
(1)





， ；
(2) 四边形的对角线相等， 四边形是平行四边形；
(3)









，





；
(4)在 中， ， ．
32. 已知

，







．若 是 的必要不充分
条件，求实数 的取值范围．
33. 已知 关于 的不等式

（ ），



，若 是 的必要不
充分条件，求实数 的取值范围．
34. 已知命题

，







，若非 是 的充分不必要条件，
求 的取值范围．
35. 已知集合













，集合






．
命题 ；命题 ． 是 的充分条件，求实数 的取值范围．
36. 若 ， ，判断下面命题的真假．
(1)




是



成立的必要条件；
(2)



是

的必要条件，也是

的必要条件．
37. 求关于 的实系数方程







有一个大于 和一个小于 的根的充要条
件．
38. 设 是关于方程

的两个实根，试分析 且 是两实根 均
大于 的什么条件。
39. 已知集合 或











．
(1)求



的充要条件；

(2)求实数 的一个值，使它成为



的一个充分但不必要条件．
40. 对下列问题进行解答：
(1) 是



的什么条件。

(2)





是 ， 的什么条件。
(3) 是



（ ， ，

）的什么条件。

(4) 是
的什么条件。



(5) 是 ， 的什么条件。

充分条件与必要条件-出门考
姓名 成绩

1. “ 且 ”是“ ”成立的 条件．（填充分不必要，必要不充分，充要
条件或既不充分也不必要）
2. “ ”是“关于 的一元二次方程

有实数解”的 条件（填“充分不


必要、必要不充分、充要”）．
3. 设










，则对任意实数 ， ，“ ”是“







”
的 条件．
4. 若 ，则



是 的 条件．

共线是向量

与向量

共线的 条件． 5. 向量 ，
6. 已知 ，则 与

同时成立的充要条件是 ．


7. 已知 ：与整数的差为 的数； ：整数的 ，则 是 的 条件．


8. 已知不等式

成立的充分不必要条件是



，则实数 的取值范围
是 ．
9.



是方程





的两实数根；




，则 是



的 条件．

为非零向量，

是函数








10. ，
为一次函数
的 条件．（填充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分也不必要
中的一个）
11. 下面四个条件中，选择正确序号填空，① ；② ；③



；④




．


12. 从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中，选出
适当的一种填空：


（1）“ ”是“函数









为偶函数”的 ；


（2）“ ”是“ ”的 ；


（3）“ ”是“



”的 ；


（4）“ ”是“ ”的 ．
13. ，且 的充要条件是 ，且 ．
14. 甲：

，乙：

，则甲是乙的 条件．
15. 设 ：

； ：






，则非 是非 的 条件．
16. 是 的 条件
17. 设





， 关于 的方程





有实根，则 是
的 条件．
18. 对于实数 ， ， 是 或 的 ．


，条件 ： ，如果条件 是条件 的充分不必要条件，
19. 已知：条件 ：







则实数 的取值范围是 ．
20. “

”是“ ， ， 成等比数列”的 条件．
21. 设命题 ：实数 满足



，其中 ；命题 ：实数 满足


，且 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
22. 已知 ，





，且 是 的充分条件，求实数 的取
值范围．
23. 设 是方程

的两个实根，试分析 是两根 均大于 的什
么条件。
24. 已知 ， ；命题 关于 的方程

有两个小
于 的正根．试分析 是 的什么条件．
25. 已知关于 的一元二次方程（ ）：
①

；
②



．
求方程①和②都有整数解的充要条件．
26. 指出下列命题中， 是 的什么条件．（在“充分不必要条件”、‘‘必要不充分条件”、“充要
条件”、“既不充分又不必要条件”中选出一种）
(1) ，





；
(2) ：两直线平行， ：内错角相等；
(3) ，



；
(4) ：四边形的四条边相等， ：四边形是正方形．
27. 指出下列各组命题中 是 的什么条件。

(1) 为有理数， 为实数．
(2)

， ．
(3) 内错角相等 ， 两直线平行．
(4) 四边相等 ， 四边形为正方形．
(5) ， ．
(6) 、 都不为零 ， 、 不都为零．
28. 设命题 实数 满足





，（ ）；命题 实数 满足

．
(1)若 ，且 为真，求实数 的取值范围；
(2)若 是 成立的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
29. 已知命题 ：实数 满足：方程







表示双曲线；命题 ：实数 满
足方程











表示焦点在 轴上的椭圆，且 是 的必要不充分条件，求实数
的取值范围．
30. 试问

是方程

有两个同号且不等实根的什么条件。
31. 若








，








， ，

，

为常数，且






































(1)求








对所有实数 成立的充要条件（用

，

表示）；
(2)设 ， 为两实数， ，且







，若







，求证：函数



在区间



上的单调增区间的长度之和为



（闭区间



的长度定义为 ）．

32. 设命题 ：实数 满足





，其中 ，命题 ：实数 满足

．
(1)若 ，有 且 为真，求实数 的取值范围．
(2)若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
33. 已知方程







，求使方程有两个大于 的实数根的充要条件．
34. 我们可以从集合的观点来看“若 ”，则 是 的充分条件：设满足条件 的元素构成
集合 ，满足条件 的元素构成集合 ，若 ，则 是 的充分条件．
类似地，试用集合的观点描述 是 的必要条件、 是 的充要条件，并举例说明．
35. 已知 ：

， ：







．若 是 的充分不必要条件，
求实数 的取值范围．
36. 已知数列




的前 项和







，求数列




是等比数列的充要条件．

37. 设数列




满足

，



，

，其中 为实数．
(1)证明：





对任意

成立的充分必要条件是



；
(2)设 ，证明：








．


38. 求关于 的实系数一元二次方程







有两个大于 的实根的充要条件．
39. 已知集合

，





；


命题 ，命题 ，并且命题 是命题 的充分条件，求实数 的取值范围．
40. 设集合





，集合



．
(1)若 ，求 ；
(2)设命题 ，命题 ，若 是 成立的必要不充分条件，求实数 的取值范围． 高中数学说课。

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