第八课时 等比数列(二)
教学目标：
灵活应用等比数列的定义及通项公式，深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；
提高学生的数学素质，增强学生的应用意识.
教学重点：
1.等比中项的理解与应用.
2.等比数列定义及通项公式的应用.
教学难点：
灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
等比数列定义，等比数列通项公式
Ⅱ.讲授新课
根据定义、通项公式，再与等差数列对照，看等比数列具有哪些性质?
a＋b
(1)若a，A，b成等差数列

a＝ ，A为等差中项.
2
那么，如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，……
Gb
则即 ＝ ，即G
2
＝ab
aG
Gb
反之，若G
2
＝ab，则 ＝ ，即a，G，b成等比数列
aG
∴a，G，b成等比数列

G
2
＝ab (a·b≠0)
总之，如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这个数G为
a与b的等比中项.即G＝±ab ，(a，b同号)
另外，在等差数列中，若m＋n＝p＋q，则a
m
＋a
n
＝a
p
＋a
q
，那么，在等比数列中呢。
－－－－
由通项公式可得：a
m
＝a
1
q
m
1
，a
n
＝a
1
q
n
1
，a
p
＝a
1
q
p
1
，a
q
＝a
1
·q
q
1

－－
不难发现：a
m
·a
n
＝a
1
2
q
m
+
n
2
，a
p
·a
q
＝a
1
2
q
p
+
q
2

若m＋n＝p＋q，则a
m
·a
n
＝a
p
·a
q

下面看应用这些性质可以解决哪些问题?
［例1］在等比数列{a
n
}中，若a
3
·a
5
＝100，求a
4
.
分析：由等比数列性质，若m＋n＝p＋q，则a
m
·a
n
＝a
p
·a
q
可得：
解：∵在等比数列中，∴a
3
·a
5
＝a
4
2

又∵a
3
·a
5
＝100，∴a
4
＝±10.
［例2］已知{a
n
}、{b
n
}是项数相同的等比数列，求证{a
n
·b
n
}是等比数列.
分析：由等比数列定义及通项公式求得.
解：设数列{a
n
}的首项是a
1
，公比为p；{b
n
}的首项为b
1
，公比为q.
－
则数列{a
n
}的第n项与第n＋1项分别为a
1
p
n
1
，a
1
p
n

－
数列{b
n
}的第n项与第n＋1项分别为b
1
q
n
1
，b
1
q
n
.
－－
数列{a
n
·b
n
}的第n项与第n＋1项分别为a
1
·p
n
1
·b
1
·q
n
1
与a
1
·p
n
·b
1
·q
n
，即为
－
a
1
b
1
(pq)
n
1
与a
1
b
1
(pq)
n

a
1
b
1
（pq）
n
a
n+1
b
n+1
∵ · ＝
－
＝pq
a
n
b
n
a
1
b
1
（pq）
n
1
它是一个与n无关的常数，
∴{a
n
·b
n
}是一个以pq为公比的等比数列.
特别地，如果{a
n
}是等比数列，c是不等于0的常数，那么数列{c·a
n
}是等比数列.
［例3］三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数.
解：设m，G，n为此三数
由已知得：m＋n＋G＝14，m·n·G＝64，
又∵G
2
＝m·n，∴G
3
＝64，∴G＝4，∴m＋n＝10

m＝2

m＝8
∴

或



n＝8

n＝2
即这三个数为2，4，8或8，4，2.
评述：结合已知条件与定义、通项公式、性质，选择解题捷径.
Ⅲ.课堂练习
课本P
50
练习1，2，3，4，5.
Ⅳ.课时小结
本节主要内容为：
(1)若a，G，b成等比数列，则G
2
＝ab，G叫做a与b的等比中项.
(2)若在等比数列中，m＋n＝p＋q，则a
m
·a
n
＝a
p
·a
q

Ⅴ.课后作业
课本P
52
习题 5，6，7，9



















等比数列(二)
1．已知数列{a
n
}为等比数列，且a
n
＞0，a
2
a
4
＋2a
3
a
5
＋a
4
a
6
＝25，那么a
3
＋a
5
的值等于（ ）
A.5 B.10 C.15 D.20
2．在等比数列中，a
1
＝1，q∈R且|q|≠1，若a
m
＝a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
，则m等于 （ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
3．非零实数x、y、z成等差数列，x＋

1、y、z与x、y、z＋2分别成等比数列，则y等于（ ）
A.10 B.12 C.14 D.16
4．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四
数.





5．在数列{a
n
}和{b
n
}中，a
n
＞0，b
n
＞0，且a
n
，b
n
，a
n+1
成等差数列，b
n
，a
n+1
，b
n+1
成等比
数列，a
1
＝1，b
1
＝2，a
2
＝3，求a
n
∶b
n
的值.







y
6．设x＞y＞2，且x＋y，x－y，xy， 能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.
x






7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项
的和为18，求这四个数.





等比数列(二)答案
1．已知数列{a
n
}为等比数列，且a
n
＞0，a
2
a
4
＋2a
3
a
5
＋a
4
a
6
＝25，那么a
3
＋a
5
的值等于（ ）
A.5 B.10 C.15 D.20
分析：要确定一个等比数列，必须有两个独立条件，而这里只有一个条件，故用先确定
基本量a
1
和q，再求a
3
＋a
5
的方法是不行的，而应寻求a
3
＋a
5
整体与已知条件之间的关系.
解法一：设此等比数列的公比为q，由条件得a
1
q·a
1
q
3
＋2a
1
q
2
·a
1
q
4
＋a
1
q
3
·a
1
q
5
＝25
即a
1
2
q
4
(q
2
＋1)
2
＝25，又a
n
＞0，得q＞0
∴a
1
q
2
(q
2
＋1）＝5
a
3
＋a
5
＝a
1
q
2
＋a
1
q
4
＝a
1
q
2
(q
2
＋1)＝5
解法二：∵a
2
a
4
＋2a
3
a
5
＋a
4
a
6
＝25
由等比数列性质得a
3
2
＋2a
3
a
5
＋a
5
2
＝25
即(a
3
＋a
5
)
2
＝25，又a
n
＞0，∴a
3
＋a
5
＝5
评述：在运用方程思想方法的过程中，还要注意整体观念，善于利用等比数列的性质，
以达到简化解题过程、快速求解的目的.
2．在等比数列中，a
1
＝1，q∈R且|q|≠1，若a
m
＝a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
，则m等于 （ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
－
解：∵a
m
＝a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
＝a
1
5
q
1+2+3+4
＝a
1
5
q
10
＝a
1
5
q
111

－
又∵a
1
＝1，∴a
m
＝q
111
，∴m＝11. 答案：C
3．非零实数x、y、z成等差数列，x＋

1、y、z与x、y、z＋2分别成等比数列，则y等于（ ）
A.10 B.12 C.14 D.16
y＝x＋zy＝x＋z


2
2

2
2

2y＝3x
解：由已知得

y＝（x＋1）z



y＝（x＋1）z



2


y＝12
y＝（x＋1）2x

2


y＝x（z＋2）

z＝2x
答案：B
4．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四
数.
解：设所求的四个数分别为a，x－d，x，x＋d
2


（x－d）＝ax ①
则

a＋（x－d）＋x＝19 ②



（x－d）＋x＋（x＋d）＝12 ③

（4－d）
2
＝4a
解得x＝4，代入①、②得



a－d＝11

a＝25

a＝9
解得

或



d＝14

d＝－2
故所求四个数为25，－10，4，18或9，6，4，2.
5．在数列{a
n
}和{b
n
}中，a
n
＞0，b
n
＞0，且a
n
，b
n
，a
n+1
成等差数列，b
n
，a
n+1
，b
n+1
成等比
数列，a
1
＝1，b
1
＝2，a
2
＝3，求a
n
∶b
n
的值.
分析：关键是求出两个数列的通项公式.根据条件，应注意两个数列之间的联系及相互转
换.

2b
n
＝a
n
＋a
n
＋
1


①
解：由题意知：



a
n
＋
1
2
＝b
n
b
n
＋
1
②
∴a
n+1
＝b
n
b
n
＋
1
，a
n
＝b
n
b
n
－
1
(n≥2)
代入①得2b
n
＝b
n
b
n
＋
1
＋b
n
b
n
－
1

即2b
n
＝b
n
＋
1
＋b
n
－
1
(n≥2)
∴{b
n
}成等差数列，设公差为d
a
2
2
9
又b
1
＝2，b
2
＝ ＝ ，
b
1
2
∴d＝b
2
－b
1
＝
∴b
n
＝2 ＋
322
－2 ＝
22
221
（n－1）＝（n＋1），b
n
＝ （n＋1）
2
，
222
n（n＋1）
当n≥2时，a
n
＝b
n
b
n
－
1
＝ ③
2
且a
1
＝1时适合于③式，故
a
n
n
＝ .
b
n
n＋1
评述：对于通项公式有关系的两个数列的问题，一般采用消元法，先消去一个数列的项，
并对只含另一个数列通项的关系进行恒等变形，构造一个新的数列.
y
6．设x＞y＞2，且x＋y，x－y，xy， 能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.
x
y
分析：先由x＞y＞2，可知x－y＜x＋y＜xy，下来只需讨论 和x－y的大小关系，分
x
成两种情况讨论.
y
解：∵x＞y＞2，x＋y＞x－y，xy＞x＋y，而 ＜1＜x－y
x
yy
当 ＜x－y时，由 ，x－y，x＋y，xy顺次构成等比数列.
xx



y
·xy＝（x－y）（x＋y）
则有

x

2

（x＋y）＝（x－y）xy

7
解方程组得x＝7＋52 ，y＝5＋ 2
2
∴所求等比数列为
231799
，2＋ 2 ，12＋ 2 ，70＋ 2 .
2222
yy
当 ＞x－y时，由x－y， ，x＋y，xy顺次构成等比数列
xx
y
·xy＝（x＋y）
2
x
则有
y

（x＋y）＝（x－y）xy
x



解方程组得y＝
1
，这与y＞2矛盾，故这种情况不存在.
12
7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项
的和为18，求这四个数.
分析一：从后三个数入手.
（x－d）
2
解法一：设所求的四个数为 ，x－d，x，x＋d，根据题意有
x
2


x＝
4

27

（x－d）
＋（x＋d）＝21

x＝12
x

， 解得

或

9

4
d＝6


（x－d）＋x＝18


d＝
27
2
7545279
∴所求四个数为3，6，12，18或 ， ， ， .
4444
分析二：从前三数入手.
x
解法二：设前三个数为 ，x，xq，则第四个数为2xq－x.
q
45
x
x＝


＋2xq－x＝21

x＝6
4
依题设有

q
， 解得

或
3

q＝2



x＋xq＝18
q＝
5



7545279
故所求的四个数为3，6，12，18或 ， ， ， .
4444
分析三：从首末两项的和与中间两项的和入手.
解法三：设欲求的四数为x，y，18－y，2－x，由已知得：

x＝
4


y＝x（18－y）

x＝3

，解得

或


45

2（18－y）＝y＋（21－x）

y＝6

y＝
4

2
75
7545279
∴所求四数为3，6，12，18或 ， ， ，
4444
第八课时 等比数列(二)
教学目标：
灵活应用等比数列的定义及通项公式，深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；
提高学生的数学素质，增强学生的应用意识.
教学重点：
1.等比中项的理解与应用.
2.等比数列定义及通项公式的应用.
教学难点：
灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
等比数列定义，等比数列通项公式
Ⅱ.讲授新课
根据定义、通项公式，再与等差数列对照，看等比数列具有哪些性质?
a＋b
(1)若a，A，b成等差数列

a＝ ，A为等差中项.
2
那么，如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，……
Gb
则即 ＝ ，即G
2
＝ab
aG
Gb
反之，若G
2
＝ab，则 ＝ ，即a，G，b成等比数列
aG
∴a，G，b成等比数列

G
2
＝ab (a·b≠0)
总之，如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这个数G为
a与b的等比中项.即G＝±ab ，(a，b同号)
另外，在等差数列中，若m＋n＝p＋q，则a
m
＋a
n
＝a
p
＋a
q
，那么，在等比数列中呢。
－－－－
由通项公式可得：a
m
＝a
1
q
m
1
，a
n
＝a
1
q
n
1
，a
p
＝a
1
q
p
1
，a
q
＝a
1
·q
q
1

－－
不难发现：a
m
·a
n
＝a
1
2
q
m
+
n
2
，a
p
·a
q
＝a
1
2
q
p
+
q
2

若m＋n＝p＋q，则a
m
·a
n
＝a
p
·a
q

下面看应用这些性质可以解决哪些问题?
［例1］在等比数列{a
n
}中，若a
3
·a
5
＝100，求a
4
.
分析：由等比数列性质，若m＋n＝p＋q，则a
m
·a
n
＝a
p
·a
q
可得：
解：∵在等比数列中，∴a
3
·a
5
＝a
4
2

又∵a
3
·a
5
＝100，∴a
4
＝±10.
［例2］已知{a
n
}、{b
n
}是项数相同的等比数列，求证{a
n
·b
n
}是等比数列.
分析：由等比数列定义及通项公式求得.
解：设数列{a
n
}的首项是a
1
，公比为p；{b
n
}的首项为b
1
，公比为q.
－
则数列{a
n
}的第n项与第n＋1项分别为a
1
p
n
1
，a
1
p
n

－
数列{b
n
}的第n项与第n＋1项分别为b
1
q
n
1
，b
1
q
n
.
－－
数列{a
n
·b
n
}的第n项与第n＋1项分别为a
1
·p
n
1
·b
1
·q
n
1
与a
1
·p
n
·b
1
·q
n
，即为
－
a
1
b
1
(pq)
n
1
与a
1
b
1
(pq)
n

a
1
b
1
（pq）
n
a
n+1
b
n+1
∵ · ＝
－
＝pq
a
n
b
n
a
1
b
1
（pq）
n
1
它是一个与n无关的常数，
∴{a
n
·b
n
}是一个以pq为公比的等比数列.
特别地，如果{a
n
}是等比数列，c是不等于0的常数，那么数列{c·a
n
}是等比数列.
［例3］三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数.
解：设m，G，n为此三数
由已知得：m＋n＋G＝14，m·n·G＝64，
又∵G
2
＝m·n，∴G
3
＝64，∴G＝4，∴m＋n＝10

m＝2

m＝8
∴

或



n＝8

n＝2
即这三个数为2，4，8或8，4，2.
评述：结合已知条件与定义、通项公式、性质，选择解题捷径.
Ⅲ.课堂练习
课本P
50
练习1，2，3，4，5.
Ⅳ.课时小结
本节主要内容为：
(1)若a，G，b成等比数列，则G
2
＝ab，G叫做a与b的等比中项.
(2)若在等比数列中，m＋n＝p＋q，则a
m
·a
n
＝a
p
·a
q

Ⅴ.课后作业
课本P
52
习题 5，6，7，9



















等比数列(二)
1．已知数列{a
n
}为等比数列，且a
n
＞0，a
2
a
4
＋2a
3
a
5
＋a
4
a
6
＝25，那么a
3
＋a
5
的值等于（ ）
A.5 B.10 C.15 D.20
2．在等比数列中，a
1
＝1，q∈R且|q|≠1，若a
m
＝a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
，则m等于 （ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
3．非零实数x、y、z成等差数列，x＋

1、y、z与x、y、z＋2分别成等比数列，则y等于（ ）
A.10 B.12 C.14 D.16
4．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四
数.





5．在数列{a
n
}和{b
n
}中，a
n
＞0，b
n
＞0，且a
n
，b
n
，a
n+1
成等差数列，b
n
，a
n+1
，b
n+1
成等比
数列，a
1
＝1，b
1
＝2，a
2
＝3，求a
n
∶b
n
的值.







y
6．设x＞y＞2，且x＋y，x－y，xy， 能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.
x






7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项
的和为18，求这四个数.





等比数列(二)答案
1．已知数列{a
n
}为等比数列，且a
n
＞0，a
2
a
4
＋2a
3
a
5
＋a
4
a
6
＝25，那么a
3
＋a
5
的值等于（ ）
A.5 B.10 C.15 D.20
分析：要确定一个等比数列，必须有两个独立条件，而这里只有一个条件，故用先确定
基本量a
1
和q，再求a
3
＋a
5
的方法是不行的，而应寻求a
3
＋a
5
整体与已知条件之间的关系.
解法一：设此等比数列的公比为q，由条件得a
1
q·a
1
q
3
＋2a
1
q
2
·a
1
q
4
＋a
1
q
3
·a
1
q
5
＝25
即a
1
2
q
4
(q
2
＋1)
2
＝25，又a
n
＞0，得q＞0
∴a
1
q
2
(q
2
＋1）＝5
a
3
＋a
5
＝a
1
q
2
＋a
1
q
4
＝a
1
q
2
(q
2
＋1)＝5
解法二：∵a
2
a
4
＋2a
3
a
5
＋a
4
a
6
＝25
由等比数列性质得a
3
2
＋2a
3
a
5
＋a
5
2
＝25
即(a
3
＋a
5
)
2
＝25，又a
n
＞0，∴a
3
＋a
5
＝5
评述：在运用方程思想方法的过程中，还要注意整体观念，善于利用等比数列的性质，
以达到简化解题过程、快速求解的目的.
2．在等比数列中，a
1
＝1，q∈R且|q|≠1，若a
m
＝a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
，则m等于 （ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
－
解：∵a
m
＝a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
＝a
1
5
q
1+2+3+4
＝a
1
5
q
10
＝a
1
5
q
111

－
又∵a
1
＝1，∴a
m
＝q
111
，∴m＝11. 答案：C
3．非零实数x、y、z成等差数列，x＋

1、y、z与x、y、z＋2分别成等比数列，则y等于（ ）
A.10 B.12 C.14 D.16
y＝x＋zy＝x＋z


2
2

2
2

2y＝3x
解：由已知得

y＝（x＋1）z



y＝（x＋1）z



2


y＝12
y＝（x＋1）2x

2


y＝x（z＋2）

z＝2x
答案：B
4．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四
数.
解：设所求的四个数分别为a，x－d，x，x＋d
2


（x－d）＝ax ①
则

a＋（x－d）＋x＝19 ②



（x－d）＋x＋（x＋d）＝12 ③

（4－d）
2
＝4a
解得x＝4，代入①、②得



a－d＝11

a＝25

a＝9
解得

或



d＝14

d＝－2
故所求四个数为25，－10，4，18或9，6，4，2.
5．在数列{a
n
}和{b
n
}中，a
n
＞0，b
n
＞0，且a
n
，b
n
，a
n+1
成等差数列，b
n
，a
n+1
，b
n+1
成等比
数列，a
1
＝1，b
1
＝2，a
2
＝3，求a
n
∶b
n
的值.
分析：关键是求出两个数列的通项公式.根据条件，应注意两个数列之间的联系及相互转
换.

2b
n
＝a
n
＋a
n
＋
1


①
解：由题意知：



a
n
＋
1
2
＝b
n
b
n
＋
1
②
∴a
n+1
＝b
n
b
n
＋
1
，a
n
＝b
n
b
n
－
1
(n≥2)
代入①得2b
n
＝b
n
b
n
＋
1
＋b
n
b
n
－
1

即2b
n
＝b
n
＋
1
＋b
n
－
1
(n≥2)
∴{b
n
}成等差数列，设公差为d
a
2
2
9
又b
1
＝2，b
2
＝ ＝ ，
b
1
2
∴d＝b
2
－b
1
＝
∴b
n
＝2 ＋
322
－2 ＝
22
221
（n－1）＝（n＋1），b
n
＝ （n＋1）
2
，
222
n（n＋1）
当n≥2时，a
n
＝b
n
b
n
－
1
＝ ③
2
且a
1
＝1时适合于③式，故
a
n
n
＝ .
b
n
n＋1
评述：对于通项公式有关系的两个数列的问题，一般采用消元法，先消去一个数列的项，
并对只含另一个数列通项的关系进行恒等变形，构造一个新的数列.
y
6．设x＞y＞2，且x＋y，x－y，xy， 能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.
x
y
分析：先由x＞y＞2，可知x－y＜x＋y＜xy，下来只需讨论 和x－y的大小关系，分
x
成两种情况讨论.
y
解：∵x＞y＞2，x＋y＞x－y，xy＞x＋y，而 ＜1＜x－y
x
yy
当 ＜x－y时，由 ，x－y，x＋y，xy顺次构成等比数列.
xx



y
·xy＝（x－y）（x＋y）
则有

x

2

（x＋y）＝（x－y）xy

7
解方程组得x＝7＋52 ，y＝5＋ 2
2
∴所求等比数列为
231799
，2＋ 2 ，12＋ 2 ，70＋ 2 .
2222
yy
当 ＞x－y时，由x－y， ，x＋y，xy顺次构成等比数列
xx
y
·xy＝（x＋y）
2
x
则有
y

（x＋y）＝（x－y）xy
x



解方程组得y＝
1
，这与y＞2矛盾，故这种情况不存在.
12
7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项
的和为18，求这四个数.
分析一：从后三个数入手.
（x－d）
2
解法一：设所求的四个数为 ，x－d，x，x＋d，根据题意有
x
2


x＝
4

27

（x－d）
＋（x＋d）＝21

x＝12
x

， 解得

或

9

4
d＝6


（x－d）＋x＝18


d＝
27
2
7545279
∴所求四个数为3，6，12，18或 ， ， ， .
4444
分析二：从前三数入手.
x
解法二：设前三个数为 ，x，xq，则第四个数为2xq－x.
q
45
x
x＝


＋2xq－x＝21

x＝6
4
依题设有

q
， 解得

或
3

q＝2



x＋xq＝18
q＝
5



7545279
故所求的四个数为3，6，12，18或 ， ， ， .
4444
分析三：从首末两项的和与中间两项的和入手.
解法三：设欲求的四数为x，y，18－y，2－x，由已知得：

x＝
4


y＝x（18－y）

x＝3

，解得

或


45

2（18－y）＝y＋（21－x）

y＝6

y＝
4

2
75
7545279
∴所求四数为3，6，12，18或 ， ， ，
4444高中数学说课。

Tags： 高中数学说课