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高中数学教案:存在性问题

教学资源|题库|学习文库-「普洱教育」来源: https://www.puerjy.cn 2020-05-24 00:29数学 222344 ℃


存在性问题
课程目标
知识点
存在性问题
考试要求
C
具体要求
掌握存在性问题的思想,能用相关
知识解决存在性问题.
考察频率
少考
知识提要
存在性问题
不等式存在性问题通常转化为求函数的最大值或最小值的问题,也可以先分离变量,再转化为
求函数最大值或最小值的问题.
① 存在 使得 成立,转化为


② 存在 使得 成立,转化为


③ 存在 使得 成立,转化为


④ 存在 使得 成立,转化为





精选例题
存在性问题
1. 不等式






对任意实数 都成立,则实数 的取值范围是 .

【答案】

【分析】 不等式



因为不等式



对任意实数 都成立,
所以













.对任意实数 都成立,
当 时,化为 ,不满足要求,舍去;

当 时,变形满足 ,








,化为














解得: .

2. 若关于 的不等式 在



上有解,则 的取值范围
是 .

【答案】





【分析】 由题意,得





由绝对值的几何意义,得





因此, .

3. 若关于 的不等式





存在实数解,则实数 的取值范围是 .

【答案】










【分析】 当 时,在数轴上表示 的点到 、 表示的点的距离之和为 ,
所以当 时, .
所以,只要 ,此时解得 或 .



4. 若存在



,使

成立,则实数 的取值范围为 .

【答案】








5. 设函数













.若存在
















,使得









成立,则实数 的取值范围为 .

【答案】






【分析】 当
时,






时,







从而当



时,函数



的值域为







由 ,得

,则


所以













从而当



时,函数



的值域为



因为存在







,使









,所以









,则

或 ,解得 或 .

所以当



时, .
综上,实数 的取值范围为





6. 若命题 ,使得





是真命题,则实数 的取值范围是 .

【答案】









7. 若存在实数 使 成立,则实数 的取值范围是 .

【答案】





【分析】 要使得不等式 成立,只要 即可.

【解】 在数轴上, 表示 对应的点到 对应的点之间的距离, 表示 对应
的点到 对应的点之间的距离,而这两个距离和的最小值是 .要使得不等式
成立,只要 ,解得 .

8. 已知命题



,使

为假命题,则 的取值范围是 .

【答案】





9. 已知函数











,若对于任意的

,总存在


使得









,则实数 的取值范围为 .

【答案】





【分析】


















,则










根据题意知



可以取到



之间所有的数.











首先有















,解得







,则








当 时,
,此时



的最小值为

当 时,




综上知,



一直可以取到



之间所有的数.


,类似分析可得也都满足条件.


10. 已知









,且方程



无实数根,下列命题:

(1)方程





一定有实数根;

(2)若 ,则不等式





对一切实数 都成立;

(3)若 ,则必存在实数

,使










(4)若 ,则不等式





对一切实数 都成立.
其中,正确命题的序号是 .(把你认为正确的命题的所有序号都填上)

【答案】
(2)
(4)

【分析】 方程



无实根,所以







恒成立.从而有
恒成立或 恒成立,故
(1)错误;
若 ,则



对一切 成立.所以









,命题
(2)正确;
同理若 ,则有





,命题
(3)错误;
若 ,则



,从而 恒成立,必有 ,且





,所
以命题
(4)正确.

11. 已知命题 “ :







” 与命题 “ :


都是真命题,则实数 的取值范围 .


【答案】







12. 若对于给定的正实数 ,函数





的图象上总存在点 ,使得以 为圆心、 为半径
的圆上有两个不同的点到原点 的距离为 ,则 的取值范围是 .


【答案】





【分析】 方法一:根据题意得:以 为圆心, 为半径的圆与原点为圆心, 为半径的圆有
两个交点,即 到原点距离小于 ,即



的图象上离原点最近的点到原点的距离小于
.记





上的点



到原点 的距离为






.因为 ,则由均值不等式


,当且仅当

时,等号成立.所以

,解得 .故 .

方法二:首先考虑点 与点 之间的关系.记 到圆 上的最短距离为 ,最大距离为 .
若 在圆上,如图所示,







则圆 上有一个点到 的距离为 ,所以 .
若 在圆 内,如图所示,


显然圆上没有点到 的距离为 ,所以 .
若 在圆外,如图所示,

则圆上有两点到 的距离为 的充分必要条件为 .
综上, 的取值范围是 .






上的点



到原点 的距离为






.因为 ,则由均值不等式知


,当且仅当

时,等号成立.

又因为



上存在点 ,所以必须满足

,解得 .故 .


13. 定义:如果函数



在定义域内给定区间



上存在






满足

















,则称函数







上的“平均值函数”,

是它的一个均值点.例如






上的“平均值函数”, 就是它的均值点.给出以下命题:
①函数







上的“平均值函数”;
②若







上的“平均值函数”,则它的均值点





③若函数









上的“平均值函数”,则实数 的取值范围是




④若



是区间





上的“平均值函数”,

是它的一个均值点,则







其中真命题有 .(写出所有真命题的序号)

【答案】 ①③④









【分析】 ① 由

,可得 是它的一个均值点.


② 举一个反例.如







,由题意,得

,但



③ 由












,得

,从而 .









.要证


,即证








,即证







.令











则 .记








,则




函数,从而







,于是

成立.










上是减
14. 在平面直角坐标系 中,圆











,圆













.若圆

上存在一点 ,使得过点 可作一条射线与圆

依次交于点 , ,
满足 ,则半径 的取值范围是 .

【答案】





【分析】 因为











所以













.记
的最小值为

,最大值为


则可知当



时,肯定存在这样的点 .

(1)当 时,此时两圆相离,如图.




此时












解得, .

(2)当 时,此时两圆相交或相切,如图.



因为两圆有交点,所以最小值为 ,最大值为
,必定成立.


(3)当 时,此时两圆内含,如图.



此时,










解得 .
综上, .

15. 存在实数 ,使得

成立,则 的取值范围是 .


【答案】 或



【分析】 本小题考查二次不等式的存在性问题,结合二次函数和二次方程分析是解决本题的
关键.

【解】 由题意得,存在实数 ,使得

有负的函数值,即二次函数


的图象上存在点在 轴的下方.

因为抛物线开口向上,只须



解得





16. 由命题“存在 ,使

”是假命题,得 的取值范围是



,则实数
的值是 .

【答案】

17. 若关于 的不等式

在区间



上有解,则实数 的取值范围是 .


【答案】



18. 已知函数





和函数





,若对任意





,均
存在





,使得









成立,则实数 的取值范围是 .

【答案】



【解】 原命题等价于对于任意





,存在





,使得













对于任意

















对于任意















①当 时,

,解得 ;
②当 时,

,解得 ;
③当 时,

,解得


综上所述,实数 的取值范围是



19. 已知函数

















,若对任意的





,都存在






,使得









,则实数 的取值范围是 .

【答案】





【分析】 若对任意的





,都存在





,使得









,则有函数




值域是函数



值域的子集.






,有












解得



; ①当



时,












;有






②当



时,












;有




,解得


③当



时,









;有

,解得







④当
















;有

解得





综上实数 的取值范围是






20. 若不等式组

所表示的平面区域被直线 分为面积相等的两部分,

则 的值为 ;若该平面区域存在点






使



成立,则实数 的取
值范围是 .


【答案】 ;


【分析】 由已知,画出可行域如下图阴影部分 .





联立 得



,联立 得



,联立 得






.因为直线 过点



,平面区域被直线 分为面积相等的两部

分,所以直线 过 中点



,即 ,得 .

若 ,则不等式 等价于 ,此时不满足已知条件;

若 ,则不等式 等价于



,代表直线



下方,直线

过定点



,斜率为
,此时已知区域 都在直线

上方,不满足已知条件;

若 ,则不等式 等价于



,代表直线



上方,直线

过定点



,斜率为
,若该平面区域存在点






使





成立,则只要满足点



或 点



满足不等式即可,此时 ,解得
.综上, .

21. 设函数




(1)若



的解集为



,求实数 的值;

【解】 显然 ,
当 时,解集为
, , ,无解;
当 时,解集为



,令






综上所述, .
(2)当 时,若存在 ,使得不等式







成立,求实数
的取值范围.

【解】 当 时,令






























由此可知,







单调减,在





单调增,
则当

时,



取到最小值




















由题意知,

,则实数 的取值范围是





22. 已知二次函数









的图象过点




(1)记函数







上的最大值为 ,若 ,求 的最大值;

【答案】 .

【解】 ①因为



过点




所以




所以 ,






因为



是开口向上的抛物线,
所以















所以





两式相加得 ,即 的最大值为 .





②由











解得































(2)若对任意的





,存在





,使得









,求
的取值范围.


【答案】










【解】 由题意,存在





,使












所以












因为 ,
所以





,其对称轴为






①当



时,







上单调递增,
所以

均符合题意.


所以




















②当



时,










上递减,在




上递增且













所以






















所以由



得:



符合题意.
③当







时,









上递减,在



上递增且













所以






















所以由

所以



符合题意.
④当



时,







上单调递减,



得:






所以


















所以
均符合题意.




综上所述:所以







23. 已知函数









,若对于任意的



, ,存在





,使








,求 的取值范围.

【解】 方法一:
因为





所以







时,即 时,












































































































































时,即 时,























因为 恒成立,所以




方法二:






























所以



































此时 ,

取等号,
所以



24. 设函数



定义在



上,



,导函数



















(1)求



的单调区间和最小值;


【解】





,所以




为常数




,所以



所以






















,即




所以
解得




时,














是减函数,故区间



是函数



的减区间;




时,









是增函数,故区间



是函数



的增区间;
所以 是



的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,
所以



的最小值是






(2)讨论






的大小关系;


【解】


















,则











当 时,



,即















时,









因此函数







内单调递减,
当 时,









所以







当 时,









所以








(3)是否存在

,使得












对任意 成立。若存在,求出

的取值范

围;若不存在,请说明理由.


【解】 满足条件的

不存在.证明如下:
证法一:
假设存在

,使









对任意 成立,


即对任意 有













但对上述的

,取


时,有









这与①左边的不等式矛盾,因此不存在

,使










对任意 成立.
证法二:

假设存在

,使










对任意 成立,


(1)知,



的最小值是













而 时, 的值域为




当 时,



的值域为




从而可以取一个值

,使























所以














这与假设矛盾.

不存在

,使









对任意 成立.


25. 已知函数






(1)当

时,求



在区间



上的最小值;


【解】 当

时,










因为










, .
则 ,







关系如下
















极小值
所以当 时,



有最小值为 .
(2)求证:存在实数





,有







【解】 “存在实数





,有



”等价于



的最大值大于 .
因为






所以当 时,















上单调递增,
所以



的最大值为








所以当 时命题成立.
当 时,由



得 .
则 时, ,







关系如下


















极小值
(i)当

时, ,







上单调递减,
所以



的最大值








所以当

时命题成立.
(ii)当



时, ,







上单调递减,在



上单调
递增.
所以



的最大值为







,且















必有一成立,
所以当



时命题成立.
(iii)当

时, ,







上单调递增,
所以



的最大值为








所以当

时命题成立.
综上:对任意实数 都存在





使




成立.



26. 已知函数












(1)求函数



的单调区间;


【解】 函数











的定义域是


















①若 ,则








上恒成立.

时,



的增区间为




②若 ,则





,故当





时,






时,








的增区间为 .
时,



的减区间为

(2)试判断是否存在实数



,使



的图象与直线

无公共点(其中
自然对数的底数 为无理数且 ).


【解】 时,由

(1)可知,








上的最小值为


































































上单调递减.

























存在实数



使



的最小值大于

,故存在实数



,使




的图象与直线

无公共点.

27. 已知函数







( 为常数, ).


(1)当



在 处取得极值时,若关于 的方程







上恰有两个不


相等的实数根,求实数 的取值范围;


【解】




















因为 ,
所以 .
此时














所以

上减,

上增,




















所以




数 的取值范围.


【解】




所以







(2)若对任意的



,总存在



,使不等式










成立,求实


























因为 ,











,即





所以





上增,

所以














所以只须







































所以



在 的右侧需先增,

所以



, .





















,对称轴


又 ,




所以在



上,



,即




所以







上单调递增,
所以






















于是












所以



28. 已知函数












(1)当 时,求



的单调区间和极值;



【解】 当 时,


































的变化情况列表如下:
























极小值 极大值




的单调增区间为



,单调减区间为



,函数的极大值


,极小值为


(2)若存在





使












成立,求实数 的取值范围.


【解】






























































,当 时,此式不成立,























,即 ,解得 .

因此,实数 的取值范围为





29. 已知二次函数





为偶函数,


















.关于 的方程







有且仅有一根



(1)求 , , 的值;


【解】 由
















可得:







代入

得:














联立方程 解得: , ,
所以 , ,


(2)若对任意的












恒成立,求实数 的取值范围;




【解】 由

(1)知





,对任意的












恒成立,
所以当



时,




恒成立,

当 时, ,
当 时,












所以




, .
(3)令













,若存在


实数 的取值范围.


【解】 由题意可知



























使得
















,求
由 , , ,易证明












上恒成立,
所以







(2)知








上 恒成立,
所以















上恒成立.
又因为当



时,




所以
所以























上恒成立;




























































所以



















,所以





30. 已知函数















,其中 .
(1)当 时,求曲线



在点



处的切线方程;







【解】 函数



的定义域为










当 时,








所以曲线



在点



处的切线方程为 .
(2)当 时,求



的单调区间;







【解】











时,由















,得









所以在区间





上,



;在区间

上,









的单调递增区间是





,单调递减区间是





时,











的单调递增区间是






时,由


















,得










所以在区间







上,



;在区间


上,








的单调递增区间是







,单调递减区间是



(3)若存在



,使不等式







成立,求 的取值范围.



【解】 由题意存在



使不等式







成立,即存在


,使





成立,只需 大于或等于





在区间


上的最小值.















在区间


上,







为增函数;

在区间




上,







为减函数.

所以






上的最小值为






中的较小者.

















所以






上的最小值为



所以 .
所以 的取值范围为





31. 已知函数









( 为常数),






(1)当 时,求



的单调区间;


【解】 当 时,



,其定义域为









,令



得 ;令



得 ,


故 的单调递减区间为



,单调递增区间为




(2)若函数



在区间



上无零点,求 的最小值;


【解】 因为当 时,





所以函数



在区间


上不可能恒成立,
故要使函数



在区间


上无零点,只要对任意的





恒成立.

即对任意的



恒成立.











,则



















再令





,则


































,知



,故函数



在区间

上单调递减,

所以






,即







所以函数



在区间


上单调递增,则







故只要 ,函数



在区间



上无零点,所以 的最小值为 .

(3)若对任意给定的





,则



上总存在两个不同的




,使得










成立,求 的取值范围.



【解】 由





,当







,则函数



在区间



上是增函数,
所以








当 时,



,不符题意;
当 时,

















时,




由题意有







上不单调,故

,即


当 变化时,







变化情况如下:













单调递减

最小值

单调递增















所以,对于给定的





,在



上总存在两个不同的





又因为 时,





使得









成立,当且仅当满足下列条件













































,则 ,




时,



,函数



单调递增;





时,



,函数



单调递减;


所以对任意的













由 得


由 当

成立.

32. 函数











内只取到一个最大值和一个
最小值,且当 时,

;当 时,


(1)求出此函数的解析式;



【解】 由题意得 ,


所以










时,在



上总存在两个不同的




,使得












.所以


,由于点



在此函数图象上,则有












因为 ,所以

所以






(2)求该函数的单调递增区间;





【解】 当







时,即 时,原函数单
调递增.
所以原函数的单调递增区间为






(3)是否存在实数 ,满足不等式




若存在,求出 的范围(或值),若不存在,请说明理由.


【解】 满足








解得 .
因为







所以



同理


.由

(2)知函数在



上递增,若有











只需要






,即

成立即可,所以存在


,使








成立.

33. 设函数












(1)若







具有完全相同的单调区间,求 的值;


【解】 因为





,所以














当 时,



,所以







内单调递减;
当 时,



,所以







内单调递增.





,由



,得


此时
















显然







内单调递减,在



内单调递增,故


(2)若当 时恒有







,求 的取值范围.


【解】 当 时恒有







,即













恒成立.
故只需





恒成立,




求导数可得






因为 ,所以






若 ,则当



时,







为增函数,
从而当 时,







,即








若 ,则当



时,







为减函数,
从而当 时, ,即 ,故 不恒成立.
故 的取值范围为: .

34. 已知:函数








(其中常数 ).
(1)求函数



的定义域及单调区间;


【解】 函数



的定义域为



































,解得





,解得

所以



的单调递增区间为



,单调递减区间为









(2)若存在实数



,使得不等式



成立,求 的取值范围.




【解】 由题意可知, ,且









上的最小值不大于

时,存在实数




,使得不等式




成立.

当 ,即 时,







随着 的变化而变化的情况如下表:


















极小值
所以







上的最小值为












,得



当 ,即 时,







上单调递减,则







上的最小值为












,得
综上所述,



35. 已知函数






(1)若 ,求曲线



在点



处的切线方程;


【解】 当 时,由已知得















曲线



在点



处的切线的斜率为





从而曲线



在点



处的切线方程为





即所求切线方程为 .
(2)若函数



在其定义域内为增函数,求正实数 的取值范围;


【解】 由已知得


















,若满足题意,则只需







内恒成立.





当 时,





的图象为开口向上的抛物线,因为其对称轴方程为







所以








由题意得



解得

故正实数 的取值范围是





(3)设函数





,若在



上至少存在一点

,使得









成立,求实数 的
取值范围.


【解】 构造函数













于是本题转化为:当



时,





则有




























当 时,由 ,得



,则







上是增函数,从而












于是



解得





当 时,由 得



所以



,因此不符合题意.
综上,实数 的取值范围是






36. 已知函数









,其中 为大于零的常数,
,函数



的图象与坐标轴交点处的切线为

,函数



的图象与直线
交点处的切线为

,且




(1)若在闭区间



上存在 使不等式







成立,求实数 的取值范围;






【解】 由题意,得



的图象与坐标轴的交点为



,且







则切线

的斜率为




由题意,得



的图象与直线 的交点为



,且








则切线

的斜率为










,得

结合 ,解得


不等式







可化为








,则






























由此, 时,













由 及均值不等式,得
又 时,
从而













所以







上是减函数,故







上是减函数,则










因此,实数 的取值范围是




(2)对于函数







公共定义域内的任意实数

,我们把













值称为两函数在

处的偏差.求证:函数







在其公共定义域内的所有偏
差都大于 .


【解】







公共定义域为






(1),得




















,则







从而







上是增函数,所以













式两边取对数,得





再用 代 ,得

由 ,得














从而













因此,







在其公共定义域内的所有偏差都大于 .

37. 已知函数








(1)求函数在点




处的切线方程;



【解】 因为




所以



在函数的图象上,






所以

























所以所求切线的方程为









,即







(2)当 时,求函数的单调区间与函数在



上的最值;



【解】 当 时,


































,则 或






,则
























所以函数



的单调递增区间为






,单调递减区间为







时,可知函数







上单调递减,在



上单调递增,
所以最小值为



= .













,且










所以









所以函数







上的最小值为 ,最大值为


(3)设





, ,若对于任意的





,存在





,使得










成立,试确定 的取值范围.


【解】 若对于任意的






存在





,使
























又 ,则


















所以







上单调递减,












所以

设函数













上单调递减,
所以









所以 的取值范围为















,即





38. 设函数












(1)当 时,求



的极值;




【解】 解:函数



的定义域为










(1)当 时,














































,解得: 或

.所以,当 变化时,







变化情况如下表:




















由上表可知,



最大








最小




(2)设 、 是曲线



上的两个不同点,且曲线在 、 两点处的切线均与 轴平
行,直线 的斜率为 ,是否存在 ,使得 。 若存在,请求出 的值,若不存
在,请说明理由.


【解】 设

















,由题意可得:









,又










,所以



为方程

的两个正根,故



,且


,即





















































































若存在实数 使得 .则


























所以











,所以










,即







,又








,所以






































所以







上单调递增,所以







,即










矛盾,故不存在这样的 使 .

39. 定义














(1)令函数










的图象为曲线

,曲线

与 轴交于点




过坐标原点 向曲线

作切线,切点为





,设曲线

在 , 之间的曲线段与
线段 , 所围成的图形的面积为 ,求 的值;


【解】





























(如图所示),







又过坐标原点 向曲线

作切线,切点为













解得


































(2)令函数








的图象为曲线

,若存在实数 使得曲线









处有斜率为 的切线,求实数 的取值范围.


【解】

















设曲线








处有斜率为 的切线,由题设






















有解, 存在实数 ,使得














由 得



,代入 得










有解,得






















两者都得出 ,


40. 已知函数










(1)求函数



的单调递增区间;


【答案】






【分析】 本题考查利用导数研究函数单调性.


【解】













解得



. 由



,得











的单调递增区间是










(2)证明:当 时,






【答案】 略


【分析】 移项后研究新函数的最值问题.


【解】 令















,则有









时,



,
所以







上单调递减,故当 时,







,即当 时,





(3)确定实数 的所有可能取值,使得存在

,当




,恒有










【答案】






【分析】 通过研究函数单调性解决问题.


【解】 由

(2)知,当 时,不存在

满足题意.
当 时,对于 ,有







,则







,从而不存在


满足题意.

当 时,今















,则有





















,得





,解得















时,



,故








内单调递增.
从而当




时,







,即








综上, 的取值范围是





课后练习
1. 已知













,若对





















,则实
数 的取值范围是 .
2. 已知函数





( ),









( 为自然对数的底),当
时,



,且 .
(1)求




(2)求函数



可能的最大值和最小值;
(3)若

,当












成立(







的导函数),求最大整



3. 已知曲线









在点



处的切线与 轴垂直,










(1)求 的值和



的单调区间;
(2)已知函数





( 为正实数),若对于任意





,总存在






使得









,求实数 的取值范围.
4. 已知函数












, .
(1)当 时,求函数



的单调减区间;
(2)证明:对于任意正数 ,存在正数 ,使得当



时,有







(3)设

(2)中的 的最大值为



,求



的最大值.
5. 设函数










(1)求



的单调区间和极值;
(2)是否存在实数 ,使得关于 的不等式



的解集为




若存在,求 的取
值范围;若不存在,试说明理由.
6. 已知函数












(1)若函数



的图象在点



处的切线的倾斜角为

,求 的值;
(2)设



的导函数是



.在

(1)的条件下,若



,求







的最小
值;



(3)若存在





,使




,求 的取值范围.
7. 数列




各项均为正数,



,且对任意的

,有










(1)求





的值;



(2)若


,是否存在

,使得

,若存在,试求出 的最小值,若不存在,
请说明理由.
8. 设








(1)求



的极大值;


(2)设 , ,若




























对任意的
















,其中 .
成立,求 的最大值;
(3)设 ,若对任意给定的





,在区间



上总存在



,使













成立,求 的取值范围.
9. 已知曲线









(1)求曲线在点



处的切线;
(2)若存在实数

,使得




,求 的取值范围.
10. 已知函数










(1)若 ,且不等式







上有解,试求 的最小值;
(2)若



是方程



的两实根,且满足



,试求 的范围.
11. 已知函数







, .
(1)解不等式




(2)若不等式





在 上有解,求实数 的取值范围.
12. 已知函数



,其中 .
(1)求



的单调区间;
(2)若对任意的





,总存在





,使得









,求实数 的值.
13. 若存在实数 使



成立,求常数 的取值范围.
14. 已知数列









满足:



















,其
中 为实数, 为正整数.
(1)对任意实数 ,证明数列




不是等比数列;
(2)试判断数列




是否为等比数列,并证明你的结论;
(3)设 ,

为数列




的前 项和.是否存在实数 ,使得对任意正整数 ,都有



若存在,求 的取值范围;若不存在,说明理由.

15. 数列




满足











( ), 是常数.
(1)当

时,求 及

的值;
(2)数列




是否可能为等差数列。若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由;
(3)求 的取值范围,使得存在正整数 ,当 时总有


16. 设函数















(1)讨论函数



的单调性;
(2)若存在



,使得









成立,求满足条件的最大整数 ;



(3)若对任意的
,都有







成立,求实数 的取值范围.


17. 已知函数









为一定点,直线 ( )分别与



的图象和 轴交
于点 , ,记 的面积为




(1)当 时,求函数



的单调区间;
(2)当 时,若





,使得




,求 的取值范围.
18. 已知函数








(1)若



在 处的切线与直线 垂直,求 的值;
(2)若



存在单调递减区间,求 的取值范围.
19. 如图,有一个长方形地块 ,边 为 , 为 .地块的一角是湿地(图中阴
影部分),其边缘线 是以直线 为对称轴,以 为定点的抛物线的一部分,现要铺设一
条过边缘线 上一点 的直线隔离带 , , 分别在边 , 上(隔离带不能穿越湿地,
且占地面积忽略不计).设点 到边 的距离为 (单位: ), 的面积为 (单位:


).


(1)求 关于 的函数
(2)是否存在点 ,使隔离出来的 的面积 超过

。并说明理由.
20. 设函数















( 是实数, 为自然对数的底数).
(1)若



在其定义域内为单调函数,求 的取值范围;
(2)若在



上至少存在一点

,使得









成立,求 的取值范围.
21. 已知函数











(1)当 时,试判断函数







上的单调性;
(2)若函数



在 处取得极小值,




求实数 的取值集合 ;




问是否存在整数 ,使得







对于任意 恒成立.若存在,求出
整数 的值;若不存在,请说明理由.

存在性问题-出门考
姓名 成绩

1. 设函数







(1)当 时,过原点的直线与函数



的图象相切于点 ,求点 的坐标;
(2)当

时,求函数



的单调区间;
(3)当

时,设函数







,若对于











使










成立,求实数 的取值范围( 是自然对数的底数,

).
2. 设函数












,其中 .
(1)当 时,求曲线



在点



处的切线方程;
(2)当 时,求函数



的极大值和极小值;
(3)当 时,证明存在



,使得不等式











对任意的
恒成立.
3. 已知函数














(1)当

时,讨论



的单调性;
(2)设





,当

时,若对任意





,存在





,使










,求实数 的取值范围.
4. 已知函数










(1)记函数










,求函数



的最大值;

若对任意实数 ,总存在实数

,使得




成立,
(2)记函数










求实数 的取值集合.
5. 已知函数 有如下性质:如果常数 ,那么该函数在

上是减函数,在





上是增函数.
(1)已知












,利用上述性质,求函数



的单调区间和值域;
(2)对于

(1)中的函数



和函数



,若对任意





,总存在





,使得









成立,求实数 的值.
6. 已知函数















,其中 .
(1)若



在区间



上有零点,求实数 的取值范围;






(2)设函数



是否存在实数 ,对任意给定的非零实数

,存在唯一的非





零实数







,使得










若存在,求出 的值,若不存在,请说明理由.
7. 已知函数












(1)求函数











的零点个数,并说明理由;
(2)设数列







满足















,证明:存在常数 ,使得对
于任意的

,都有


8. 已知椭圆





( )的离心率为

,点



和点



( )都
在椭圆 上,直线 交 轴于点 .
(1)求椭圆 的方程,并求点 的坐标(用 , 表示).
(2)设 为原点,点 与点 关于 轴对称,直线 交 轴于点 ,问: 轴上是否存在
点 ,使得 。
若存在,求点 的坐标;若不存在,说明理由.
9. 已知函数











(1)当 时,求函数



的单调区间;
(2)若关于 的不等式









上有解,求实数 的取值范围;
(3)若曲线



存在两条互相垂直的切线,求实数 的取值范围;(只需直接写出结果)
10. 已知函数













(1)若 ,求曲线



在点



处的切线方程;
(2)求函数



的单调区间;
(3)设函数





.若至少存在一个





,使得









成立,求实数 的
取值范围.
11. 设 是函数














的一个极值点.
(1)求 与 的关系式(用 表示 ),并求



的单调区间;
(2)设 ,







的取值范围.
12. 已知函数




















(1)当 时,求曲线



在点



处的切线方程;
(2)当 时,求函数



的单调区间;
(3)当

时,函数







上的最大值为 ,若存在



,使得



成立,
求实数 的取值范围.
13. 已知函数







,其中 是自然对数的底数.















.若存在







使得









成立,求
(1)证明:



是 上的偶函数;
(2)若关于 的不等式









上恒成立,求实数 的取值范围;
(3)已知正数 满足:存在





,使得












成立.试比较




的大小,并证明你的结论.
14. 已知函数









在区间



上有最大值 和最小值 .设











(1)求 , 的值;
(2)证明:函数





上是增函数;
(3)若不等式










上有解,求实数 的取值范围.
15. 已知函数












(1)视 讨论函数



的单调区间;
(2)若



,对于



,不等式



都成立,求实数 的取值范围.
16. 已知函数







( 为自然对数的底数).
(1)求函数



的最大值;
(2)设函数












立,求实数 的取值范围.
17. 已知函数





















,其中 , 为自然
对数的底数.
(1)若函数



的图象在点



处的切线过坐标原点,求实数 的值;
(2)若







上为单调递增函数,求实数 的取值范围;
(3)当 时,对于满足



的两个实数



,若存在


使得























,存在实数







,使得










成立,试比较



的大小.
18. 已知





, ,定义域为




(1)当 ,



时,求证: ;
(2)当 时,是否存在



,使得



?
19. 已知定义在 上的偶函数



,当



时,






(1)当



时,求过原点与函数



图象相切的直线的方程;
(2)求最大的整数



,使得存在 ,只要



,就有




20. 已知函数




(1)求



的单调区间;






(2)若在





上存在一点

,使得




成立,求 的取值范围. 高中数学说课
小学教育心理学, 徐汇区爱菊小学, 成都市树德实验中学, 威海市实验中学, 西充中学, 公主岭实验中学, 清泉中学,

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