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人教版高中数学《集合》全部教案

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第一章 集合与简易逻辑
第一教时
教材:集合的概念
目的:要求学生初步理解集合的概念,知道常用数集及其记法;初步了解集合的
分类及性质。
过程:
一、引言:(实例)用到过的“正数的集合”、“负数的集合”
如:2x-1>3

x>2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解
集。

如:几何中,圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
如:自然数的集合 0,1,2,3,……
如:高一

(5)全体同学组成的集合。
结论: 某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。

指出:“集合”如点、直线、平面一样是不定义概念。

二、集合的表示: { … } 如{我校的篮球队员},{太平洋、大西洋、印度洋、
北冰洋}
用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员} ,B={1,2,3,4,5}
常用数集及其记法:
1.非负整数集(即自然数集) 记作:N
2.正整数集 N*或 N
+

3.整数集 Z
4.有理数集 Q
5.实数集 R
集合的三要素: 1

元素的确定性; 2


元素的互异性; 3

元素的无序性
(例子 略)
三、关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属

于集A 记作 aA ,相反,a不属于集A 记作 aA (或aA)
例: 见P
4—5
中例
四、练习 P
5

五、集合的表示方法:列举法与描述法
1.列举法:把集合中的元素一一列举出来。
例:由方程x
2
-1=0的所有解组成的集合可表示为{1,1}
例;所有大于0且小于10的奇数组成的集合可表示为{1,3,5,7,9}
2.描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
① 语言描述法:例{不是直角三角形的三角形}再见P
6

② 数学式子描述法:例 不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2}
或{x:x-3>2} 再见P
6

六、集合的分类
1.有限集 含有有限个元素的集合
2.无限集 含有无限个元素的集合 例题略
3.空集 不含任何元素的集合 
七、用图形表示集合 P
6

八、练习 P
6
小结:概念、符号、分类、表示法
九、作业 P
7
习题1.1

第二教时
教材:

1、复习

2、《课课练》及《教学与测试》中的有关内容
目的: 复习集合的概念;巩固已经学过的内容,并加深对集合的理解。

过程:
一、 复习:(结合提问)
1.集合的概念 含集合三要素
2.集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法

3.集合的分类:有限集、无限集、空集、单元集、二元集
4.关于“属于”的概念
二、 例一 用适当的方法表示下列集合:
1.平方后仍等于原数的数集
解:{x|x
2
=x}={0,1}
2.比2大3的数的集合
解:{x|x=2+3}={5}
3.不等式x
2
-x-6<0的整数解集
解:{xZ| x
2
-x-6<0}={xZ| -24.过原点的直线的集合
解:{(x,y)|y=kx}
5.方程4x
2
+9y
2
-4x+12y+5=0的解集
解:{(x,y)| 4x
2
+9y
2
-4x+12y+5=0}={(x,y)| (2x-1)
2
+(3y+2)
2
=0}={(x,y)|
(12,-23)}
6.使函数y=
1
xx6
2
有意义的实数x的集合
解:{x|x
2
+x-60}={x|x2且x3,xR}
三、 处理苏大《教学与测试》第一课 含思考题、备用题
四、 处理《课课练》
五、
作业 《教学与测试》 第一课 练习题

第三教时
教材: 子集
目的: 让学生初步了解子集的概念及其表示法,同时了解等集与真子集的有关概
念.
过程:
一 提出问题:现在开始研究集合与集合之间的关系.
存在着两种关系:“包含”与“相等”两种关系.
二 “包含”关系—子集

1. 实例: A={1,2,3} B={1,2,3,4,5} 引导观察.
结论: 对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元
素,
则说:集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,记作AB (或BA)
也说: 集合A是集合B的子集.
2. 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB (或BA)
注意: 也可写成;也可写成; 也可写成;也可写成。
3. 规定: 空集是任何集合的子集 . φA
三 “相等”关系
1. 实例:设 A={x|x
2
-1=0} B={-1,1} “元素相同”
结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的
元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A
等于集合B, 即: A=B
2. ① 任何一个集合是它本身的子集。 AA
② 真子集:如果AB ,且A B那就说集合A是集合B的真子集,记作




A B
③ 空集是任何非空集合的真子集。
④ 如果 AB, BC ,那么 AC
证明:设x是A的任一元素,则 xA


AB,

xB 又

BC

xC 从而 AC
同样;如果 AB, BC ,那么 AC
⑤ 如果AB 同时 BA 那么A=B
四 例题: P8 例一,例二 (略) 练习 P9
补充例题 《课课练》 课时2 P3
五 小结:子集、真子集的概念,等集的概念及其符号
几个性质: AA
AB, BC AC

AB BA A=B
作业:P10 习题1.2 1,2,3 《课课练》 课时中选择
第四教时
教材:全集与补集
目的:要求学生掌握全集与补集的概念及其表示法
过程:
一 复习:子集的概念及有关符号与性质。
提问(板演):用列举法表示集合:A={6的正约数},B={10的正约数},
C={6与10的正公约数},并用适当的符号表示它们之间的关系。
解: A=1,2,3,6}, B={1,2,5,10}, C={1,2}
CA,CB
二 补集
1.实例:S是全班同学的集合,集合A是班上所有参加校运会同学的集合,
集合B是班上所有没有参加校运动会同学的集合。

集合B是集合S中除去集合A之后余下来的集合。
结论:设S是一个集合,A是S的一个子集(即
AS
),由S中所有不
属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
记作: C
s
A 即 C
s
A ={x  xS且 xA}


2.例:S={1,2,3,4,5,6} A={1,3,5} C
s
A ={2,4,6}
三 全集
定义: 如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就
可以看作一个全集。
通常用U来表示。
如:把实数R看作全集U, 则有理数集Q的补集C
U
Q是全体无理数的集合。
四 练习:P10(略)
五 处理 《课课练》课时3 子集、全集、补集
(二)
S
C
s
A
A

六 小结:全集、补集
七 作业 P10 4,5
《课课练》课时3 余下练习
第五教时
教材: 子集,补集,全集
目的: 复习子集、补集与全集,要求学生对上述概念的认识更清楚,并能较好
地处理有关问题。
过程:
一、复习:子集、补集与全集的概念,符号
二、辨析: 1


补集必定是全集的子集,但未必是真子集。什么时候是真子集。
2

AB 如果把B看成全集,则C
B
A是B的真子集吗。什么时候(什
么条件下)C
B
A是B的真子集。
三、处理苏大《教学与测试》第二、第三课
作业为余下部分选
第六教时
教材: 交集与并集

(1)
目的: 通过实例及图形让学生理解交集与并集的概念及有关性质。

过程:
六、 复习:子集、补集与全集的概念及其表示方法
提问(板演):U={x|0

x<6,xZ} A={1,3,5} B={1,4}
求:CuA= {0,2,4}. CuB= {0,2,3,5}.
七、 新授:


1、实例: A={a,b,c,d} B={a,b,e,f}




公共部分 A∩B 合并在一起 A∪B
c d a b e f
c d a b e f



2、定义: 交集: A∩B ={x|xA且xB} 符号、读法
并集: A∪B ={x|xA或xB}
见课本P10--11 定义 (略)


3、例题:课本P11例一至例五
练习P12
补充: 例一、设A={2,-1,x
2
-x+1}, B={2y,-4,x+4}, C={-1,7} 且A∩
B=C求x,y。
解:由A∩B=C知 7A ∴必然 x
2
-x+1=7 得
x
1
=-2, x
2
=3
由x=-2 得 x+4=2C ∴x-2
∴x=3 x+4=7C 此时 2y=-1 ∴y=-
∴x=3 , y=-
例二、已知A={x|2x
2
=sx-r}, B={x|6x
2
+(s+2)x+r=0} 且 A∩B={}求A∪B。

解:

11

2

2
sr
11
∵A且 B ∴


31
22

(s2)r0

22
1
2
1
2
1
2




2rs1

2rs5

3
2
解之得 s= 2 r= 
∴A={
,
} B={
,
}
∴A∪B={
,
,}
三、小结: 交集、并集的定义
四、作业:课本 P13习题

1、3 1--5
补充:设集合A = {x | 4

x

2}, B = {x | 1

x

3}, C = {x |x

0或x

},
求A∩B∩C, A∪B∪C。
《课课练》 P 6--7 “基础训练题”及“ 例题推荐”

5
2
1
2
3
2
1
2
1
2
3
2
1
2
1
2
第七教时

教材:交集与并集

(2)
目的:通过复习及对交集与并集性质的剖析,使学生对概念有更深刻的理解
过程:一、复习:交集、并集的定义、符号
提问(板演):(P
13
例8 )
设全集 U = {1,2,3,4,5,6,7,8},A = {3,4,5} B = {4,7,
8}
求:(C
U
A)∩(C
U
B), (C
U
A)∪(C
U
B), C
U
(A∪B), C
U
(A∩B)
解:C
U
A = {1,2,6,7,8} C
U
B = {1,2,3,5,6}
(C
U
A)∩(C
U
B) = {1,2,6}
(C
U
A)∪(C
U
B) = {1,2,3,5,6,7,8}

A∪B = {3,4,5,7,8} A∩B = {4}
∴ C
U
(A∪B) = {1,2,6}
C
U
(A∩B) = {1,2,3,5,6,7,8,}
结合图 说明:我们有一个公式:
U
A
B
(C
U
A)∩( C
U
B) = C
U
(A∪B)
(C
U
A)∪( C
U
B) = C
U
(A∩B)

二、另外几个性质:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,
A∪A = A, A∪φ= A , A∪B = B∪A.
(注意与实数性质类比)
例6 ( P
12
) 略
进而讨论 (x,y) 可以看作直线上的点的坐标
A∩B 是两直线交点或二元一次方程组的解
同样设 A = {x | x
2
x6 = 0} B = {x | x
2
+x12 = 0}
则 (x
2
x6)(x
2
+x12) = 0 的解相当于 A∪B
即: A = {3,2} B = {4,3} 则 A∪B = {4,2,3}
三、关于奇数集、偶数集的概念 略 见P
12


例7 ( P
12
) 略
练习 P
13

四、关于集合中元素的个数
规定:集合A 的元素个数记作: card (A)
作图 观察、分析得:
A
B

card (A∪B)  card (A) + card (B)
card (A∪B) = card (A) +card (B) card (A∩B)
五、(机动):《课课练》 P
8
课时5 “基础训练”、“例题推荐”
六、作业: 课本 P
14


6、

7、8
《课课练》 P
8—9
课时5中选部分

第八教时
教材:交集与并集

(3)
目的:复习交集与并集,并处理“教学与测试”内容,使学生逐步达到熟练技巧。
过程:
一、复习:交集、并集
二、1.如图

(1) U是全集,A,B是U的两个子集,图中有四个用数字
标出的区域,试填下表:

区域号

相应的集合

1

2






1
A
3
2
U
2
1 U
A
5
6
3
B
8
7
4
C
集合 相应的区域号
A
B
U
A∩B
2,3
3,4
1,2,3,4
3
C
U
A∩C
U
B
A∩C
U
B
A∩B
C
U
A∩B
3
4
B
4



(1)


(2)
2.如图

(2) U是全集,A,B,C是U的三个子集,图中有8个用数
字标
出的区域,试填下表: (见右半版)
3.已知:A={(x,y)|y=x
2
+1,xR} B={(x,y)| y=x+1,xR }求A∩B。
解:
∴ A∩B= {(0,1),(1,2)}

区域号
1
2
3
4
5
6
7
8
相应的集合
C
U
A∩C
U
B∩C
U
C
A∩C
U
B∩C
U
C
A∩B∩C
U
C
C
U
A∩B∩C
U
C
A∩C
U
B∩C
A∩B∩C
C
U
A∩B∩C
C
U
A∩C
U
B∩C
三、《教学与测试》P7-P8 (第四课) P9-P10 (第五课)中例题
如有时间多余,则处理练习题中选择题
四、作业: 上述两课练习题中余下部分

第九教时
(可以考虑分两个教时授完)
教材: 单元小结,综合练习
目的: 小结、复习整单元的内容,使学生对有关的知识有全面系统的理解。

过程:
一、复习:
1.基本概念:集合的定义、元素、集合的分类、表示法、常见数集

2.含同类元素的集合间的包含关系:子集、等集、真子集
3.集合与集合间的运算关系:全集与补集、交集、并集
二、苏大《教学与测试》第6课 习题课

(1)其中“基础训练”、例题
三、补充:(以下选部分作例题,部分作课外作业)





1、用适当的符号(,,







,=,)填空:
0  ; 0  N; 




{0}; 2  {x|x2=0};
{x|x
2
-5x+6=0} = {2,3}; (0,1)  {(x,y)|y=x+1};

{x|x=4k,kZ}



{y|y=2n,nZ}; {x|x=3k,kZ}  {x|x=2k,kZ};

{x|x=a
2
-4a,aR}




{y|y=b
2
+2b,bR}


2、用适当的方法表示下列集合,然后说出其是有限集还是无限集。
① 由所有非负奇数组成的集合; {x=|x=2n+1,nN} 无限集
② 由所有小于20的奇质数组成的集合; {3,5,7,11,13,17,19} 有限集
③ 平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合; {(x,y)|x<0,y>0} 无限

④ 方程x
2
-x+1=0的实根组成的集合;  有限集
⑤ 所有周长等于10cm的三角形组成的集合;
{x|x为周长等于10cm的三角形} 无限集


3、已知集合A={x,x
2
,y
2
-1}, B={0,|x|,y} 且 A=B求x,y。
解:由A=B且0B知 0A
若x
2
=0则x=0且|x|=0 不合元素互异性,应舍去
若x=0 则x
2
=0且|x|=0 也不合
∴必有y
2
-1=0 得y=1或y=-1
若y=1 则必然有1A, 若x=1则x
2
=1 |x|=1同样不合,应舍去
若y=-1则-1A 只能 x=-1这时 x
2
=1,|x|=1 A={-1,1,0} B={0,1,-1}
即 A=B
综上所述: x=-1, y=-1


4、求满足{1}




A{1,2,3,4,5}的所有集合A。

解:由题设:二元集A有 {1,2}、{1,3}、{1,4}、{1,5}
三元集A有 {1,2,3}、{1,2,4}、{1,2,5}、{1,3,4}、{1,3,5}、{1,4,5}
四元集A有 {1,2,3,4}、{1,2,3,5}、{1,2,4,5}、{1,3,4,
5}
五元集A有 {1,2,3,4,5}


5、设U={xN|x<10}, A={1,5,7,8}, B={3,4,5,6,9}, C={xN|0

2x-3<7} 求:
A∩B,A∪B,(C
u
A)∩(C
u
B), (C
u
A)∪(C
u
B),A∩C, [C
u
(C∪B)]∩(C
u
A)。


解:U={xN|x<10}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, C={xN|

x<5}={2,3,4}
A∩B={5} A∪B={1,3,4,5,6,7,8,9}
∵CuA={0,2,3,4,6,9} CuB={0,1,2,7,8}
∴(CuA)∩(CuB)={0,2} (CuA)∪(CuB)={0,1,2,3,4,6,7,8,9}
A∩C= 又 ∵C∪B={2,3,4,5,6,9} ∴Cu(C∪B)={0,1,7,8}
∴[Cu(C∪B)]∩(CuA)={0}


6、设A={x|x=12m+28n,m、nZ}, B={x|x=4k,kZ} 求证:1


8A 2



A=B
证:1

若12m+28n=8 则m=
m均不为整数 当n=3l+2(lZ)时 m=-7l-4也为整数
-1Z
∴8A
2

任取x
1
A 即x
1
=12m+28n (m,nZ)
由12m+28n=4=4(3m+7n) 且3m+7nZ 而B={x|x=4k,kZ}
∴12m+28nB 即x
1
B 于是AB
任取x
2
B 即x
2
=4k, kZ
由4k=12×(-2)+28k 且 -2kZ 而A={x|x=12m+28n,m,mZ}
∴4kA 即x
2
A 于是 BA
综上:A=B


7、设 A∩B={3}, (CuA)∩B={4,6,8}, A∩(CuB)={1,5}, (CuA)∪(CuB)
={xN*|x<10且x3} , 求Cu(A∪B), A, B。

解一: (CuA)∪(CuB) =Cu(A∩B)={xN*|x<10且x3} 又:A∩B={3}
U=(A∩B)∪Cu(A∩B)={ xN*|x<10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A∪B中的元素可分为三类:一类属于A不属于B;一类属于B不属于A;一类
既属A又属于B
由(C
u
A)∩B={4,6,8} 即4,6,8属于B不属于A
由(C
u
B)∩A={1,5} 即 1,5 属于A不属于B
由A∩B ={3} 即 3 既属于A又属于B
∴A∪B ={1,3,4,5,6,8}
∴C
u
(A∪B)={2,7,9}
A中的元素可分为两类:一类是属于A不属于B,另一类既属于A又属于B
∴A={1,3,5}
同理 B={3,4,6,8}
解二 (韦恩图法) 略
7n2
当n=3l或n=3l+1(lZ)时
3
3
2
不妨设 l=-1则 m=3,n=-1 ∵8=12×3+28×(-1) 且 3Z



8、设A={x|3

x

a}, B={y|y=3x+10,xA}, C={z|z=5x,xA}且B∩C=C
求实数a的取值。
解:由A={x|3

x

a} 必有a

3 由3

x

a知
3×(3)+10

3x+10

3a+10
故 1

3x+10

3a+10 于是 B={y|y=3x+10,xA}={y|1

y

3a+10}
又 3

x

a ∴a

x

3 5a

5x

8
∴C={z|z=5x,xA}={z|5a

z

8}
由B∩C=C知 CB 由数轴分析:

 

a

4 且都适合a

3
2
3

3a108
且 a

3
5a1

综上所得:a的取值范围{a|

a

4 }


9、设集合A={xR|x
2
+6x=0},B={ xR|x
2
+3(a+1)x+a
2
1=0}且A∪B=A求实
数a的取值。
解:A={xR|x
2
+6x=0}={0,6} 由A∪B=A 知 BA
时 B={0,6}

2

a10
2
B={xR|x+6x=0}=A

当B A




2
3
当B=A

3(a1)6
 a=1 此时
1


若 B 则 B={0}或 B={6}
由 =[3(a+1)]
2
4(a
2
1)=0 即5a
2
+18a+13=0 解得a=1或 a=
13
5


当a=1时 x=0 ∴B={0} 满足B A



2
当a=
13
5
时 方程为
x
2

∴B={
2

若B= 即 0 由 =5a
2
+18a+130 解得

此时 B= 也满足B A



12
} 则 BA(故不合,舍去)
5
2414412
x0
x
1
=x
2
=
5255
13
a1
5
综上: 


10、方程x
2
ax+b=0的两实根为m,n,方程x
2
bx+c=0的两实根为p,q,其中m、
n、p、q互不相等,集合A={m,n,p,q},作集合S={x|x=+,A,A且},
P={x|x=,A,A且},若已知S={1,2,5,6,9,10},P={7,3,2,6,
14,21}求a,b,c的值。

解:由根与系数的关系知:m+n=a mn=b p+q=b pq=c
又: mnP p+qS 即 bP且 bS
∴ bP∩S 又由已知得 S∩P={1,2,5,6,9,10}∩
{7,3,2,6,14,21}={6}
∴b=6
又:S的元素是m+n,m+p,m+q,n+p,n+q,p+q其和为
13
a

1或 a=1
5

3(m+n+p+q)=1+2+5+6+9+10=33 ∴m+n+p+q=11 即 a+b=11
由 b=6得 a=5
又:P的元素是mn,mp,mq,np,nq,pq其和为
mn+mp+mq+np+nq+pq=mn+(m+n)(p+q)+pq=732+6+14+21=29
且 mn=b m+n=a p+q=b pq=c
即 b+ab+c=29 再把b=6 , a=5 代入即得 c=7
∴a=5, b=6, c=7
四、作业:《教学与测试》余下部分及补充题余下部分


第十一教时
教材:含绝对值不等式的解法
目的:从绝对值的意义出发,掌握形如 | x | = a的方程和形如 | x | > a, | x | < a (a>0)
不等式的解法,并了解数形结合、分类讨论的思想。

过程:
一、实例导入,提出课题
实例:课本 P14(略) 得出两种表示方法:
1.不等式组表示:

≤5
课题:含绝对值不等式解法
二、形如 | x | = a (a

0) 的方程解法
复习绝对值意义:| a | =

几何意义:数轴上表示 a 的点到原点的距离
. 例:| x | = 2 .
三、形如| x | > a与 | x | < a 的不等式的解法
-2 0 2
例 | x | > 2与 | x | < 2
1从数轴上,绝对值的几何意义出发分析、作图。解之、见 P15 略
结论:不等式 | x | > a 的解集是 { x | a< x < a}
| x | < a 的解集是 { x | x > a 或 x < a}
2从另一个角度出发:用讨论法打开绝对值号
| x | < 2





 0

x < 2或2 < x < 0
x2x2

合并为 { x | 2 < x < 2}
同理 | x | < 2





 { x | x > 2或 x < 2}
x2x2


x0

x0

x0

x0

x5005

500x5

2.绝对值不等式表示::| x  500 |
(a0)

a

(a0)


0

a(a0)


3例题 P15 例一、例二 略
4《课课练》 P12 “例题推荐”
四、小结:含绝对值不等式的两种解法。
五、作业: P16 练习 及习题1.4
第十二教时
教材:一元二次不等式解法
目的:从一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系出发,掌握运用二次
函数求解一元二次不等式的方法。

过程 :
一、课题:一元二次不等式的解法
先回忆一下初中学过的一元一次不等式的解法:如 2x7>0

x>
这里利用不等式的性质解题
y

从另一个角度考虑:令 y=2x7 作一次函数图象:
引导观察,并列表,见 P17 略
当 x=3.5 时, y=0 即 2x7=0
当 x<3.5 时, y<0 即 2x7<0
当 x>3.5 时, y>0 即 2x7>0
结论:略 见P17
注意强调:1直线与 x轴的交点x
0
是方程 ax+b=0的解
2当 a>0 时, ax+b>0的解集为 {x | x > x
0
}

当 a<0 时, ax+b<0可化为 axb<0来解
二、一元二次不等式的解法
同样用图象来解,实例:y=x
2
x6 作图、列表、观察
当 x=2 或 x=3 时, y=0 即 x
2
x6=0
当 x<2 或 x>3 时, y>0 即 xx6>0
当 22
x6<0
∴方程 x
2
x6=0 的解集:{ x | x = 2或 x = 3 }
不等式 x
2
x6 > 0 的解集:{ x | x < 2或 x > 3 }
不等式 x
2
x6 < 0 的解集:{ x | 2 < x < 3 }
2
7
2
O
x
y
2 O 3 x

这是 △>0 的情况:
若 △=0 , △<0 分别作图观察讨论
得出结论:见 P18--19
说明:上述结论是一元二次不等式 ax+bx+c>0(<0) 当 a>0时的情况
若 a<0, 一般可先把二次项系数化成正数再求解
三、例题 P19 例一至例四
练习:(板演)
有时间多余,则处理《课课练》P14 “例题推荐”
四、小结:一元二次不等式解法(务必联系图象法)
五、作业:P21 习题 1.5
《课课练》第8课余下部分
第十三教时
教材:一元二次不等式解法(续)
目的:要求学生学会将一元二次不等式转化为一元二次不等式组求解的方法,进
而学会简单分式不等式的解法。
过程:
一、复习:(板演)
一元二次不等式 ax
2
+bx+c>0与 ax
2
+bx+c<0 的解法
(分 △>0, △=0, △<0 三种情况)
1.2x
4
x
2
1

0 2.1

x
2
2x<3 (《课课练》 P15 第8题中)
解:1.2x
4
x
2
1

0

(2x
2
+1)(x
2
1)

0

x
2

1


x

1 或 x

1




x
2
2x3
2.1

x2x<3







x2x1

1x3






x12或x1
2


x
2
2x30


2

x2x10


2


1
1
2
或 1+
2

x<3
二、新授:
1.讨论课本中问题:(x+4)(x1)<0

等价于(x+4)与(x1)异号,即:




x10

解之得:4 < x < 1 与 无解

x40

x10


x40

x10


x40
∴原不等式的解集是:{ x |

}∪{ x |


x40

x10

}
={ x | 4 < x < 1 }∪φ= { x | 4 < x < 1 }
同理:(x+4)(x1)>0 的解集是:{ x |

2.提出问题:形如

x40


x10
}∪{ x |

xa
0
的简单分式不等式的解法:
xb

xa0

xa0
同样可转化为一元二次不等式组 { x |

}∪{ x |

}
xb0xb0

xa
0
也可转化(略)
xb

x40


x10
}
注意:1实际上 (x+a)(x+b)>0(<0) 可考虑两根 a与 b,利用法则
求解:但此时必须注意 x 的系数为正。

2简单分式不等式也同样要注意的是分母不能0(如
时)
3形如
xa
c0
的分式不等式,可先通分,然后用上述方
xb
xa
0
xb
法求解
3.例五:P21 略
4.练习 P21 口答板演
三、如若有时间多余,处理《课课练》P16--17 “例题推荐”
四、小结:突出“转化”
五、作业:P22 习题1.5 2--8 及《课课练》第9课中挑选部分
第十四教时
教材: 苏大《教学与测试》P13-16第七、第八课
目的: 通过教学复习含绝对值不等式与一元二次不等式的解法,逐步形成教熟
练的技巧。
过程:
一、复习:1. 含绝对值不等式式的解法:

(1)利用法则;


(2)讨论,打开绝对值符号
2.一元二次不等式的解法:利用法则(图形法)

二、处理苏大《教学与测试》第七课 — 含绝对值的不等式
《课课练》P13 第10题:

(a1)
2
(a1)
2


设A=

x|x

B={x|2

x

3a+1}是否存在实数a的值,
22


分别使得:(1) A∩B=A (2)A∪B=A
(a1)
2
(a1)
2
(a1)
2
解:∵

∴ 2a

x

a
2
+1
x
222
∴ A={x|2a

x

a
2
+1}
(1) 若A∩B=A 则AB ∴ 2

2a

a
2
+1

3a+1

1

a

3
(2) 若A∪B=A 则BA
∴当B=Ø时 2>3a+1

a<
1
3

当BØ时 2a

2

3a+1

a
2
+1 无解
∴ a<
1
3

三、处理《教学与测试》第八课 — 一元二次不等式的解法
《课课练》 P19 “例题推荐” 3
关于x的不等式
x
2
kxk
xx3
2
3
对一切实数x恒成立, 求实数k的取值范围。

解:∵ x
2
x+3>0恒成立 ∴ 原不等式可转化为不等式组:


2x
2


k3

x9k0


2


4xk3x9k0

由题意上述两不等式解集为实数

9k7

2



1


k3

8

9k

0


2



2


k3

16

9k

0




5410k7

5410k5410

即为所求。
四、作业:《教学与测试》第七、第八课中余下部分。

第十五教时
教材:二次函数的图形与性质(含最值);
苏大《教学与测试》第9课、《课课练》第十课。
目的: 复习二次函数的图形与性质,期望学生对二次函数y=ax
2
+bx+c的三个参
数a,b,c的作用及对称轴、顶点、开口方向和 △ 有更清楚的认识;同时对
闭区间内的二次函数最值有所了解、掌握。
过程:

一、复习二次函数的图形及其性质 y=ax
2
+bx+c (a0)
1.配方
y
b

4acb
2

ya

x


2a4a

2
顶点,对称轴
2.交点:与y轴交点(0,c)
(0,c)
x
与x轴交点(x
1
,0)(x
2
,0)
求根公式
x
1
x
2


a
O

x
1
x
2

3.开口
4.增减情况(单调性) 5.△的定义
二、图形与性质的作用 处理苏大《教学与测试》第九课
例题:《教学与测试》P17-18例一至例三 略
三、关于闭区间内二次函数的最值问题
结合图形讲解: 突出如下几点:
1.必须是“闭区间” a
1

x

a
2
2.关键是“顶点”是否在给定的区间内;
3.次之,还必须结合抛物线的开口方向,“顶点”在区间中点的左侧还是右
侧综合判断。
处理《课课练》 P20“例题推荐”中例一至例三 略
四、小结:1


调二次函数y=ax
2
+bx+c (a0) 中三个“参数”的地位与作用。
我们实际上就是利用这一点来处理解决问题。

2


于二次函数在闭区间上的最值问题应注意顶点的位置。

五、作业: 《课课练》中 P21

6、

7、8
《教学与测试》 P18

5、

6、

7、8 及“思考题”
a
1
O
a
2
x
y
第十六教时
教材: 一元二次方程根的分布
目的: 介绍符号“f(x)”,并要求学生理解一元二次方程ax
2
+bx+c=0 (a0)的根的
分布与系数a,b,c之间的关系,并能处理有关问题。
过程:
一、为了本课教学内容的需要与方便,先介绍函数符号“f(x)”。
如:二次

函数记作f(x)= ax
2
+bx+c (a0) x=1时的函数值记作f(1) 即
f(1)=a+b+c
二、 例一 已知关于x的方程 (k2)x
2
(3k+6)x+6k=0有两个负根,求k的
取值范围。


2



3k6

2
4

k2

6k0


5
k6

3k6
2
解:




0

2k2

k0


k2
5

k0或k2


6k


0


k2



此题主要依靠

及韦达定理求解,但此法有时不大奏效。

例二 实数a在什么范围内取值时,关于x的方程3x
2
5x+a=0的一根
大于2而小于0,另一根大于1而小于3。
y

f(2)3

2

2
5

2

a0


f(0)a0


f(1)35a0


f(3)33
2
53a0

解:
f(-2)
-2 O
1
f(3)
3
x


12f(1)

此题利用函数图象及函数值来“控制”一元二次方程根的分布。
例三 已知关于x的方程x
2
2tx+t
2
1=0的两个实根介于2和4之间,
求实数t的取值。

y
解:
O
4
-2
x

f(2)t
2
4t30

2

f(4)t8t150


4t
2
4(t
2
1)40


b

2t4

2a


1t3

此题既利用了函数值,还利用了

及顶点坐标来解题。

三、作业题(补充)
*1. 关于x的方程x
2
+ax+a1=0,有异号的两个实根,求a的取值
范围。(a<1)
*2. 如果方程x
2
+2(a+3)x+(2a3)=0的两个实根中一根大于3,另一根
小于3,求实数a的取值范围。
(a<3)
*3. 若方程8x
2
+(m+1)x+m7=0有两个负根,求实数m的取值范围。
(m>7)
*4. 关于x的方程x
2
ax+a
2
4=0有两个正根,求实数a的取值范围。

(a>2)
(注:上述题目当堂巩固使用)
5.设关于x的方程4x
2
4(m+n)x+m
2
+n
2
=0有一个实根大于1,另
一个实根小于1,则m,n必须满足什么关系。
((m+2)
2
+(n+2)
2
<4)

6.关于x的方程2kx
2
2x3k2=0有两个实根,一根大于1另一个
实根小于1,求k的取值范围。
(k<4 或 k>0)
7.实数m为何值时关于x的方程7x
2
(m+13)x+m
2
m2=0的两个
实根x
1
,x
2
满足01
2
<2。 (238.已知方程x
2
+ (a
2
9)x+a
2
5a+6=0的一根小于0,另一根大于2,
求实数a的取值范围。
(29.关于x的二次方程2x
2
+3x5m=0有两个小于1的实根,求实数
m的取值范围。 (940

m<1)
10.已知方程x
2
mx+4=0在1

x

1上有解,求实数m的取值范
围。

m
2
160

2x
1
x
2
2
解:如果在1

x

1上有两个解,则



f

1

0


f

1

0


m

如果有一个解,则f(1)•f(1)

0 得 m
≤5 或 m≥5




(附:作业补充题)





作 业 题
(补充)

*1. 关于x的方程x
2
+ax+a1=0,有异号的两个实根,求a的取值范围。
*2. 如果方程x
2
+2(a+3)x+(2a3)=0的两个实根中一根大于3,另一根小于3,
求实数a的取值范围。

*3. 若方程8x
2
+(m+1)x+m7=0有两个负根,求实数m的取值范围。
*4. 关于x的方程x
2
ax+a
2
4=0有两个正根,求实数a的取值范围。

(注:上述题目当堂巩固使用)
5.设关于x的方程4x
2
4(m+n)x+m
2
+n
2
=0有一个实根大于1,另一个实根
小于1,则m,n必须满足什么关系。
6.关于x的方程2kx
2
2x3k2=0有两个实根,一根大于1另一个实根小于
1,求k的取值范围。


7.实数m为何值时关于x的方程7x
2
(m+13)x+m
2
m2=0的两个实根x
1
,x
2
满足01
2
<2。
8.已知方程x
2
+ (a
2
9)x+a
2
5a+6=0的一根小于0,另一根大于2,求实数a
的取值范围。
9.关于x的二次方程2x
2
+3x5m=0有两个小于1的实根,求实数 m的取值
范围。

10.已知方程x
2
mx+4=0在1

x

1上有解,求实数m的取值范围。







作 业 题
(补充)

*1. 关于x的方程x
2
+ax+a1=0,有异号的两个实根,求a的取值范围。
*2. 如果方程x
2
+2(a+3)x+(2a3)=0的两个实根中一根大于3,另一根小于3,
求实数a的取值范围。
*3. 若方程8x
2
+(m+1)x+m7=0有两个负根,求实数m的取值范围。
*4. 关于x的方程x
2
ax+a
2
4=0有两个正根,求实数a的取值范围。

(注:上述题目当堂巩固使用)
5.设关于x的方程4x
2
4(m+n)x+m
2
+n
2
=0有一个实根大于1,另一个实根
小于1,则m,n必须满足什么关系。
6.关于x的方程2kx
2
2x3k2=0有两个实根,一根大于1另一个实根小于
1,求k的取值范围。

7.实数m为何值时关于x的方程7x
2
(m+13)x+m
2
m2=0的两个实根x
1
,x
2
满足01
2
<2。
8.已知方程x
2
+ (a
2
9)x+a
2
5a+6=0的一根小于0,另一根大于2,求实数a
的取值范围。
9.关于x的二次方程2x
2
+3x5m=0有两个小于1的实根,求实数 m的取值

范围。
10.已知方程x
2
mx+4=0在1

x

1上有解,求实数m的取值范围。







第十七教时
教材: 绝对值不等式与一元二次不等式练习课
目的: 通过练习逐步做到能较熟练掌握上述两类不等式的解法。
过程:
一、复习:绝对值不等式与一元二次不等式的复习。

二、例题:


1、解不等式
21
35x35x
2
和②
12

44
9
7
解①:
x
解②:
x

5
5
7979
∴原不等式的解集是{x|
x
}∪{x|
x
}={x|
x

x
5555
25x15



2、解不等式
346
525x15
解:原不等式可化为:


1020x1110

6346
121121
∴ ∴原不等式的解集是{x| }
xx
20202020
35x
4

解:原不等式可化为:①
1
}



5

25x1

3

4

6
或解:原不等式化为

(略)

25x15


46

3


3、解关于x的不等式
2x31a
(aR)
解:原不等式可化为:
2x3a1

当 a+1>0 即a>1时 (a+1)<2x+3
当 a+1

0即 a

1时 解集为Ø
∴当a>1时 原不等式的解集是 {x|

当a

1时 解集为Ø


4、解不等式
214x7

a4a2
x
};
22
a4a2
x

22

解一:原不等式可化为:
24x17

13

x或x

4x12

313
44
x或x2







3
4x17
244



x2
2


1

11

4x1当x时


xx
4
∴ Ⅰ:

解二: ∵
14x

Ⅱ:

4

4
1


14x当x时

24x17

214x7
4

(下略)
解三:原不等式解集等价于下面两个不等式解集的并集:2

14x<7
2

(14x)<7
(下略)


5、解不等式 |x+2| + |1x|解:原不等式即为 |x+2| + |x1| Ⅰ:



Ø
x21xx4

Ⅱ:



1x21xx4

Ⅲ:



1

x
<
3
x2x1x4

∴ 原不等式的解集为:{x|1

6、解下列不等式:
① 3-6x-2x
2
<0
解:整理得 2x
2
+6x-3<0用求根公式求根得解集{x|
② (x-1)(3-x) 解:整理得 2x
2
3x+4>0 ∵
230
∴不等式解集为 R

x41
0
不等式解集为{x|x

-4或x>}
3x13

3x10

3x10
或解:取并集




2x53x12x53x1

315315
}
x
22

x1

2x1

x2
2x5
1

3x1
解:移项,通分,整理得
④ 0

x
2
-2x-3<5
解:原不等式的解集为下面不等式组的解集



x
2
2x30


2

x2x55





x1或x3


2x4
∴原不等式的解集为 {x|-2
-1 或 3

x<4}



7、已知U=R且 A={x|x
2
-5x-6<0} B={x| |x-2|

1} 求:
1)A∩B 2)A∪B 3)(C
u
A)∩(C
u
B)
解:A={x|-1
1或x

3}

A∩B={x|-1
1或3

x<6} A∪B=R
C
u
A={x|x

-1或x

6} C
u
B={x|1 ∴(C
u
A)∩(C
u
B)= {x|x

-1或x

6}∪{x|1 也可求 C
u
(A∪B)= Ø


8、解关于x的不等式 (1-a)x
2
+4ax-(4a+1)>0 (aR)
解:1 当1-a=0即 a=1时 原不等式化为 4x-5>0 x>
2 当 1-a>0即a<1时 ∵

=4(3a+1)
(1)当


a1

3a10

5
4
1

a1


>0
3

2a3a12a3a1


或x


1a1a


此时原不等式的解集是


x|x


1
(2)当a=



=0 原不等式化为 4x
2
-4x+1>0 即 (2x-1)
2
>0
3
1
此时原不等式的解集是 {xR|x}
2
1
(3)当a<



<0 且 1-a>0 此时原不等式的解集为R
3
3 当1-a<0即a>1时 原不等式可化为 (a-1)x
2
-4ax+(4a+1)<0
这样a-1>0这时

=4(3a+1)>0 用求根公式求得:


1
综上可得:当a<-时原不等式解集为R
3
1
1
当a=-时原不等式解集为{xR|x}
2
3

2a3a12a3a1

1

或x

a1
时原不等式解集为


x|x


1a1a
3


5
当a=1时原不等式解集为{x| x>}
4

2a3a12a3a1


x|x
当a>1时原不等式解集为



a1a1


此时原不等式的解集为:


x|

2a3a12a3a1


x


a1a1


x
2
x30


9、已知A={x| |x-a|

1} B={x|
0
}且A∩B=Ø求a的范围。
x3
解:化简A={a-1
≤x≤
a+1}
(x6)(x5)
x
2
x30


0 介绍“标根法”
0



x3
x3
B={x|-5

x<3 或 x

6}
要使A∩B=Ø必须满足 a+1<-5 或

即a<-6或4

a<5

a16
∴ 满足条件的a的范围是a<-6或4

a<5


10、

(1)若不等式 (1-a)x
2
-4x+6>0的解集是{x|-3

(2)若-32
-4x+6>0成立, 求a的取值范围。


a13


4

1a
312
解:

(1)由题设可知 1-a<0



a3

6

313

1a


(2)设 y=(1-a)x
2
-4x+6
1
3
1

当1-a>0即a<1时 抛物线开口向上

=24a-8
当a<时

<0 解集为R -3
>0 此时对称轴 x=-
1
3
1
3
42
3
而x=1时y=3-a>0
2(1a)1a
由图象可知: -30
当a=时
0
这时对x3都有y>0 故-3∴ a<1时 若-32
-4x+6>0都成立
2


当a=1时不等式为-4x+6>0对于-3即-4x+6>0成立
3当a>1时1-a<0 抛物线开口向下 要使-32
-4x+6>0成立

必须

a1



x3时y0


x1时y0


a1




9(1a)180


(1a)20


1a3

综上:若-32
-4x+6>0成立,则a的取值范围是a

3
三、作业:《教学与测试》 第10课(选部分)
第十八教时
教材:逻辑联结词

(1)
目的:要求学生了解复合命题的意义,并能指出一个复合命题是有哪些简单命题
与逻辑联结词,并能由简单命题构成含有逻辑联结词的复合命题。
过程:
一、提出课题:简单逻辑、逻辑联结词
二、命题的概念:例:12>5 ① 3是12的约数 ② 0.5是整数 ③
定义:可以判断真假的语句叫命题。正确的叫真命题,错误的叫假命题。

如:①②是真命题,③是假命题
反例:3是12的约数吗。 x>5 都不是命题
不涉及真假(问题) 无法判断真假
上述①②③是简单命题。 这种含有变量的语句叫开语句(条件命题)。
三、复合命题:

1.定义:由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题。

2.例:(1)10可以被2或5整除④ 10可以被2整除或10可以被5整

(2)菱形的对角线互相 菱形的对角线互相垂直且菱形的
垂直且平分⑤ 对角线互相平分
(3)0.5非整数⑥ 非“0.5是整数”
观察:形成概念:简单命题在加上“或”“且”“非”这些逻辑联结词成
复合命题。
3.其实,有些概念前面已遇到过
如:或:不等式 x
2
x6>0的解集 { x | x<2或x>3 }
且:不等式 x
2
x6<0的解集 { x | 2< x<3 } 即 { x | x>2且x<3 }
四、复合命题的构成形式
如果用 p, q, r, s……表示命题,则复合命题的形式接触过的有以下三种:
即: p或q (如 ④) 记作 pq
p且q (如 ⑤) 记作 pq
非p (命题的否定) (如 ⑥) 记作 p
五、例一: P26(略)
学生练习 P26 “练习”
处理《课课练》 课时13 “基础训练”及“例题推荐”
六、小结:1.命题 2.复合命题 3.复合命题的构成形式
七、作业:课本 P29 习题1.6

1、2
《课课练》课时13 余下部分
第十九教时
教材: 逻辑联结词

(2)
目的: 通过实例,要求学生理解逻辑联结词,“或”“且”“非”的含义,并能
利用真值表,判断含有复合命题的真假。
过程:
一、复习:“命题”“复合命题”的概念

本堂课研究的问题是:概括简单命题的真假,讨论含有“或“且”“非”
的复合命题的真假。
二、先介绍“真值”:命题分“真”“假”两种判断结论。也可用1表示“真”;
0表示“假”。这里1与0表示真值,所以真值只能是1
或0。
生活中常有“中间情况”从而诞生了“模糊逻辑”。
三、真值表:
1.非p形式:
例:命题P:5是10的约数(真) 命题p:5是8的约数(假)
则命题非p:5不是10的约数(假) 非p:5不是8的约数(真)
结论:为真非为假 、为假非为真
p


记忆:“真假相反”
2.p且q形式
例:命题p:5是10的约数(真) q:5是15的约数 (真)
s:5是12的约数 (假) r:5是8的约数 (假)
则命题p且q:5是10的约数且是15的约数(真)
p且q:5是10的约数且是8的约数(假)
p且q:5是12的约数且是8的约数(假)
p




q




p且q




p




q




p或q




非p


记忆:“同真为真”(其余为假) “同假为假”(其余为真)
3.p或q形式 仍看上例
则命题p或q: 5是10的约数或5是15的约数 (真)
p或r:5是10的约数或5是8的约数 (真)
s或r:5是12的约数或5是8的约数 (假)

四、几个注意问题:
1.逻辑中的“或”与日常生活中的“或”是有区别的
例:“苹果是长在树上或长在地里”生活中这句话不妥,但在逻辑中
却是真命题。
2.逻辑联结词中“或”与“且”的意义:
举出一些生活例子,见 P28 洗衣机例子 开门的事
电路:


或门电路(或) 与门电路(且)
3.学生讨论:举例
五、例题:P25例二
练习(提问) P28
六、有时间则处理“教学与测试”第11课
七、作业:P29 习题1.6

3、4
第二十教时
教材:四种命题
目的:要求学生掌握四种命题,给出一个简单的命题(原命题)要能写出它的逆
命题、否命题、逆否命题。

过程:
一、复习初中学过的命题与逆命题的知识
定义:如果第一个命题的条件(或题设)是第二个命题的结论,且第一个
命题的结论是第二个命题的条件,这两个命题叫互逆命题。
其中一
个命题叫做原命题,另一个命题叫做原命题的否命题。
例:“同位角相等,两直线平行”

(1)
条件(题设):同位角相等。
结论:两直线平行
它的逆命题:两直线平行,同位角相等。

(2)
二、新授:
1.看两个命题:同位角不相等,两直线不平行

(3)
两直线不平行,同位角不相等

(4)
比较命题

(1)与

(3):一个命题的条件和结论,分别是另一个命题的
条件的否定和结论的否定。…………互否命


比较命题

(1)与

(4):一个命题的条件和结论,分别是另一个命题的
结论的否定和条件的否定。
……互为逆否命

2.概括:

(1)为原命题

(2)为逆命题


(3)为否命题

(4)为逆否命题
3.若p为原命题条件,q为原命题结论
则:原命题:若 p 则 q 逆命题:若 p 则 q
否命题:若 p 则 q 逆否命题:若 q 则 p
4.例一 见 P30 例一 略
注意:关键是找出原命题的条件(p),结论(q)
然后适当改写成更明显的形式。

5.注意:1为什么称“互为”逆命题(否命题,逆否命题)
..
2要重视对命题的剖析:条件、结论
三、练习 (P31)
四、拓宽引申:
例:写出命题“若 xy= 0 则 x = 0或 y = 0”的逆命题、否命题、逆否命题
解:逆命题:若 x = 0或 y = 0 则 xy = 0
否命题:若 xy  0 则 x  0且 y  0
逆否命题:若 x  0且 y  0 则 xy0
五、作业:P33 习题1.7 1 、2
《课课练》P28-29 课时15中选部分
第二十一教时
教材:四种命题的关系
目的:要求学生理解四种命题的关系,并能利用这个关系判断命题的真假。
过程:
一、复习:四种命题
提问:说出命题“若两个三角形全等,则这两个三角形相似”的逆命题、
否命题、逆否命题。
(解答略)
二、
1.接复习提问:原命题与逆否命题互逆否,否命题与逆命题互逆否,逆命
题与逆否命题互逆。
原命题
若p则q
逆命题
若q则p

小结:得
表:







否命题
若p

则q





互逆


逆否命题

p

若q则







互逆
2.如果原命题为真,则逆命题、否命题、逆否命题真假如何。

例:原命题:“若 a = 0 则 ab = 0”是真命题
逆命题:“若 ab = 0 则 a = 0”是假命题
否命题:“若 a  0 则 ab  0”是假命题
逆否命题:“若 ab  0 则 a  0”是真命题
小结:原命题为真,逆命题不一定为真,
否命题也不一定为真,逆否命题为真。
3.又例:若四边形 ABCD为平行四边形,则对角线互相平分。

它的逆命题、否命题、逆否命题均为真。
三、例题: P32 例二 (略)
又例:命题“若 x = y 则 x
2
= y
2
”写出它的逆命题、否命题、逆否命题,
并判断它的真假。
解:逆命题:若 x
2
= y
2
则 x = y (假,如 x = 1, y = 1)
否命题:若 x

 y 则 x
2
 y
2
(假,如 x = 1, y = 1)
逆否命题:若 x
2
 y
2
则 x  y (真)
又例:写出命题:“若 x + y = 5则 x = 3且 y = 2”的逆命题否命题逆否
命题,并判断它们的真假。

解:逆命题:若 x = 3 且 y = 2 则 x + y = 5 (真)
否命题:若 x

+ y  5 则 x  3且y2 (真)
逆否命题:若 x

 3 或y2 则 x + y 5 (假)
四、处理《课课练》 30—31 16课
五、作业:课本33—34习题1.7中3,4

《课课练》16课余下部分
第二十二教时
教材:反证法
目的:要求学生初步学会反证法的步骤,并能用以证明一些命题。
过程:
一、提出问题:初中平几中有一个命题:
“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”。
二、如何证明:
1,(教师给出如下方法)
证:先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点,
则O在AB的中垂线l上,O又在BC的中垂线m上,
即O是l与m的交点。
但∵A、B、C共线,∴l∥m(矛盾)
∴过在同一直线上的三点A、B、C不能作图。
2.指出这种证明方法是“反证法”。

定义:从命题结论的反面出发,引出矛盾,从而证明命题
成立,这样的证明方法叫反证法。
即:欲证p则q,证:p且非q(反证法)
3,反证法的步骤:1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立。
2)从这个假设出发,通过推理论证,得出矛盾。

3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。
4,反证法:1)反设(即假设) p则q(原命题) 反设p且非q。

2)可能出现三种情况:
①导出非p为真——与题设矛盾。

②导出q为真——与反设中“非q“矛盾。
③导出一个恒假命题——与公理、定理矛盾。
三、例一(P32例3) 用反证法证明:如果a>b>0,那么
ab

证一(直接证法)
ab

ab

ab


∵a>b>0,∴a  b>0即

ab

证二(反证法)假设
a
不大于
b
,则
ab或ab

∵a>0,b>0,∴
abaaab
① 或
abbb

由①、②(传递性)知:
aabb
即 a < b(与题设矛盾)
C
P
B
A
O
D

ab

ab0
,∴
ab0



同样,若
abab
(与题设矛盾)

ab

例二、(P32--33例4)用反证法证明圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。

证明:反设AB、CD被P平分
∵P不是圆心,连结OP
则由垂径定理:
OPAB,OPCD
则过P有两条直线与OP垂直(矛盾)
∴弦AB,CD不被P平分



例三、用反证法证明:
2
不是有理数。
证:假设
2
是有理数,则不妨设
2
(m,n为互质正整数)
n
m
2
22
从而:
()2

m2n
,可见m是偶数。
n
设m=2p(p是正整数),则
2n
2
m
2
4p
2
,可见n 是偶数。
这样,m.,n就不是互质的正整数(矛盾)。

2

2
不是有理数。

四、小结:反证法定义、步骤、注意点
五、作业:P33练习 P34习题1.7 5 及《课课练》P33例二。

m
不可能
n
m
第二十三教时
教材: 充要条件(1)
目的: 通过实例要求学生理解充分条件、必要条件、充要条件的意义,并能够
初步判断给定的两个命题之间的关系。
过程:
一、复习:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假:
1) 若x>0则x
2
>0; 2) 若两个三角形全等,则两三角形的面积相
等;
3) 等腰三角形两底角相等; 4) 若x
2
=y
2
则 x=y。

(解答略)
二、给出推断符号,紧接着给出充分条件、必要条件、充要条件的意义

1.由上例一: 由x>0,经过推理可得出x
2
>0
记作: x>0  x
2
>0 表示x>0是x
2
>0的充分条件
即: 只要x>0成立 x
2
>0就一定成立 x>0蕴含着x
2
>0;
同样表示:x
2
>0是x>0的必要条件。
一般:若p则q, 记作pq 其中p是q的充分条件, q是p的必要条件
显然: x
2
>0  x>0 我们说x
2
>0不是x>0的充分条件
x>0也不是x
2
>0的必要条件
由上例二: 两个三角形全等  两个三角形面积相等
显然, 逆命题 两个三角形面积相等  两个三角形全等
∴我们说: 两个三角形全等是两个三角形面积相等的充分不必要条件
两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件
由上例三: 三角形为等腰三角形  三角形两底角相等
我们说三角形为等腰三角形是三角形两底角相等的充分且必要条
件,这种既充分又必要条件,称为充要条件。

由上例四:显然 x
2
=y
2
 x=y
x
2
=y
2
是x=y的必要不充分条件; x=y 是x
2
=y
2
的充分不必要条
件。
三、小结: 要判断两个命题之间的关系,关键是用什么样的推断符号把两
个命题联结起来。
四、例一:(课本P34例一)
例二:(课本P35-36 例二)
练习 P35 、P36
五、作业:P36-37 习题1.8
第二十五教时
教材:简易逻辑、四种命题、反证法、充要条件;《教学与测试》

11、

12、13课
目的:复习上述教学内容,要求学生对有关知识的掌握更加牢固,理解更加深刻。
过程:
一、复习:



1、简易逻辑:(1) 命题的概念 — 能判断真假
(2) 逻辑联结词及复合命题:“或”、“且”、“非”
(3) 复合命题的真假 — 真值表, 简单复合命题的否定


2、四种命题:(1) 四种命题 — 原命题、逆命题、否命题、逆否命题
(2) 四种命题的关系:互逆、互否、互为逆否及其真假


3、反证法: 步骤及如何导出“矛盾”


4、充要条件:(1) 有关意义:充分条件,必要条件,充要条件 — 强调利用
推断符号
(2) 充要条件与四种命题的关系
二、处理《教学与测试》第11课 P21-22 口答为主
例一:主要强调“命题”的意义
例二:首先要写出三种简单复合形式,然后判断其真假。

例三:注意训练将常用的命题“改写”成三种不同形式以利解题
三、处理《教学与测试》第12课 P23-24
例一:注意命题的否定形式,尤其是简单复合命题的否定形式。
例二:强调由原命题写出其他三种命题。

例三:突出反证法的步骤及注意事项。
四、处理《教学与测试》第13课 P25-26
例一:要能利用推断符号判断充分条件,必要条件和充要条件。
例二:突出三个(或以上)命题的充要条件的判断方法。
例三:体现充要条件的应用。

五、作业:上述三课中余下部分(其中相当的部分可做在书上)
第二十六教时
教材:“简易逻辑”习题课
目的:通过习题的讲解与练习,努力达到熟练技巧。
过程:
一、分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题:
1.p:李明是高中一年级学生 q:李明是共青团员
解:p或q:李明是高中一年级学生或是共青团员
p且q:李明是高中一年级学生且是共青团员

非p:李明不是高中一年级学生
2.p:
52
q:
5
是无理数
解:p或q:
5
是大于2或是无理数
p且q:
5
是大于2且是无理数
非p:
5
不大于2
3.p:平行四边形对角线相等 q:平行四边形对角线互相平分
解:p或q:平行四边形对角线相等或互相平分
p且q:平行四边形对角线相等且互相平分
非p: 平行四边形对角线不一定相等
4.p:10是自然数 q:10是偶数
解:p或q:10是自然数或是偶数
p且q:10是自然数且是偶数
非p: 10不是自然数
二、分别指出下列复合命题的构成形式及构成它的简单命题:
1.x=2或x=3是方程x
2
5x+6=0的根
解: p:x=2是方程x
2
5x+6=0的根 q:x=3是方程x
2
5x+6=0的根
是p或q的形式
2.既大于3又是无理数
解: p:大于3 q:是无理数 是p且q的形式
3.直角不等于90
解: p:直角等于90 是非p形式
4.x+1

x3
解: p:x+1
>
x3 q:x+1
=
x3 是p或q的形式

5.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。
解: p:垂直于弦的直径平分这条弦
q:垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧 是p且q的形式
三、
分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题,
并判断它们的真假:
1.p:末位数字是0的自然数能被5整除 q:5{x|x
2
+3x10=0}
解:p或q:末位数字是0的自然数能被5整除或5{x|x
2
+3x10=0}
p且q:末位数字是0的自然数能被5整除且5{x|x
2
+3x10=0}

非p:末位数字是0的自然数不能被5整除
∵p真q假 ∴“p或q” 为真,“ p且q”为假,“非p”为假。

2.p:四边都相等的四边形是正方形 q:四个角都相等的四边形是正方形
解:p或q:四边都相等的四边形是正方形或四个角都相等的四边形是正方形
p且q:四边都相等的四边形是正方形且四个角都相等的四边形是正方形
非p:四边都相等的四边形不是正方形
∵p假q假 ∴“p或q” 为假,“ p且q”为假,“非p”为真。
3.p:0 q:{x|x
2
3x5<0}





R
解:p或q: 0或{x|x
2
3x5<0}




R
p且q: 0且{x|x
2
3x5<0}




R

非p: 0
∵p假q真 ∴“p或q” 为真,“ p且q”为假,“非p”为真。

4.p:5

5 q:27不是质数
解:p或q:5

5或27不是质数
p且q:5

5且27不是质数
非p: 5>5
∵p真 q真 ∴“p或q” 为真,“ p且q”为真,“非p”为假。

5.p:不等式x
2
+2x8<0的解集是:{x|4q:不等式x
2
+2x8<0的解集是:{x| x<4或x> 2}
解:p或q:不等式x
2
+2x8<0的解集是:{x|4 2}
p且q:不等式x
2
+2x8<0的解集是:{x|4 2}
非p:不等式x
2
+2x8<0的解集不是:{x|4 ∵p真 q假 ∴“p或q” 为真,“ p且q”为假,“非p”为假。
四、把下列改写成“若p则q”的形式,并判断它们的真假:
1.实数的平方是非负数。

解:若一个数是实数,则它的平方是非负数。(真命题)
2.等底等高的两个三角形是全等三角形。

解:若两个三角形等底等高,则这两个三角形是全等三角形。(假命题)
3.被6整除的数既被3整除又被2整除。
解:若一个数能被6整除,则它能被3整除又能被2整除。(真命题)
4.弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧。


解:若一条直线是弦的垂直平分线,则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧。
(真命题)
五、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断真假:
1.面积相等的两个三角形是全等三角形。
解:逆命题:两个全等三角形面积相等。(真命题)
否命题:面积不等的两个三角形不是全等三角形。(真命题)
逆否命题:不全等的两个三角形面积不相等。(假命题)
2.若x=0则xy=0。

解:逆命题:若xy=0则x=0。(假命题)
否命题:若x0则xy0。(假命题)
逆否命题:若xy0则x0。(真命题)
3.当c<0时,若ac>bc则a
解:逆命题:当c<0时,若abc。
(真命题)
否命题:当c<0时,若ac

bc则a

b。(真命题)
逆否命题:当c<0时,若a

b则ac

bc。
(真命题)
4.若mn<0,则方程mx
2
x+n=0有两个不相等的实数根。

解:逆命题:若方程mx
2
x+n=0有两个不等实数根,则mn<0。(假命题)
否命题:若mn

0,则方程mx
2
x+n=0没有两个不等实数根。
(假命题)
逆否命题:若方程mx
2
x+n=0没有两个不等实数根,则mn

0。(真命题)
六、写出下列各命题的否定及其否命题,并判断它们的真假:
1.若x,y都是奇数,则x+y是偶数。

解:命题的否定:x,y都是奇数且x+y不是偶数。(假命题)
否命题:若x,y不都是奇数,则x+y不是偶数。(假命题)
2.若xy=0则x=0或y=0
解:命题的否定:xy=0且x0又y0。(假命题)
否命题:若xy0则x0且y0。
(真命题)
七、用反证法证明:
1.已知a与b均为有理数,且
a

b
都是无理数,证明
a
+
b
也是无理
数。
证明:假设
a
+
b
是有理数,则(
a
+
b
)(
a

b
)=ab
由a>0, b>0 则
a
+
b
>0 即
a
+
b
0


ab
ab
ab
ab
ab
∵a,bQ 且
a
+
b
Q
∴Q 即(
a

b
)Q
这样(
a
+
b
)+(
a

b
)=2
a
Q
从而
a
Q (矛盾) ∴
a
+
b
是无理数。
2.在同一平面内一直线的垂线与斜线一定相交。
证明: 假设l
1
与l
2
不相交,则l
1
∥l
2

l
2
l
1

如图,设l
1
与l
2
相交所得的一对同位角为1和2
则1=2 ∵l
2
是l的斜线 ∴290

l
从而 190
说明l
1
与l的交角不是直角,这与l
1
l矛盾
∴l
1
和l
2
一定相交。

八、指出下列各组命题中p是q的什么条件(充分不必要条件,必要不充分条件,
充要条件,既不充分也不必要条件):
1.p:a
2
>b
2
q:a>b 则p是q的 既不充分也不必要条件 。
2.p:{x|x>2或x<3} q:{x|x
2
x6<0} 则p是q的 必要而不充分条件 。
3.p:a与b都是奇数 q:a+b是偶数 则p是q的 充分不必要条件 。
1
4.p:02
2x+3=0有两个同号且不相等的实数根
3
则p是q的 充要条件 。

九、判断下列命题的真假:
1.(x2)(x+3)=0是(x2)
2
+(y+3)
2
=0的充要条件。

解:是假命题。
反例;若x=2, y3
2.x
2
=4x+5是 x
4x5x
2
的必要条件。
解:是假命题。
{x| x
2
=4x+5}={1,5} {x| x
4x5x
2
}={0,5}
3.内错角相等是两直线平行的充分条件。
解:是真命题。

4.ab<0是 |a+b|<|ab| 的必要而不充分条件。
解:是假命题。
|ab|>|a+b|

0  (ab)
2
>(a+b)
2
 a
2
2ab+b
2
> a
2
+2ab+b
2
 4ab<0  ab<0 ∴(ab<0是 |a+b|<|ab| 的充要条件)
十、已知关于x的方程 (1a)x
2
+(a+2)x4=0 aR 求:
2 1

1) 方程有两个正根的充要条件;
2) 方程至少有一个正根的充要条件。

1a0
解:1) 方程(1a)x
2
+(a+2)x4=0有两个实根的充要条件是:


0


a1
即:


2

(a2)16(1a)0

a1



a2或a10
即: a

10或a

2且a1
设此时方程两根为x
1
,x
2
∴有两正根的充要条件是:

a1
a1


a2或a10

a2或a10


a2





 1
2或a

10 即为所求。

0
xx0
2

a1

1

4
0


x
1
x
2
0


a1
2) 从1)知1
2或a

10方程有两个正根
4
当a=1时, 方程化为 3x4=0有一个正根x=
3
方程有一正、一负根的充要条件是:

1a0



0


xx0

12

a1



a2或a10
 a<1
4

0


a1
综上:方程(1a)x
2
+(a+2)x4=0至少有一正根的充要条件是a

2或a

10。


第一章 集合与简易逻辑
第一教时
教材:集合的概念
目的:要求学生初步理解集合的概念,知道常用数集及其记法;初步了解集合的
分类及性质。

过程:
一、引言:(实例)用到过的“正数的集合”、“负数的集合”
如:2x-1>3

x>2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解
集。
如:几何中,圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
如:自然数的集合 0,1,2,3,……
如:高一

(5)全体同学组成的集合。
结论: 某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。

指出:“集合”如点、直线、平面一样是不定义概念。
二、集合的表示: { … } 如{我校的篮球队员},{太平洋、大西洋、印度洋、
北冰洋}
用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员} ,B={1,2,3,4,5}
常用数集及其记法:
1.非负整数集(即自然数集) 记作:N
2.正整数集 N*或 N
+

3.整数集 Z
4.有理数集 Q
5.实数集 R
集合的三要素: 1

元素的确定性; 2

元素的互异性; 3


元素的无序性
(例子 略)
三、关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属

于集A 记作 aA ,相反,a不属于集A 记作 aA (或aA)
例: 见P
4—5
中例
四、练习 P
5

五、集合的表示方法:列举法与描述法
1.列举法:把集合中的元素一一列举出来。
例:由方程x
2
-1=0的所有解组成的集合可表示为{1,1}
例;所有大于0且小于10的奇数组成的集合可表示为{1,3,5,7,9}
2.描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

① 语言描述法:例{不是直角三角形的三角形}再见P
6

② 数学式子描述法:例 不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2}
或{x:x-3>2} 再见P
6

六、集合的分类
1.有限集 含有有限个元素的集合
2.无限集 含有无限个元素的集合 例题略
3.空集 不含任何元素的集合 
七、用图形表示集合 P
6

八、练习 P
6
小结:概念、符号、分类、表示法
九、作业 P
7
习题1.1

第二教时
教材:

1、复习

2、《课课练》及《教学与测试》中的有关内容
目的: 复习集合的概念;巩固已经学过的内容,并加深对集合的理解。
过程:
一、 复习:(结合提问)
1.集合的概念 含集合三要素
2.集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法

3.集合的分类:有限集、无限集、空集、单元集、二元集
4.关于“属于”的概念
二、 例一 用适当的方法表示下列集合:
1.平方后仍等于原数的数集
解:{x|x
2
=x}={0,1}
2.比2大3的数的集合
解:{x|x=2+3}={5}
3.不等式x
2
-x-6<0的整数解集
解:{xZ| x
2
-x-6<0}={xZ| -24.过原点的直线的集合
解:{(x,y)|y=kx}
5.方程4x
2
+9y
2
-4x+12y+5=0的解集
解:{(x,y)| 4x
2
+9y
2
-4x+12y+5=0}={(x,y)| (2x-1)
2
+(3y+2)
2
=0}={(x,y)|
(12,-23)}
6.使函数y=
1
xx6
2
有意义的实数x的集合
解:{x|x
2
+x-60}={x|x2且x3,xR}
三、 处理苏大《教学与测试》第一课 含思考题、备用题
四、 处理《课课练》
五、
作业 《教学与测试》 第一课 练习题

第三教时
教材: 子集
目的: 让学生初步了解子集的概念及其表示法,同时了解等集与真子集的有关概
念.
过程:
一 提出问题:现在开始研究集合与集合之间的关系.
存在着两种关系:“包含”与“相等”两种关系.
二 “包含”关系—子集

1. 实例: A={1,2,3} B={1,2,3,4,5} 引导观察.
结论: 对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元
素,
则说:集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,记作AB (或BA)
也说: 集合A是集合B的子集.
2. 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB (或BA)
注意: 也可写成;也可写成; 也可写成;也可写成。

3. 规定: 空集是任何集合的子集 . φA
三 “相等”关系
1. 实例:设 A={x|x
2
-1=0} B={-1,1} “元素相同”
结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的
元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A
等于集合B, 即: A=B
2. ① 任何一个集合是它本身的子集。
AA
② 真子集:如果AB ,且A B那就说集合A是集合B的真子集,记作




A B
③ 空集是任何非空集合的真子集。
④ 如果 AB, BC ,那么 AC
证明:设x是A的任一元素,则 xA


AB,

xB 又

BC

xC 从而 AC
同样;如果 AB, BC ,那么 AC
⑤ 如果AB 同时 BA 那么A=B
四 例题: P8 例一,例二 (略) 练习 P9
补充例题 《课课练》 课时2 P3
五 小结:子集、真子集的概念,等集的概念及其符号
几个性质: AA
AB, BC AC

AB BA A=B
作业:P10 习题1.2 1,2,3 《课课练》 课时中选择
第四教时
教材:全集与补集
目的:要求学生掌握全集与补集的概念及其表示法
过程:
一 复习:子集的概念及有关符号与性质。
提问(板演):用列举法表示集合:A={6的正约数},B={10的正约数},
C={6与10的正公约数},并用适当的符号表示它们之间的关系。
解: A=1,2,3,6}, B={1,2,5,10}, C={1,2}
CA,CB
二 补集
1.实例:S是全班同学的集合,集合A是班上所有参加校运会同学的集合,
集合B是班上所有没有参加校运动会同学的集合。
集合B是集合S中除去集合A之后余下来的集合。

结论:设S是一个集合,A是S的一个子集(即
AS
),由S中所有不
属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
记作: C
s
A 即 C
s
A ={x  xS且 xA}


2.例:S={1,2,3,4,5,6} A={1,3,5} C
s
A ={2,4,6}
三 全集
定义: 如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就
可以看作一个全集。
通常用U来表示。
如:把实数R看作全集U, 则有理数集Q的补集C
U
Q是全体无理数的集合。
四 练习:P10(略)
五 处理 《课课练》课时3 子集、全集、补集
(二)
S
C
s
A
A

六 小结:全集、补集
七 作业 P10 4,5
《课课练》课时3 余下练习
第五教时
教材: 子集,补集,全集
目的: 复习子集、补集与全集,要求学生对上述概念的认识更清楚,并能较好
地处理有关问题。

过程:
一、复习:子集、补集与全集的概念,符号
二、辨析: 1

补集必定是全集的子集,但未必是真子集。
什么时候是真子集。

2

AB 如果把B看成全集,则C
B
A是B的真子集吗。什么时候(什
么条件下)C
B
A是B的真子集。
三、处理苏大《教学与测试》第二、第三课
作业为余下部分选
第六教时
教材: 交集与并集

(1)
目的: 通过实例及图形让学生理解交集与并集的概念及有关性质。
过程:
六、 复习:子集、补集与全集的概念及其表示方法
提问(板演):U={x|0

x<6,xZ} A={1,3,5} B={1,4}
求:CuA= {0,2,4}. CuB= {0,2,3,5}.
七、 新授:


1、实例: A={a,b,c,d} B={a,b,e,f}




公共部分 A∩B 合并在一起 A∪B
c d a b e f
c d a b e f



2、定义: 交集: A∩B ={x|xA且xB} 符号、读法
并集: A∪B ={x|xA或xB}
见课本P10--11 定义 (略)


3、例题:课本P11例一至例五
练习P12
补充: 例一、设A={2,-1,x
2
-x+1}, B={2y,-4,x+4}, C={-1,7} 且A∩
B=C求x,y。
解:由A∩B=C知 7A ∴必然 x
2
-x+1=7 得
x
1
=-2, x
2
=3
由x=-2 得 x+4=2C ∴x-2
∴x=3 x+4=7C 此时 2y=-1 ∴y=-
∴x=3 , y=-
例二、已知A={x|2x
2
=sx-r}, B={x|6x
2
+(s+2)x+r=0} 且 A∩B={}求A∪B。

解:

11

2

2
sr
11
∵A且 B ∴


31
22

(s2)r0

22
1
2
1
2
1
2




2rs1

2rs5

3
2
解之得 s= 2 r= 
∴A={
,
} B={
,
}
∴A∪B={
,
,}
三、小结: 交集、并集的定义
四、作业:课本 P13习题

1、3 1--5
补充:设集合A = {x | 4

x

2}, B = {x | 1

x

3}, C = {x |x

0或x

},
求A∩B∩C, A∪B∪C。
《课课练》 P 6--7 “基础训练题”及“ 例题推荐”

5
2
1
2
3
2
1
2
1
2
3
2
1
2
1
2
第七教时

教材:交集与并集

(2)
目的:通过复习及对交集与并集性质的剖析,使学生对概念有更深刻的理解
过程:一、复习:交集、并集的定义、符号
提问(板演):(P
13
例8 )
设全集 U = {1,2,3,4,5,6,7,8},A = {3,4,5} B = {4,7,
8}
求:(C
U
A)∩(C
U
B), (C
U
A)∪(C
U
B), C
U
(A∪B), C
U
(A∩B)
解:C
U
A = {1,2,6,7,8} C
U
B = {1,2,3,5,6}
(C
U
A)∩(C
U
B) = {1,2,6}
(C
U
A)∪(C
U
B) = {1,2,3,5,6,7,8}

A∪B = {3,4,5,7,8} A∩B = {4}
∴ C
U
(A∪B) = {1,2,6}
C
U
(A∩B) = {1,2,3,5,6,7,8,}
结合图 说明:我们有一个公式:
U
A
B
(C
U
A)∩( C
U
B) = C
U
(A∪B)
(C
U
A)∪( C
U
B) = C
U
(A∩B)

二、另外几个性质:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,
A∪A = A, A∪φ= A , A∪B = B∪A.
(注意与实数性质类比)
例6 ( P
12
) 略
进而讨论 (x,y) 可以看作直线上的点的坐标
A∩B 是两直线交点或二元一次方程组的解
同样设 A = {x | x
2
x6 = 0} B = {x | x
2
+x12 = 0}
则 (x
2
x6)(x
2
+x12) = 0 的解相当于 A∪B
即: A = {3,2} B = {4,3} 则 A∪B = {4,2,3}
三、关于奇数集、偶数集的概念 略 见P
12


例7 ( P
12
) 略
练习 P
13

四、关于集合中元素的个数
规定:集合A 的元素个数记作: card (A)
作图 观察、分析得:
A
B

card (A∪B)  card (A) + card (B)
card (A∪B) = card (A) +card (B) card (A∩B)
五、(机动):《课课练》 P
8
课时5 “基础训练”、“例题推荐”
六、作业: 课本 P
14


6、

7、8
《课课练》 P
8—9
课时5中选部分

第八教时
教材:交集与并集

(3)
目的:复习交集与并集,并处理“教学与测试”内容,使学生逐步达到熟练技巧。
过程:
一、复习:交集、并集
二、1.如图

(1) U是全集,A,B是U的两个子集,图中有四个用数字
标出的区域,试填下表:

区域号

相应的集合

1

2






1
A
3
2
U
2
1 U
A
5
6
3
B
8
7
4
C
集合 相应的区域号
A
B
U
A∩B
2,3
3,4
1,2,3,4
3
C
U
A∩C
U
B
A∩C
U
B
A∩B
C
U
A∩B
3
4
B
4



(1)


(2)
2.如图

(2) U是全集,A,B,C是U的三个子集,图中有8个用数
字标
出的区域,试填下表: (见右半版)
3.已知:A={(x,y)|y=x
2
+1,xR} B={(x,y)| y=x+1,xR }求A∩B。

解:
∴ A∩B= {(0,1),(1,2)}

区域号
1
2
3
4
5
6
7
8
相应的集合
C
U
A∩C
U
B∩C
U
C
A∩C
U
B∩C
U
C
A∩B∩C
U
C
C
U
A∩B∩C
U
C
A∩C
U
B∩C
A∩B∩C
C
U
A∩B∩C
C
U
A∩C
U
B∩C
三、《教学与测试》P7-P8 (第四课) P9-P10 (第五课)中例题
如有时间多余,则处理练习题中选择题
四、作业: 上述两课练习题中余下部分

第九教时
(可以考虑分两个教时授完)
教材: 单元小结,综合练习
目的: 小结、复习整单元的内容,使学生对有关的知识有全面系统的理解。
过程:
一、复习:
1.基本概念:集合的定义、元素、集合的分类、表示法、常见数集

2.含同类元素的集合间的包含关系:子集、等集、真子集
3.集合与集合间的运算关系:全集与补集、交集、并集
二、苏大《教学与测试》第6课 习题课

(1)其中“基础训练”、例题
三、补充:(以下选部分作例题,部分作课外作业)





1、用适当的符号(,,







,=,)填空:
0  ; 0  N; 




{0}; 2  {x|x2=0};
{x|x
2
-5x+6=0} = {2,3}; (0,1)  {(x,y)|y=x+1};

{x|x=4k,kZ}



{y|y=2n,nZ}; {x|x=3k,kZ}  {x|x=2k,kZ};

{x|x=a
2
-4a,aR}




{y|y=b
2
+2b,bR}


2、用适当的方法表示下列集合,然后说出其是有限集还是无限集。

① 由所有非负奇数组成的集合; {x=|x=2n+1,nN} 无限集
② 由所有小于20的奇质数组成的集合; {3,5,7,11,13,17,19} 有限集
③ 平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合; {(x,y)|x<0,y>0} 无限

④ 方程x
2
-x+1=0的实根组成的集合;  有限集
⑤ 所有周长等于10cm的三角形组成的集合;
{x|x为周长等于10cm的三角形} 无限集


3、已知集合A={x,x
2
,y
2
-1}, B={0,|x|,y} 且 A=B求x,y。

解:由A=B且0B知 0A
若x
2
=0则x=0且|x|=0 不合元素互异性,应舍去
若x=0 则x
2
=0且|x|=0 也不合
∴必有y
2
-1=0 得y=1或y=-1
若y=1 则必然有1A, 若x=1则x
2
=1 |x|=1同样不合,应舍去
若y=-1则-1A 只能 x=-1这时 x
2
=1,|x|=1 A={-1,1,0} B={0,1,-1}
即 A=B
综上所述: x=-1, y=-1


4、求满足{1}




A{1,2,3,4,5}的所有集合A。
解:由题设:二元集A有 {1,2}、{1,3}、{1,4}、{1,5}
三元集A有 {1,2,3}、{1,2,4}、{1,2,5}、{1,3,4}、{1,3,5}、{1,4,5}
四元集A有 {1,2,3,4}、{1,2,3,5}、{1,2,4,5}、{1,3,4,
5}
五元集A有 {1,2,3,4,5}


5、设U={xN|x<10}, A={1,5,7,8}, B={3,4,5,6,9}, C={xN|0

2x-3<7} 求:
A∩B,A∪B,(C
u
A)∩(C
u
B), (C
u
A)∪(C
u
B),A∩C, [C
u
(C∪B)]∩(C
u
A)。

解:U={xN|x<10}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, C={xN|

x<5}={2,3,4}
A∩B={5} A∪B={1,3,4,5,6,7,8,9}
∵CuA={0,2,3,4,6,9} CuB={0,1,2,7,8}
∴(CuA)∩(CuB)={0,2} (CuA)∪(CuB)={0,1,2,3,4,6,7,8,9}
A∩C= 又 ∵C∪B={2,3,4,5,6,9} ∴Cu(C∪B)={0,1,7,8}
∴[Cu(C∪B)]∩(CuA)={0}


6、设A={x|x=12m+28n,m、nZ}, B={x|x=4k,kZ} 求证:1



8A 2


A=B
证:1

若12m+28n=8 则m=
m均不为整数 当n=3l+2(lZ)时 m=-7l-4也为整数
-1Z
∴8A
2

任取x
1
A 即x
1
=12m+28n (m,nZ)
由12m+28n=4=4(3m+7n) 且3m+7nZ 而B={x|x=4k,kZ}
∴12m+28nB 即x
1
B 于是AB
任取x
2
B 即x
2
=4k, kZ
由4k=12×(-2)+28k 且 -2kZ 而A={x|x=12m+28n,m,mZ}
∴4kA 即x
2
A 于是 BA
综上:A=B


7、设 A∩B={3}, (CuA)∩B={4,6,8}, A∩(CuB)={1,5}, (CuA)∪(CuB)
={xN*|x<10且x3} , 求Cu(A∪B), A, B。

解一: (CuA)∪(CuB) =Cu(A∩B)={xN*|x<10且x3} 又:A∩B={3}
U=(A∩B)∪Cu(A∩B)={ xN*|x<10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A∪B中的元素可分为三类:一类属于A不属于B;一类属于B不属于A;一类
既属A又属于B
由(C
u
A)∩B={4,6,8} 即4,6,8属于B不属于A
由(C
u
B)∩A={1,5} 即 1,5 属于A不属于B
由A∩B ={3} 即 3 既属于A又属于B
∴A∪B ={1,3,4,5,6,8}
∴C
u
(A∪B)={2,7,9}
A中的元素可分为两类:一类是属于A不属于B,另一类既属于A又属于B
∴A={1,3,5}
同理 B={3,4,6,8}
解二 (韦恩图法) 略
7n2
当n=3l或n=3l+1(lZ)时
3
3
2
不妨设 l=-1则 m=3,n=-1 ∵8=12×3+28×(-1) 且 3Z



8、设A={x|3

x

a}, B={y|y=3x+10,xA}, C={z|z=5x,xA}且B∩C=C
求实数a的取值。
解:由A={x|3

x

a} 必有a

3 由3

x

a知
3×(3)+10

3x+10

3a+10
故 1

3x+10

3a+10 于是 B={y|y=3x+10,xA}={y|1

y

3a+10}
又 3

x

a ∴a

x

3 5a

5x

8
∴C={z|z=5x,xA}={z|5a

z

8}
由B∩C=C知 CB 由数轴分析:

 

a

4 且都适合a

3
2
3

3a108
且 a

3
5a1

综上所得:a的取值范围{a|

a

4 }


9、设集合A={xR|x
2
+6x=0},B={ xR|x
2
+3(a+1)x+a
2
1=0}且A∪B=A求实
数a的取值。
解:A={xR|x
2
+6x=0}={0,6} 由A∪B=A 知 BA
时 B={0,6}

2

a10
2
B={xR|x+6x=0}=A

当B A




2
3
当B=A

3(a1)6
 a=1 此时
1

若 B 则 B={0}或 B={6}
由 =[3(a+1)]
2
4(a
2
1)=0 即5a
2
+18a+13=0 解得a=1或 a=
13
5


当a=1时 x=0 ∴B={0} 满足B A



2
当a=
13
5
时 方程为
x
2

∴B={
2


若B= 即 0 由 =5a
2
+18a+130 解得

此时 B= 也满足B A



12
} 则 BA(故不合,舍去)
5
2414412
x0
x
1
=x
2
=
5255
13
a1
5
综上: 


10、方程x
2
ax+b=0的两实根为m,n,方程x
2
bx+c=0的两实根为p,q,其中m、
n、p、q互不相等,集合A={m,n,p,q},作集合S={x|x=+,A,A且},
P={x|x=,A,A且},若已知S={1,2,5,6,9,10},P={7,3,2,6,
14,21}求a,b,c的值。

解:由根与系数的关系知:m+n=a mn=b p+q=b pq=c
又: mnP p+qS 即 bP且 bS
∴ bP∩S 又由已知得 S∩P={1,2,5,6,9,10}∩
{7,3,2,6,14,21}={6}
∴b=6
又:S的元素是m+n,m+p,m+q,n+p,n+q,p+q其和为
13
a

1或 a=1
5

3(m+n+p+q)=1+2+5+6+9+10=33 ∴m+n+p+q=11 即 a+b=11
由 b=6得 a=5
又:P的元素是mn,mp,mq,np,nq,pq其和为
mn+mp+mq+np+nq+pq=mn+(m+n)(p+q)+pq=732+6+14+21=29
且 mn=b m+n=a p+q=b pq=c
即 b+ab+c=29 再把b=6 , a=5 代入即得 c=7
∴a=5, b=6, c=7
四、作业:《教学与测试》余下部分及补充题余下部分


第十一教时
教材:含绝对值不等式的解法
目的:从绝对值的意义出发,掌握形如 | x | = a的方程和形如 | x | > a, | x | < a (a>0)
不等式的解法,并了解数形结合、分类讨论的思想。
过程:
一、实例导入,提出课题
实例:课本 P14(略) 得出两种表示方法:
1.不等式组表示:

≤5
课题:含绝对值不等式解法
二、形如 | x | = a (a

0) 的方程解法
复习绝对值意义:| a | =

几何意义:数轴上表示 a 的点到原点的距离
. 例:| x | = 2 .
三、形如| x | > a与 | x | < a 的不等式的解法
-2 0 2
例 | x | > 2与 | x | < 2
1从数轴上,绝对值的几何意义出发分析、作图。解之、见 P15 略
结论:不等式 | x | > a 的解集是 { x | a< x < a}
| x | < a 的解集是 { x | x > a 或 x < a}
2从另一个角度出发:用讨论法打开绝对值号
| x | < 2





 0

x < 2或2 < x < 0
x2x2

合并为 { x | 2 < x < 2}
同理 | x | < 2





 { x | x > 2或 x < 2}
x2x2


x0

x0

x0

x0

x5005

500x5

2.绝对值不等式表示::| x  500 |
(a0)

a

(a0)


0

a(a0)


3例题 P15 例一、例二 略
4《课课练》 P12 “例题推荐”
四、小结:含绝对值不等式的两种解法。
五、作业: P16 练习 及习题1.4
第十二教时
教材:一元二次不等式解法
目的:从一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系出发,掌握运用二次
函数求解一元二次不等式的方法。
过程 :
一、课题:一元二次不等式的解法
先回忆一下初中学过的一元一次不等式的解法:如 2x7>0

x>
这里利用不等式的性质解题
y

从另一个角度考虑:令 y=2x7 作一次函数图象:
引导观察,并列表,见 P17 略
当 x=3.5 时, y=0 即 2x7=0
当 x<3.5 时, y<0 即 2x7<0
当 x>3.5 时, y>0 即 2x7>0
结论:略 见P17
注意强调:1直线与 x轴的交点x
0
是方程 ax+b=0的解
2当 a>0 时, ax+b>0的解集为 {x | x > x
0
}

当 a<0 时, ax+b<0可化为 axb<0来解
二、一元二次不等式的解法
同样用图象来解,实例:y=x
2
x6 作图、列表、观察
当 x=2 或 x=3 时, y=0 即 x
2
x6=0
当 x<2 或 x>3 时, y>0 即 xx6>0
当 22
x6<0
∴方程 x
2
x6=0 的解集:{ x | x = 2或 x = 3 }
不等式 x
2
x6 > 0 的解集:{ x | x < 2或 x > 3 }
不等式 x
2
x6 < 0 的解集:{ x | 2 < x < 3 }
2
7
2
O
x
y
2 O 3 x

这是 △>0 的情况:
若 △=0 , △<0 分别作图观察讨论
得出结论:见 P18--19
说明:上述结论是一元二次不等式 ax+bx+c>0(<0) 当 a>0时的情况
若 a<0, 一般可先把二次项系数化成正数再求解
三、例题 P19 例一至例四
练习:(板演)
有时间多余,则处理《课课练》P14 “例题推荐”
四、小结:一元二次不等式解法(务必联系图象法)
五、作业:P21 习题 1.5
《课课练》第8课余下部分
第十三教时
教材:一元二次不等式解法(续)
目的:要求学生学会将一元二次不等式转化为一元二次不等式组求解的方法,进
而学会简单分式不等式的解法。

过程:
一、复习:(板演)
一元二次不等式 ax
2
+bx+c>0与 ax
2
+bx+c<0 的解法
(分 △>0, △=0, △<0 三种情况)
1.2x
4
x
2
1

0 2.1

x
2
2x<3 (《课课练》 P15 第8题中)
解:1.2x
4
x
2
1

0

(2x
2
+1)(x
2
1)

0

x
2

1


x

1 或 x

1




x
2
2x3
2.1

x2x<3







x2x1

1x3






x12或x1
2


x
2
2x30


2

x2x10


2


1
1
2
或 1+
2

x<3
二、新授:
1.讨论课本中问题:(x+4)(x1)<0

等价于(x+4)与(x1)异号,即:




x10

解之得:4 < x < 1 与 无解

x40

x10


x40

x10


x40
∴原不等式的解集是:{ x |

}∪{ x |


x40

x10

}
={ x | 4 < x < 1 }∪φ= { x | 4 < x < 1 }
同理:(x+4)(x1)>0 的解集是:{ x |

2.提出问题:形如

x40


x10
}∪{ x |

xa
0
的简单分式不等式的解法:
xb

xa0

xa0
同样可转化为一元二次不等式组 { x |

}∪{ x |

}
xb0xb0

xa
0
也可转化(略)
xb

x40


x10
}
注意:1实际上 (x+a)(x+b)>0(<0) 可考虑两根 a与 b,利用法则
求解:但此时必须注意 x 的系数为正。
2简单分式不等式也同样要注意的是分母不能0(如
时)
3形如
xa
c0
的分式不等式,可先通分,然后用上述方
xb
xa
0
xb
法求解
3.例五:P21 略
4.练习 P21 口答板演
三、如若有时间多余,处理《课课练》P16--17 “例题推荐”
四、小结:突出“转化”
五、作业:P22 习题1.5 2--8 及《课课练》第9课中挑选部分
第十四教时
教材: 苏大《教学与测试》P13-16第七、第八课
目的: 通过教学复习含绝对值不等式与一元二次不等式的解法,逐步形成教熟
练的技巧。

过程:
一、复习:1. 含绝对值不等式式的解法:

(1)利用法则;


(2)讨论,打开绝对值符号
2.一元二次不等式的解法:利用法则(图形法)

二、处理苏大《教学与测试》第七课 — 含绝对值的不等式
《课课练》P13 第10题:

(a1)
2
(a1)
2


设A=

x|x

B={x|2

x

3a+1}是否存在实数a的值,
22


分别使得:(1) A∩B=A (2)A∪B=A
(a1)
2
(a1)
2
(a1)
2
解:∵

∴ 2a

x

a
2
+1
x
222
∴ A={x|2a

x

a
2
+1}
(1) 若A∩B=A 则AB ∴ 2

2a

a
2
+1

3a+1

1

a

3
(2) 若A∪B=A 则BA
∴当B=Ø时 2>3a+1

a<
1
3

当BØ时 2a

2

3a+1

a
2
+1 无解
∴ a<
1
3

三、处理《教学与测试》第八课 — 一元二次不等式的解法
《课课练》 P19 “例题推荐” 3
关于x的不等式
x
2
kxk
xx3
2
3
对一切实数x恒成立, 求实数k的取值范围。
解:∵ x
2
x+3>0恒成立 ∴ 原不等式可转化为不等式组:


2x
2


k3

x9k0


2


4xk3x9k0

由题意上述两不等式解集为实数

9k7

2



1


k3

8

9k

0


2



2


k3

16

9k

0




5410k7

5410k5410

即为所求。

四、作业:《教学与测试》第七、第八课中余下部分。
第十五教时
教材:二次函数的图形与性质(含最值);
苏大《教学与测试》第9课、《课课练》第十课。

目的: 复习二次函数的图形与性质,期望学生对二次函数y=ax
2
+bx+c的三个参
数a,b,c的作用及对称轴、顶点、开口方向和 △ 有更清楚的认识;同时对
闭区间内的二次函数最值有所了解、掌握。
过程:

一、复习二次函数的图形及其性质 y=ax
2
+bx+c (a0)
1.配方
y
b

4acb
2

ya

x


2a4a

2
顶点,对称轴
2.交点:与y轴交点(0,c)
(0,c)
x
与x轴交点(x
1
,0)(x
2
,0)
求根公式
x
1
x
2


a
O

x
1
x
2

3.开口
4.增减情况(单调性) 5.△的定义
二、图形与性质的作用 处理苏大《教学与测试》第九课
例题:《教学与测试》P17-18例一至例三 略
三、关于闭区间内二次函数的最值问题
结合图形讲解: 突出如下几点:
1.必须是“闭区间” a
1

x

a
2
2.关键是“顶点”是否在给定的区间内;
3.次之,还必须结合抛物线的开口方向,“顶点”在区间中点的左侧还是右
侧综合判断。
处理《课课练》 P20“例题推荐”中例一至例三 略
四、小结:1


调二次函数y=ax
2
+bx+c (a0) 中三个“参数”的地位与作用。

我们实际上就是利用这一点来处理解决问题。
2


于二次函数在闭区间上的最值问题应注意顶点的位置。
五、作业: 《课课练》中 P21

6、

7、8
《教学与测试》 P18

5、

6、

7、8 及“思考题”
a
1
O
a
2
x
y
第十六教时
教材: 一元二次方程根的分布
目的: 介绍符号“f(x)”,并要求学生理解一元二次方程ax
2
+bx+c=0 (a0)的根的
分布与系数a,b,c之间的关系,并能处理有关问题。

过程:
一、为了本课教学内容的需要与方便,先介绍函数符号“f(x)”。 如:二次

函数记作f(x)= ax
2
+bx+c (a0) x=1时的函数值记作f(1) 即
f(1)=a+b+c
二、 例一 已知关于x的方程 (k2)x
2
(3k+6)x+6k=0有两个负根,求k的
取值范围。


2



3k6

2
4

k2

6k0


5
k6

3k6
2
解:




0

2k2

k0


k2
5

k0或k2


6k


0


k2



此题主要依靠

及韦达定理求解,但此法有时不大奏效。
例二 实数a在什么范围内取值时,关于x的方程3x
2
5x+a=0的一根
大于2而小于0,另一根大于1而小于3。
y

f(2)3

2

2
5

2

a0


f(0)a0


f(1)35a0


f(3)33
2
53a0

解:
f(-2)
-2 O
1
f(3)
3
x


12f(1)

此题利用函数图象及函数值来“控制”一元二次方程根的分布。
例三 已知关于x的方程x
2
2tx+t
2
1=0的两个实根介于2和4之间,
求实数t的取值。

y
解:
O
4
-2
x

f(2)t
2
4t30

2

f(4)t8t150


4t
2
4(t
2
1)40


b

2t4

2a


1t3

此题既利用了函数值,还利用了

及顶点坐标来解题。
三、作业题(补充)
*1. 关于x的方程x
2
+ax+a1=0,有异号的两个实根,求a的取值
范围。(a<1)
*2. 如果方程x
2
+2(a+3)x+(2a3)=0的两个实根中一根大于3,另一根
小于3,求实数a的取值范围。 (a<3)
*3. 若方程8x
2
+(m+1)x+m7=0有两个负根,求实数m的取值范围。
(m>7)
*4. 关于x的方程x
2
ax+a
2
4=0有两个正根,求实数a的取值范围。
(a>2)
(注:上述题目当堂巩固使用)
5.设关于x的方程4x
2
4(m+n)x+m
2
+n
2
=0有一个实根大于1,另
一个实根小于1,则m,n必须满足什么关系。
((m+2)
2
+(n+2)
2
<4)

6.关于x的方程2kx
2
2x3k2=0有两个实根,一根大于1另一个
实根小于1,求k的取值范围。 (k<4 或 k>0)
7.实数m为何值时关于x的方程7x
2
(m+13)x+m
2
m2=0的两个
实根x
1
,x
2
满足01
2
<2。
(238.已知方程x
2
+ (a
2
9)x+a
2
5a+6=0的一根小于0,另一根大于2,
求实数a的取值范围。 (29.关于x的二次方程2x
2
+3x5m=0有两个小于1的实根,求实数
m的取值范围。 (940

m<1)
10.已知方程x
2
mx+4=0在1

x

1上有解,求实数m的取值范
围。

m
2
160

2x
1
x
2
2
解:如果在1

x

1上有两个解,则



f

1

0


f

1

0


m

如果有一个解,则f(1)•f(1)

0 得 m
≤5 或 m≥5




(附:作业补充题)





作 业 题
(补充)

*1. 关于x的方程x
2
+ax+a1=0,有异号的两个实根,求a的取值范围。
*2. 如果方程x
2
+2(a+3)x+(2a3)=0的两个实根中一根大于3,另一根小于3,
求实数a的取值范围。
*3. 若方程8x
2
+(m+1)x+m7=0有两个负根,求实数m的取值范围。
*4. 关于x的方程x
2
ax+a
2
4=0有两个正根,求实数a的取值范围。
(注:上述题目当堂巩固使用)
5.设关于x的方程4x
2
4(m+n)x+m
2
+n
2
=0有一个实根大于1,另一个实根
小于1,则m,n必须满足什么关系。
6.关于x的方程2kx
2
2x3k2=0有两个实根,一根大于1另一个实根小于
1,求k的取值范围。

7.实数m为何值时关于x的方程7x
2
(m+13)x+m
2
m2=0的两个实根x
1
,x
2
满足01
2
<2。
8.已知方程x
2
+ (a
2
9)x+a
2
5a+6=0的一根小于0,另一根大于2,求实数a
的取值范围。
9.关于x的二次方程2x
2
+3x5m=0有两个小于1的实根,求实数 m的取值
范围。
10.已知方程x
2
mx+4=0在1

x

1上有解,求实数m的取值范围。






作 业 题
(补充)

*1. 关于x的方程x
2
+ax+a1=0,有异号的两个实根,求a的取值范围。

*2. 如果方程x
2
+2(a+3)x+(2a3)=0的两个实根中一根大于3,另一根小于3,
求实数a的取值范围。

*3. 若方程8x
2
+(m+1)x+m7=0有两个负根,求实数m的取值范围。
*4. 关于x的方程x
2
ax+a
2
4=0有两个正根,求实数a的取值范围。
(注:上述题目当堂巩固使用)
5.设关于x的方程4x
2
4(m+n)x+m
2
+n
2
=0有一个实根大于1,另一个实根
小于1,则m,n必须满足什么关系。

6.关于x的方程2kx
2
2x3k2=0有两个实根,一根大于1另一个实根小于
1,求k的取值范围。
7.实数m为何值时关于x的方程7x
2
(m+13)x+m
2
m2=0的两个实根x
1
,x
2
满足01
2
<2。
8.已知方程x
2
+ (a
2
9)x+a
2
5a+6=0的一根小于0,另一根大于2,求实数a
的取值范围。

9.关于x的二次方程2x
2
+3x5m=0有两个小于1的实根,求实数 m的取值

范围。

10.已知方程x
2
mx+4=0在1

x

1上有解,求实数m的取值范围。






第十七教时
教材: 绝对值不等式与一元二次不等式练习课
目的: 通过练习逐步做到能较熟练掌握上述两类不等式的解法。

过程:
一、复习:绝对值不等式与一元二次不等式的复习。
二、例题:


1、解不等式
21
35x35x
2
和②
12

44
9
7
解①:
x
解②:
x

5
5
7979
∴原不等式的解集是{x|
x
}∪{x|
x
}={x|
x

x
5555
25x15



2、解不等式
346
525x15
解:原不等式可化为:


1020x1110

6346
121121
∴ ∴原不等式的解集是{x| }
xx
20202020
35x
4

解:原不等式可化为:①
1
}



5

25x1

3

4

6
或解:原不等式化为

(略)

25x15


46

3


3、解关于x的不等式
2x31a
(aR)
解:原不等式可化为:
2x3a1

当 a+1>0 即a>1时 (a+1)<2x+3
当 a+1

0即 a

1时 解集为Ø
∴当a>1时 原不等式的解集是 {x|

当a

1时 解集为Ø


4、解不等式
214x7

a4a2
x
};
22
a4a2
x

22

解一:原不等式可化为:
24x17

13

x或x

4x12

313
44
x或x2







3
4x17
244



x2
2


1

11

4x1当x时


xx
4
∴ Ⅰ:

解二: ∵
14x

Ⅱ:

4

4
1


14x当x时

24x17

214x7
4

(下略)
解三:原不等式解集等价于下面两个不等式解集的并集:2

14x<7
2

(14x)<7
(下略)


5、解不等式 |x+2| + |1x|解:原不等式即为 |x+2| + |x1| Ⅰ:



Ø
x21xx4

Ⅱ:



1x21xx4

Ⅲ:



1

x
<
3
x2x1x4

∴ 原不等式的解集为:{x|1

6、解下列不等式:
① 3-6x-2x
2
<0
解:整理得 2x
2
+6x-3<0用求根公式求根得解集{x|
② (x-1)(3-x) 解:整理得 2x
2
3x+4>0 ∵
230
∴不等式解集为 R

x41
0
不等式解集为{x|x

-4或x>}
3x13

3x10

3x10
或解:取并集




2x53x12x53x1

315315
}
x
22

x1

2x1

x2
2x5
1

3x1
解:移项,通分,整理得
④ 0

x
2
-2x-3<5
解:原不等式的解集为下面不等式组的解集



x
2
2x30


2

x2x55





x1或x3


2x4
∴原不等式的解集为 {x|-2
-1 或 3

x<4}



7、已知U=R且 A={x|x
2
-5x-6<0} B={x| |x-2|

1} 求:
1)A∩B 2)A∪B 3)(C
u
A)∩(C
u
B)
解:A={x|-1
1或x

3}

A∩B={x|-1
1或3

x<6} A∪B=R
C
u
A={x|x

-1或x

6} C
u
B={x|1 ∴(C
u
A)∩(C
u
B)= {x|x

-1或x

6}∪{x|1 也可求 C
u
(A∪B)= Ø


8、解关于x的不等式 (1-a)x
2
+4ax-(4a+1)>0 (aR)
解:1 当1-a=0即 a=1时 原不等式化为 4x-5>0 x>
2 当 1-a>0即a<1时 ∵

=4(3a+1)
(1)当


a1

3a10

5
4
1

a1


>0
3

2a3a12a3a1


或x


1a1a


此时原不等式的解集是


x|x


1
(2)当a=



=0 原不等式化为 4x
2
-4x+1>0 即 (2x-1)
2
>0
3
1
此时原不等式的解集是 {xR|x}
2
1
(3)当a<



<0 且 1-a>0 此时原不等式的解集为R
3
3 当1-a<0即a>1时 原不等式可化为 (a-1)x
2
-4ax+(4a+1)<0
这样a-1>0这时

=4(3a+1)>0 用求根公式求得:


1
综上可得:当a<-时原不等式解集为R
3
1
1
当a=-时原不等式解集为{xR|x}
2
3

2a3a12a3a1

1

或x

a1
时原不等式解集为


x|x


1a1a
3


5
当a=1时原不等式解集为{x| x>}
4

2a3a12a3a1


x|x
当a>1时原不等式解集为



a1a1


此时原不等式的解集为:


x|

2a3a12a3a1


x


a1a1


x
2
x30


9、已知A={x| |x-a|

1} B={x|
0
}且A∩B=Ø求a的范围。

x3
解:化简A={a-1
≤x≤
a+1}
(x6)(x5)
x
2
x30


0 介绍“标根法”
0



x3
x3
B={x|-5

x<3 或 x

6}
要使A∩B=Ø必须满足 a+1<-5 或

即a<-6或4

a<5

a16
∴ 满足条件的a的范围是a<-6或4

a<5


10、

(1)若不等式 (1-a)x
2
-4x+6>0的解集是{x|-3

(2)若-32
-4x+6>0成立, 求a的取值范围。


a13


4

1a
312
解:

(1)由题设可知 1-a<0



a3

6

313

1a


(2)设 y=(1-a)x
2
-4x+6
1
3
1

当1-a>0即a<1时 抛物线开口向上

=24a-8
当a<时

<0 解集为R -3
>0 此时对称轴 x=-
1
3
1
3
42
3
而x=1时y=3-a>0
2(1a)1a
由图象可知: -30
当a=时
0
这时对x3都有y>0 故-3∴ a<1时 若-32
-4x+6>0都成立
2

当a=1时不等式为-4x+6>0对于-3即-4x+6>0成立
3当a>1时1-a<0 抛物线开口向下 要使-32
-4x+6>0成立


必须

a1



x3时y0


x1时y0


a1




9(1a)180


(1a)20


1a3

综上:若-32
-4x+6>0成立,则a的取值范围是a

3
三、作业:《教学与测试》 第10课(选部分)
第十八教时
教材:逻辑联结词

(1)
目的:要求学生了解复合命题的意义,并能指出一个复合命题是有哪些简单命题
与逻辑联结词,并能由简单命题构成含有逻辑联结词的复合命题。
过程:
一、提出课题:简单逻辑、逻辑联结词
二、命题的概念:例:12>5 ① 3是12的约数 ② 0.5是整数 ③
定义:可以判断真假的语句叫命题。
正确的叫真命题,错误的叫假命题。
如:①②是真命题,③是假命题
反例:3是12的约数吗。 x>5 都不是命题
不涉及真假(问题) 无法判断真假
上述①②③是简单命题。 这种含有变量的语句叫开语句(条件命题)。

三、复合命题:

1.定义:由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题。
2.例:(1)10可以被2或5整除④ 10可以被2整除或10可以被5整

(2)菱形的对角线互相 菱形的对角线互相垂直且菱形的
垂直且平分⑤ 对角线互相平分
(3)0.5非整数⑥ 非“0.5是整数”
观察:形成概念:简单命题在加上“或”“且”“非”这些逻辑联结词成
复合命题。
3.其实,有些概念前面已遇到过
如:或:不等式 x
2
x6>0的解集 { x | x<2或x>3 }
且:不等式 x
2
x6<0的解集 { x | 2< x<3 } 即 { x | x>2且x<3 }
四、复合命题的构成形式
如果用 p, q, r, s……表示命题,则复合命题的形式接触过的有以下三种:
即: p或q (如 ④) 记作 pq
p且q (如 ⑤) 记作 pq
非p (命题的否定) (如 ⑥) 记作 p
五、例一: P26(略)
学生练习 P26 “练习”
处理《课课练》 课时13 “基础训练”及“例题推荐”
六、小结:1.命题 2.复合命题 3.复合命题的构成形式
七、作业:课本 P29 习题1.6

1、2
《课课练》课时13 余下部分
第十九教时
教材: 逻辑联结词

(2)
目的: 通过实例,要求学生理解逻辑联结词,“或”“且”“非”的含义,并能
利用真值表,判断含有复合命题的真假。
过程:
一、复习:“命题”“复合命题”的概念

本堂课研究的问题是:概括简单命题的真假,讨论含有“或“且”“非”
的复合命题的真假。
二、先介绍“真值”:命题分“真”“假”两种判断结论。也可用1表示“真”;
0表示“假”。
这里1与0表示真值,所以真值只能是1
或0。
生活中常有“中间情况”从而诞生了“模糊逻辑”。

三、真值表:
1.非p形式:
例:命题P:5是10的约数(真) 命题p:5是8的约数(假)
则命题非p:5不是10的约数(假) 非p:5不是8的约数(真)
结论:为真非为假 、为假非为真
p


记忆:“真假相反”
2.p且q形式
例:命题p:5是10的约数(真) q:5是15的约数 (真)
s:5是12的约数 (假) r:5是8的约数 (假)
则命题p且q:5是10的约数且是15的约数(真)
p且q:5是10的约数且是8的约数(假)
p且q:5是12的约数且是8的约数(假)
p




q




p且q




p




q




p或q




非p


记忆:“同真为真”(其余为假) “同假为假”(其余为真)
3.p或q形式 仍看上例
则命题p或q: 5是10的约数或5是15的约数 (真)
p或r:5是10的约数或5是8的约数 (真)
s或r:5是12的约数或5是8的约数 (假)

四、几个注意问题:
1.逻辑中的“或”与日常生活中的“或”是有区别的
例:“苹果是长在树上或长在地里”生活中这句话不妥,但在逻辑中
却是真命题。

2.逻辑联结词中“或”与“且”的意义:
举出一些生活例子,见 P28 洗衣机例子 开门的事
电路:


或门电路(或) 与门电路(且)
3.学生讨论:举例
五、例题:P25例二
练习(提问) P28
六、有时间则处理“教学与测试”第11课
七、作业:P29 习题1.6

3、4
第二十教时
教材:四种命题
目的:要求学生掌握四种命题,给出一个简单的命题(原命题)要能写出它的逆
命题、否命题、逆否命题。

过程:
一、复习初中学过的命题与逆命题的知识
定义:如果第一个命题的条件(或题设)是第二个命题的结论,且第一个
命题的结论是第二个命题的条件,这两个命题叫互逆命题。
其中一
个命题叫做原命题,另一个命题叫做原命题的否命题。
例:“同位角相等,两直线平行”

(1)
条件(题设):同位角相等。 结论:两直线平行
它的逆命题:两直线平行,同位角相等。

(2)
二、新授:
1.看两个命题:同位角不相等,两直线不平行

(3)
两直线不平行,同位角不相等

(4)
比较命题

(1)与

(3):一个命题的条件和结论,分别是另一个命题的
条件的否定和结论的否定。
…………互否命


比较命题

(1)与

(4):一个命题的条件和结论,分别是另一个命题的
结论的否定和条件的否定。……互为逆否命

2.概括:

(1)为原命题

(2)为逆命题


(3)为否命题

(4)为逆否命题
3.若p为原命题条件,q为原命题结论
则:原命题:若 p 则 q 逆命题:若 p 则 q
否命题:若 p 则 q 逆否命题:若 q 则 p
4.例一 见 P30 例一 略
注意:关键是找出原命题的条件(p),结论(q)
然后适当改写成更明显的形式。
5.注意:1为什么称“互为”逆命题(否命题,逆否命题)
..
2要重视对命题的剖析:条件、结论
三、练习 (P31)
四、拓宽引申:
例:写出命题“若 xy= 0 则 x = 0或 y = 0”的逆命题、否命题、逆否命题
解:逆命题:若 x = 0或 y = 0 则 xy = 0
否命题:若 xy  0 则 x  0且 y  0
逆否命题:若 x  0且 y  0 则 xy0
五、作业:P33 习题1.7 1 、2
《课课练》P28-29 课时15中选部分
第二十一教时
教材:四种命题的关系
目的:要求学生理解四种命题的关系,并能利用这个关系判断命题的真假。
过程:
一、复习:四种命题
提问:说出命题“若两个三角形全等,则这两个三角形相似”的逆命题、
否命题、逆否命题。(解答略)
二、
1.接复习提问:原命题与逆否命题互逆否,否命题与逆命题互逆否,逆命
题与逆否命题互逆。

原命题
若p则q
逆命题
若q则p

小结:得
表:







否命题
若p

则q





互逆


逆否命题

p

若q则







互逆
2.如果原命题为真,则逆命题、否命题、逆否命题真假如何。
例:原命题:“若 a = 0 则 ab = 0”是真命题
逆命题:“若 ab = 0 则 a = 0”是假命题
否命题:“若 a  0 则 ab  0”是假命题
逆否命题:“若 ab  0 则 a  0”是真命题
小结:原命题为真,逆命题不一定为真,
否命题也不一定为真,逆否命题为真。
3.又例:若四边形 ABCD为平行四边形,则对角线互相平分。
它的逆命题、否命题、逆否命题均为真。
三、例题: P32 例二 (略)
又例:命题“若 x = y 则 x
2
= y
2
”写出它的逆命题、否命题、逆否命题,
并判断它的真假。
解:逆命题:若 x
2
= y
2
则 x = y (假,如 x = 1, y = 1)
否命题:若 x

 y 则 x
2
 y
2
(假,如 x = 1, y = 1)
逆否命题:若 x
2
 y
2
则 x  y (真)
又例:写出命题:“若 x + y = 5则 x = 3且 y = 2”的逆命题否命题逆否
命题,并判断它们的真假。

解:逆命题:若 x = 3 且 y = 2 则 x + y = 5 (真)
否命题:若 x

+ y  5 则 x  3且y2 (真)
逆否命题:若 x

 3 或y2 则 x + y 5 (假)
四、处理《课课练》 30—31 16课
五、作业:课本33—34习题1.7中3,4

《课课练》16课余下部分
第二十二教时
教材:反证法
目的:要求学生初步学会反证法的步骤,并能用以证明一些命题。
过程:
一、提出问题:初中平几中有一个命题:
“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”。
二、如何证明:
1,(教师给出如下方法)
证:先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点,
则O在AB的中垂线l上,O又在BC的中垂线m上,
即O是l与m的交点。
但∵A、B、C共线,∴l∥m(矛盾)
∴过在同一直线上的三点A、B、C不能作图。

2.指出这种证明方法是“反证法”。
定义:从命题结论的反面出发,引出矛盾,从而证明命题
成立,这样的证明方法叫反证法。
即:欲证p则q,证:p且非q(反证法)
3,反证法的步骤:1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立。
2)从这个假设出发,通过推理论证,得出矛盾。
3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。
4,反证法:1)反设(即假设) p则q(原命题) 反设p且非q。

2)可能出现三种情况:
①导出非p为真——与题设矛盾。
②导出q为真——与反设中“非q“矛盾。

③导出一个恒假命题——与公理、定理矛盾。
三、例一(P32例3) 用反证法证明:如果a>b>0,那么
ab

证一(直接证法)
ab

ab

ab


∵a>b>0,∴a  b>0即

ab

证二(反证法)假设
a
不大于
b
,则
ab或ab

∵a>0,b>0,∴
abaaab
① 或
abbb

由①、②(传递性)知:
aabb
即 a < b(与题设矛盾)
C
P
B
A
O
D

ab

ab0
,∴
ab0



同样,若
abab
(与题设矛盾)

ab

例二、(P32--33例4)用反证法证明圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。

证明:反设AB、CD被P平分
∵P不是圆心,连结OP
则由垂径定理:
OPAB,OPCD
则过P有两条直线与OP垂直(矛盾)
∴弦AB,CD不被P平分



例三、用反证法证明:
2
不是有理数。

证:假设
2
是有理数,则不妨设
2
(m,n为互质正整数)
n
m
2
22
从而:
()2

m2n
,可见m是偶数。
n
设m=2p(p是正整数),则
2n
2
m
2
4p
2
,可见n 是偶数。
这样,m.,n就不是互质的正整数(矛盾)。

2

2
不是有理数。

四、小结:反证法定义、步骤、注意点
五、作业:P33练习 P34习题1.7 5 及《课课练》P33例二。
m
不可能
n
m
第二十三教时
教材: 充要条件(1)
目的: 通过实例要求学生理解充分条件、必要条件、充要条件的意义,并能够
初步判断给定的两个命题之间的关系。
过程:
一、复习:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假:
1) 若x>0则x
2
>0; 2) 若两个三角形全等,则两三角形的面积相
等;
3) 等腰三角形两底角相等; 4) 若x
2
=y
2
则 x=y。
(解答略)
二、给出推断符号,紧接着给出充分条件、必要条件、充要条件的意义

1.由上例一: 由x>0,经过推理可得出x
2
>0
记作: x>0  x
2
>0 表示x>0是x
2
>0的充分条件
即: 只要x>0成立 x
2
>0就一定成立 x>0蕴含着x
2
>0;
同样表示:x
2
>0是x>0的必要条件。
一般:若p则q, 记作pq 其中p是q的充分条件, q是p的必要条件
显然: x
2
>0  x>0 我们说x
2
>0不是x>0的充分条件
x>0也不是x
2
>0的必要条件
由上例二: 两个三角形全等  两个三角形面积相等
显然, 逆命题 两个三角形面积相等  两个三角形全等
∴我们说: 两个三角形全等是两个三角形面积相等的充分不必要条件
两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件
由上例三: 三角形为等腰三角形  三角形两底角相等
我们说三角形为等腰三角形是三角形两底角相等的充分且必要条
件,这种既充分又必要条件,称为充要条件。

由上例四:显然 x
2
=y
2
 x=y
x
2
=y
2
是x=y的必要不充分条件; x=y 是x
2
=y
2
的充分不必要条
件。
三、小结: 要判断两个命题之间的关系,关键是用什么样的推断符号把两
个命题联结起来。
四、例一:(课本P34例一)
例二:(课本P35-36 例二)
练习 P35 、P36
五、作业:P36-37 习题1.8
第二十五教时
教材:简易逻辑、四种命题、反证法、充要条件;《教学与测试》

11、

12、13课
目的:复习上述教学内容,要求学生对有关知识的掌握更加牢固,理解更加深刻。
过程:
一、复习:



1、简易逻辑:(1) 命题的概念 — 能判断真假
(2) 逻辑联结词及复合命题:“或”、“且”、“非”
(3) 复合命题的真假 — 真值表, 简单复合命题的否定


2、四种命题:(1) 四种命题 — 原命题、逆命题、否命题、逆否命题
(2) 四种命题的关系:互逆、互否、互为逆否及其真假


3、反证法: 步骤及如何导出“矛盾”


4、充要条件:(1) 有关意义:充分条件,必要条件,充要条件 — 强调利用
推断符号
(2) 充要条件与四种命题的关系
二、处理《教学与测试》第11课 P21-22 口答为主
例一:主要强调“命题”的意义
例二:首先要写出三种简单复合形式,然后判断其真假。
例三:注意训练将常用的命题“改写”成三种不同形式以利解题
三、处理《教学与测试》第12课 P23-24
例一:注意命题的否定形式,尤其是简单复合命题的否定形式。

例二:强调由原命题写出其他三种命题。
例三:突出反证法的步骤及注意事项。
四、处理《教学与测试》第13课 P25-26
例一:要能利用推断符号判断充分条件,必要条件和充要条件。
例二:突出三个(或以上)命题的充要条件的判断方法。
例三:体现充要条件的应用。
五、作业:上述三课中余下部分(其中相当的部分可做在书上)
第二十六教时
教材:“简易逻辑”习题课
目的:通过习题的讲解与练习,努力达到熟练技巧。
过程:
一、分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题:
1.p:李明是高中一年级学生 q:李明是共青团员
解:p或q:李明是高中一年级学生或是共青团员
p且q:李明是高中一年级学生且是共青团员

非p:李明不是高中一年级学生
2.p:
52
q:
5
是无理数
解:p或q:
5
是大于2或是无理数
p且q:
5
是大于2且是无理数
非p:
5
不大于2
3.p:平行四边形对角线相等 q:平行四边形对角线互相平分
解:p或q:平行四边形对角线相等或互相平分
p且q:平行四边形对角线相等且互相平分
非p: 平行四边形对角线不一定相等
4.p:10是自然数 q:10是偶数
解:p或q:10是自然数或是偶数
p且q:10是自然数且是偶数
非p: 10不是自然数
二、分别指出下列复合命题的构成形式及构成它的简单命题:
1.x=2或x=3是方程x
2
5x+6=0的根
解: p:x=2是方程x
2
5x+6=0的根 q:x=3是方程x
2
5x+6=0的根
是p或q的形式
2.既大于3又是无理数
解: p:大于3 q:是无理数 是p且q的形式
3.直角不等于90
解: p:直角等于90 是非p形式
4.x+1

x3
解: p:x+1
>
x3 q:x+1
=
x3 是p或q的形式

5.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。
解: p:垂直于弦的直径平分这条弦
q:垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧 是p且q的形式
三、
分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题,
并判断它们的真假:
1.p:末位数字是0的自然数能被5整除 q:5{x|x
2
+3x10=0}
解:p或q:末位数字是0的自然数能被5整除或5{x|x
2
+3x10=0}
p且q:末位数字是0的自然数能被5整除且5{x|x
2
+3x10=0}

非p:末位数字是0的自然数不能被5整除
∵p真q假 ∴“p或q” 为真,“ p且q”为假,“非p”为假。

2.p:四边都相等的四边形是正方形 q:四个角都相等的四边形是正方形
解:p或q:四边都相等的四边形是正方形或四个角都相等的四边形是正方形
p且q:四边都相等的四边形是正方形且四个角都相等的四边形是正方形
非p:四边都相等的四边形不是正方形
∵p假q假 ∴“p或q” 为假,“ p且q”为假,“非p”为真。
3.p:0 q:{x|x
2
3x5<0}





R
解:p或q: 0或{x|x
2
3x5<0}




R
p且q: 0且{x|x
2
3x5<0}




R

非p: 0
∵p假q真 ∴“p或q” 为真,“ p且q”为假,“非p”为真。

4.p:5

5 q:27不是质数
解:p或q:5

5或27不是质数
p且q:5

5且27不是质数
非p: 5>5
∵p真 q真 ∴“p或q” 为真,“ p且q”为真,“非p”为假。
5.p:不等式x
2
+2x8<0的解集是:{x|4q:不等式x
2
+2x8<0的解集是:{x| x<4或x> 2}
解:p或q:不等式x
2
+2x8<0的解集是:{x|4 2}
p且q:不等式x
2
+2x8<0的解集是:{x|4 2}
非p:不等式x
2
+2x8<0的解集不是:{x|4 ∵p真 q假 ∴“p或q” 为真,“ p且q”为假,“非p”为假。
四、把下列改写成“若p则q”的形式,并判断它们的真假:
1.实数的平方是非负数。

解:若一个数是实数,则它的平方是非负数。(真命题)
2.等底等高的两个三角形是全等三角形。

解:若两个三角形等底等高,则这两个三角形是全等三角形。
(假命题)
3.被6整除的数既被3整除又被2整除。
解:若一个数能被6整除,则它能被3整除又能被2整除。(真命题)
4.弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧。

解:若一条直线是弦的垂直平分线,则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧。
(真命题)
五、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断真假:
1.面积相等的两个三角形是全等三角形。
解:逆命题:两个全等三角形面积相等。(真命题)
否命题:面积不等的两个三角形不是全等三角形。(真命题)
逆否命题:不全等的两个三角形面积不相等。(假命题)
2.若x=0则xy=0。

解:逆命题:若xy=0则x=0。(假命题)
否命题:若x0则xy0。(假命题)
逆否命题:若xy0则x0。
(真命题)
3.当c<0时,若ac>bc则a 解:逆命题:当c<0时,若abc。(真命题)
否命题:当c<0时,若ac

bc则a

b。(真命题)
逆否命题:当c<0时,若a

b则ac

bc。
(真命题)
4.若mn<0,则方程mx
2
x+n=0有两个不相等的实数根。
解:逆命题:若方程mx
2
x+n=0有两个不等实数根,则mn<0。
(假命题)
否命题:若mn

0,则方程mx
2
x+n=0没有两个不等实数根。
(假命题)
逆否命题:若方程mx
2
x+n=0没有两个不等实数根,则mn

0。(真命题)
六、写出下列各命题的否定及其否命题,并判断它们的真假:
1.若x,y都是奇数,则x+y是偶数。

解:命题的否定:x,y都是奇数且x+y不是偶数。
(假命题)
否命题:若x,y不都是奇数,则x+y不是偶数。(假命题)
2.若xy=0则x=0或y=0
解:命题的否定:xy=0且x0又y0。(假命题)
否命题:若xy0则x0且y0。(真命题)
七、用反证法证明:
1.已知a与b均为有理数,且
a

b
都是无理数,证明
a
+
b
也是无理
数。

证明:假设
a
+
b
是有理数,则(
a
+
b
)(
a

b
)=ab
由a>0, b>0 则
a
+
b
>0 即
a
+
b
0


ab
ab
ab
ab
ab
∵a,bQ 且
a
+
b
Q
∴Q 即(
a

b
)Q
这样(
a
+
b
)+(
a

b
)=2
a
Q
从而
a
Q (矛盾) ∴
a
+
b
是无理数。
2.在同一平面内一直线的垂线与斜线一定相交。
证明: 假设l
1
与l
2
不相交,则l
1
∥l
2

l
2
l
1

如图,设l
1
与l
2
相交所得的一对同位角为1和2
则1=2 ∵l
2
是l的斜线 ∴290

l
从而 190
说明l
1
与l的交角不是直角,这与l
1
l矛盾
∴l
1
和l
2
一定相交。
八、指出下列各组命题中p是q的什么条件(充分不必要条件,必要不充分条件,
充要条件,既不充分也不必要条件):
1.p:a
2
>b
2
q:a>b 则p是q的 既不充分也不必要条件 。
2.p:{x|x>2或x<3} q:{x|x
2
x6<0} 则p是q的 必要而不充分条件 。
3.p:a与b都是奇数 q:a+b是偶数 则p是q的 充分不必要条件 。
1
4.p:02
2x+3=0有两个同号且不相等的实数根
3
则p是q的 充要条件 。

九、判断下列命题的真假:
1.(x2)(x+3)=0是(x2)
2
+(y+3)
2
=0的充要条件。

解:是假命题。反例;若x=2, y3
2.x
2
=4x+5是 x
4x5x
2
的必要条件。
解:是假命题。{x| x
2
=4x+5}={1,5} {x| x
4x5x
2
}={0,5}
3.内错角相等是两直线平行的充分条件。

解:是真命题。

4.ab<0是 |a+b|<|ab| 的必要而不充分条件。
解:是假命题。|ab|>|a+b|

0  (ab)
2
>(a+b)
2
 a
2
2ab+b
2
> a
2
+2ab+b
2
 4ab<0  ab<0 ∴(ab<0是 |a+b|<|ab| 的充要条件)
十、已知关于x的方程 (1a)x
2
+(a+2)x4=0 aR 求:
2 1

1) 方程有两个正根的充要条件;
2) 方程至少有一个正根的充要条件。


1a0
解:1) 方程(1a)x
2
+(a+2)x4=0有两个实根的充要条件是:


0


a1
即:


2

(a2)16(1a)0

a1



a2或a10
即: a

10或a

2且a1
设此时方程两根为x
1
,x
2
∴有两正根的充要条件是:

a1
a1


a2或a10

a2或a10


a2





 1
2或a

10 即为所求。
0
xx0
2

a1

1

4
0


x
1
x
2
0


a1
2) 从1)知1
2或a

10方程有两个正根
4
当a=1时, 方程化为 3x4=0有一个正根x=
3
方程有一正、一负根的充要条件是:

1a0



0


xx0

12

a1



a2或a10
 a<1
4

0


a1
综上:方程(1a)x
2
+(a+2)x4=0至少有一正根的充要条件是a

2或a

10。
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