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高中数学教案人教A版必修

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第八课时 等比数列(二)
教学目标:
灵活应用等比数列的定义及通项公式,深刻理解等比中项概念,掌握等比数列的性质;
提高学生的数学素质,增强学生的应用意识.
教学重点:
1.等比中项的理解与应用.
2.等比数列定义及通项公式的应用.
教学难点:
灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题.
教学过程:
Ⅰ.复习回顾
等比数列定义,等比数列通项公式
Ⅱ.讲授新课
根据定义、通项公式,再与等差数列对照,看等比数列具有哪些性质?
a+b
(1)若a,A,b成等差数列

a= ,A为等差中项.
2
那么,如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,……
Gb
则即 = ,即G
2
=ab
aG
Gb
反之,若G
2
=ab,则 = ,即a,G,b成等比数列
aG
∴a,G,b成等比数列

G
2
=ab (a·b≠0)
总之,如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么称这个数G为
a与b的等比中项.即G=±ab ,(a,b同号)
另外,在等差数列中,若m+n=p+q,则a
m
+a
n
=a
p
+a
q
,那么,在等比数列中呢。
----
由通项公式可得:a
m
=a
1
q
m
1
,a
n
=a
1
q
n
1
,a
p
=a
1
q
p
1
,a
q
=a
1
·q
q
1

--
不难发现:a
m
·a
n
=a
1
2
q
m
+
n
2
,a
p
·a
q
=a
1
2
q
p
+
q
2

若m+n=p+q,则a
m
·a
n
=a
p
·a
q

下面看应用这些性质可以解决哪些问题?
[例1]在等比数列{a
n
}中,若a
3
·a
5
=100,求a
4
.
分析:由等比数列性质,若m+n=p+q,则a
m
·a
n
=a
p
·a
q
可得:
解:∵在等比数列中,∴a
3
·a
5
=a
4
2

又∵a
3
·a
5
=100,∴a
4
=±10.
[例2]已知{a
n
}、{b
n
}是项数相同的等比数列,求证{a
n
·b
n
}是等比数列.
分析:由等比数列定义及通项公式求得.
解:设数列{a
n
}的首项是a
1
,公比为p;{b
n
}的首项为b
1
,公比为q.

则数列{a
n
}的第n项与第n+1项分别为a
1
p
n
1
,a
1
p
n


数列{b
n
}的第n项与第n+1项分别为b
1
q
n
1
,b
1
q
n
.
--
数列{a
n
·b
n
}的第n项与第n+1项分别为a
1
·p
n
1
·b
1
·q
n
1
与a
1
·p
n
·b
1
·q
n
,即为

a
1
b
1
(pq)
n
1
与a
1
b
1
(pq)
n

a
1
b
1
(pq)
n
a
n+1
b
n+1
∵ · =

=pq
a
n
b
n
a
1
b
1
(pq)
n
1
它是一个与n无关的常数,
∴{a
n
·b
n
}是一个以pq为公比的等比数列.
特别地,如果{a
n
}是等比数列,c是不等于0的常数,那么数列{c·a
n
}是等比数列.
[例3]三个数成等比数列,它们的和等于14,它们的积等于64,求这三个数.
解:设m,G,n为此三数
由已知得:m+n+G=14,m·n·G=64,
又∵G
2
=m·n,∴G
3
=64,∴G=4,∴m+n=10

m=2

m=8






n=8

n=2
即这三个数为2,4,8或8,4,2.
评述:结合已知条件与定义、通项公式、性质,选择解题捷径.
Ⅲ.课堂练习
课本P
50
练习1,2,3,4,5.
Ⅳ.课时小结
本节主要内容为:
(1)若a,G,b成等比数列,则G
2
=ab,G叫做a与b的等比中项.
(2)若在等比数列中,m+n=p+q,则a
m
·a
n
=a
p
·a
q

Ⅴ.课后作业
课本P
52
习题 5,6,7,9



















等比数列(二)
1.已知数列{a
n
}为等比数列,且a
n
>0,a
2
a
4
+2a
3
a
5
+a
4
a
6
=25,那么a
3
+a
5
的值等于( )
A.5 B.10 C.15 D.20
2.在等比数列中,a
1
=1,q∈R且|q|≠1,若a
m
=a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
,则m等于 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
3.非零实数x、y、z成等差数列,x+

1、y、z与x、y、z+2分别成等比数列,则y等于( )
A.10 B.12 C.14 D.16
4.有四个数,前三个数成等比数列,其和为19,后三个数成等差数列,其和为12,求此四
数.





5.在数列{a
n
}和{b
n
}中,a
n
>0,b
n
>0,且a
n
,b
n
,a
n+1
成等差数列,b
n
,a
n+1
,b
n+1
成等比
数列,a
1
=1,b
1
=2,a
2
=3,求a
n
∶b
n
的值.







y
6.设x>y>2,且x+y,x-y,xy, 能按某种顺序构成等比数列,试求这个等比数列.
x






7.有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,首末两项的和为21,中间两项
的和为18,求这四个数.





等比数列(二)答案
1.已知数列{a
n
}为等比数列,且a
n
>0,a
2
a
4
+2a
3
a
5
+a
4
a
6
=25,那么a
3
+a
5
的值等于( )
A.5 B.10 C.15 D.20
分析:要确定一个等比数列,必须有两个独立条件,而这里只有一个条件,故用先确定
基本量a
1
和q,再求a
3
+a
5
的方法是不行的,而应寻求a
3
+a
5
整体与已知条件之间的关系.
解法一:设此等比数列的公比为q,由条件得a
1
q·a
1
q
3
+2a
1
q
2
·a
1
q
4
+a
1
q
3
·a
1
q
5
=25
即a
1
2
q
4
(q
2
+1)
2
=25,又a
n
>0,得q>0
∴a
1
q
2
(q
2
+1)=5
a
3
+a
5
=a
1
q
2
+a
1
q
4
=a
1
q
2
(q
2
+1)=5
解法二:∵a
2
a
4
+2a
3
a
5
+a
4
a
6
=25
由等比数列性质得a
3
2
+2a
3
a
5
+a
5
2
=25
即(a
3
+a
5
)
2
=25,又a
n
>0,∴a
3
+a
5
=5
评述:在运用方程思想方法的过程中,还要注意整体观念,善于利用等比数列的性质,
以达到简化解题过程、快速求解的目的.
2.在等比数列中,a
1
=1,q∈R且|q|≠1,若a
m
=a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
,则m等于 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12

解:∵a
m
=a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
=a
1
5
q
1+2+3+4
=a
1
5
q
10
=a
1
5
q
111


又∵a
1
=1,∴a
m
=q
111
,∴m=11. 答案:C
3.非零实数x、y、z成等差数列,x+

1、y、z与x、y、z+2分别成等比数列,则y等于( )
A.10 B.12 C.14 D.16
y=x+zy=x+z


2
2

2
2

2y=3x
解:由已知得

y=(x+1)z



y=(x+1)z



2


y=12
y=(x+1)2x

2


y=x(z+2)

z=2x
答案:B
4.有四个数,前三个数成等比数列,其和为19,后三个数成等差数列,其和为12,求此四
数.
解:设所求的四个数分别为a,x-d,x,x+d
2


(x-d)=ax ①


a+(x-d)+x=19 ②



(x-d)+x+(x+d)=12 ③

(4-d)
2
=4a
解得x=4,代入①、②得



a-d=11

a=25

a=9
解得





d=14

d=-2
故所求四个数为25,-10,4,18或9,6,4,2.
5.在数列{a
n
}和{b
n
}中,a
n
>0,b
n
>0,且a
n
,b
n
,a
n+1
成等差数列,b
n
,a
n+1
,b
n+1
成等比
数列,a
1
=1,b
1
=2,a
2
=3,求a
n
∶b
n
的值.
分析:关键是求出两个数列的通项公式.根据条件,应注意两个数列之间的联系及相互转
换.

2b
n
=a
n
+a
n

1



解:由题意知:



a
n

1
2
=b
n
b
n

1

∴a
n+1
=b
n
b
n

1
,a
n
=b
n
b
n

1
(n≥2)
代入①得2b
n
=b
n
b
n

1
+b
n
b
n

1

即2b
n
=b
n

1
+b
n

1
(n≥2)
∴{b
n
}成等差数列,设公差为d
a
2
2
9
又b
1
=2,b
2
= = ,
b
1
2
∴d=b
2
-b
1

∴b
n
=2 +
322
-2 =
22
221
(n-1)=(n+1),b
n
= (n+1)
2

222
n(n+1)
当n≥2时,a
n
=b
n
b
n

1
= ③
2
且a
1
=1时适合于③式,故
a
n
n
= .
b
n
n+1
评述:对于通项公式有关系的两个数列的问题,一般采用消元法,先消去一个数列的项,
并对只含另一个数列通项的关系进行恒等变形,构造一个新的数列.
y
6.设x>y>2,且x+y,x-y,xy, 能按某种顺序构成等比数列,试求这个等比数列.
x
y
分析:先由x>y>2,可知x-y<x+y<xy,下来只需讨论 和x-y的大小关系,分
x
成两种情况讨论.
y
解:∵x>y>2,x+y>x-y,xy>x+y,而 <1<x-y
x
yy
当 <x-y时,由 ,x-y,x+y,xy顺次构成等比数列.
xx



y
·xy=(x-y)(x+y)
则有

x

2

(x+y)=(x-y)xy

7
解方程组得x=7+52 ,y=5+ 2
2
∴所求等比数列为
231799
,2+ 2 ,12+ 2 ,70+ 2 .
2222
yy
当 >x-y时,由x-y, ,x+y,xy顺次构成等比数列
xx
y
·xy=(x+y)
2
x
则有
y

(x+y)=(x-y)xy
x



解方程组得y=
1
,这与y>2矛盾,故这种情况不存在.
12
7.有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,首末两项的和为21,中间两项
的和为18,求这四个数.
分析一:从后三个数入手.
(x-d)
2
解法一:设所求的四个数为 ,x-d,x,x+d,根据题意有
x
2


x=
4

27

(x-d)
+(x+d)=21

x=12
x

, 解得



9

4
d=6


(x-d)+x=18


d=
27
2
7545279
∴所求四个数为3,6,12,18或 , , , .
4444
分析二:从前三数入手.
x
解法二:设前三个数为 ,x,xq,则第四个数为2xq-x.
q
45
x
x=


+2xq-x=21

x=6
4
依题设有

q
, 解得


3

q=2



x+xq=18
q=
5



7545279
故所求的四个数为3,6,12,18或 , , , .
4444
分析三:从首末两项的和与中间两项的和入手.
解法三:设欲求的四数为x,y,18-y,2-x,由已知得:

x=
4


y=x(18-y)

x=3

,解得




45

2(18-y)=y+(21-x)

y=6

y=
4

2
75
7545279
∴所求四数为3,6,12,18或 , , ,
4444
第八课时 等比数列(二)
教学目标:
灵活应用等比数列的定义及通项公式,深刻理解等比中项概念,掌握等比数列的性质;
提高学生的数学素质,增强学生的应用意识.
教学重点:
1.等比中项的理解与应用.
2.等比数列定义及通项公式的应用.
教学难点:
灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题.
教学过程:
Ⅰ.复习回顾
等比数列定义,等比数列通项公式
Ⅱ.讲授新课
根据定义、通项公式,再与等差数列对照,看等比数列具有哪些性质?
a+b
(1)若a,A,b成等差数列

a= ,A为等差中项.
2
那么,如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,……
Gb
则即 = ,即G
2
=ab
aG
Gb
反之,若G
2
=ab,则 = ,即a,G,b成等比数列
aG
∴a,G,b成等比数列

G
2
=ab (a·b≠0)
总之,如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么称这个数G为
a与b的等比中项.即G=±ab ,(a,b同号)
另外,在等差数列中,若m+n=p+q,则a
m
+a
n
=a
p
+a
q
,那么,在等比数列中呢。
----
由通项公式可得:a
m
=a
1
q
m
1
,a
n
=a
1
q
n
1
,a
p
=a
1
q
p
1
,a
q
=a
1
·q
q
1

--
不难发现:a
m
·a
n
=a
1
2
q
m
+
n
2
,a
p
·a
q
=a
1
2
q
p
+
q
2

若m+n=p+q,则a
m
·a
n
=a
p
·a
q

下面看应用这些性质可以解决哪些问题?
[例1]在等比数列{a
n
}中,若a
3
·a
5
=100,求a
4
.
分析:由等比数列性质,若m+n=p+q,则a
m
·a
n
=a
p
·a
q
可得:
解:∵在等比数列中,∴a
3
·a
5
=a
4
2

又∵a
3
·a
5
=100,∴a
4
=±10.
[例2]已知{a
n
}、{b
n
}是项数相同的等比数列,求证{a
n
·b
n
}是等比数列.
分析:由等比数列定义及通项公式求得.
解:设数列{a
n
}的首项是a
1
,公比为p;{b
n
}的首项为b
1
,公比为q.

则数列{a
n
}的第n项与第n+1项分别为a
1
p
n
1
,a
1
p
n


数列{b
n
}的第n项与第n+1项分别为b
1
q
n
1
,b
1
q
n
.
--
数列{a
n
·b
n
}的第n项与第n+1项分别为a
1
·p
n
1
·b
1
·q
n
1
与a
1
·p
n
·b
1
·q
n
,即为

a
1
b
1
(pq)
n
1
与a
1
b
1
(pq)
n

a
1
b
1
(pq)
n
a
n+1
b
n+1
∵ · =

=pq
a
n
b
n
a
1
b
1
(pq)
n
1
它是一个与n无关的常数,
∴{a
n
·b
n
}是一个以pq为公比的等比数列.
特别地,如果{a
n
}是等比数列,c是不等于0的常数,那么数列{c·a
n
}是等比数列.
[例3]三个数成等比数列,它们的和等于14,它们的积等于64,求这三个数.
解:设m,G,n为此三数
由已知得:m+n+G=14,m·n·G=64,
又∵G
2
=m·n,∴G
3
=64,∴G=4,∴m+n=10

m=2

m=8






n=8

n=2
即这三个数为2,4,8或8,4,2.
评述:结合已知条件与定义、通项公式、性质,选择解题捷径.
Ⅲ.课堂练习
课本P
50
练习1,2,3,4,5.
Ⅳ.课时小结
本节主要内容为:
(1)若a,G,b成等比数列,则G
2
=ab,G叫做a与b的等比中项.
(2)若在等比数列中,m+n=p+q,则a
m
·a
n
=a
p
·a
q

Ⅴ.课后作业
课本P
52
习题 5,6,7,9



















等比数列(二)
1.已知数列{a
n
}为等比数列,且a
n
>0,a
2
a
4
+2a
3
a
5
+a
4
a
6
=25,那么a
3
+a
5
的值等于( )
A.5 B.10 C.15 D.20
2.在等比数列中,a
1
=1,q∈R且|q|≠1,若a
m
=a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
,则m等于 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
3.非零实数x、y、z成等差数列,x+

1、y、z与x、y、z+2分别成等比数列,则y等于( )
A.10 B.12 C.14 D.16
4.有四个数,前三个数成等比数列,其和为19,后三个数成等差数列,其和为12,求此四
数.





5.在数列{a
n
}和{b
n
}中,a
n
>0,b
n
>0,且a
n
,b
n
,a
n+1
成等差数列,b
n
,a
n+1
,b
n+1
成等比
数列,a
1
=1,b
1
=2,a
2
=3,求a
n
∶b
n
的值.







y
6.设x>y>2,且x+y,x-y,xy, 能按某种顺序构成等比数列,试求这个等比数列.
x






7.有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,首末两项的和为21,中间两项
的和为18,求这四个数.





等比数列(二)答案
1.已知数列{a
n
}为等比数列,且a
n
>0,a
2
a
4
+2a
3
a
5
+a
4
a
6
=25,那么a
3
+a
5
的值等于( )
A.5 B.10 C.15 D.20
分析:要确定一个等比数列,必须有两个独立条件,而这里只有一个条件,故用先确定
基本量a
1
和q,再求a
3
+a
5
的方法是不行的,而应寻求a
3
+a
5
整体与已知条件之间的关系.
解法一:设此等比数列的公比为q,由条件得a
1
q·a
1
q
3
+2a
1
q
2
·a
1
q
4
+a
1
q
3
·a
1
q
5
=25
即a
1
2
q
4
(q
2
+1)
2
=25,又a
n
>0,得q>0
∴a
1
q
2
(q
2
+1)=5
a
3
+a
5
=a
1
q
2
+a
1
q
4
=a
1
q
2
(q
2
+1)=5
解法二:∵a
2
a
4
+2a
3
a
5
+a
4
a
6
=25
由等比数列性质得a
3
2
+2a
3
a
5
+a
5
2
=25
即(a
3
+a
5
)
2
=25,又a
n
>0,∴a
3
+a
5
=5
评述:在运用方程思想方法的过程中,还要注意整体观念,善于利用等比数列的性质,
以达到简化解题过程、快速求解的目的.
2.在等比数列中,a
1
=1,q∈R且|q|≠1,若a
m
=a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
,则m等于 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12

解:∵a
m
=a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
=a
1
5
q
1+2+3+4
=a
1
5
q
10
=a
1
5
q
111


又∵a
1
=1,∴a
m
=q
111
,∴m=11. 答案:C
3.非零实数x、y、z成等差数列,x+

1、y、z与x、y、z+2分别成等比数列,则y等于( )
A.10 B.12 C.14 D.16
y=x+zy=x+z


2
2

2
2

2y=3x
解:由已知得

y=(x+1)z



y=(x+1)z



2


y=12
y=(x+1)2x

2


y=x(z+2)

z=2x
答案:B
4.有四个数,前三个数成等比数列,其和为19,后三个数成等差数列,其和为12,求此四
数.
解:设所求的四个数分别为a,x-d,x,x+d
2


(x-d)=ax ①


a+(x-d)+x=19 ②



(x-d)+x+(x+d)=12 ③

(4-d)
2
=4a
解得x=4,代入①、②得



a-d=11

a=25

a=9
解得





d=14

d=-2
故所求四个数为25,-10,4,18或9,6,4,2.
5.在数列{a
n
}和{b
n
}中,a
n
>0,b
n
>0,且a
n
,b
n
,a
n+1
成等差数列,b
n
,a
n+1
,b
n+1
成等比
数列,a
1
=1,b
1
=2,a
2
=3,求a
n
∶b
n
的值.
分析:关键是求出两个数列的通项公式.根据条件,应注意两个数列之间的联系及相互转
换.

2b
n
=a
n
+a
n

1



解:由题意知:



a
n

1
2
=b
n
b
n

1

∴a
n+1
=b
n
b
n

1
,a
n
=b
n
b
n

1
(n≥2)
代入①得2b
n
=b
n
b
n

1
+b
n
b
n

1

即2b
n
=b
n

1
+b
n

1
(n≥2)
∴{b
n
}成等差数列,设公差为d
a
2
2
9
又b
1
=2,b
2
= = ,
b
1
2
∴d=b
2
-b
1

∴b
n
=2 +
322
-2 =
22
221
(n-1)=(n+1),b
n
= (n+1)
2

222
n(n+1)
当n≥2时,a
n
=b
n
b
n

1
= ③
2
且a
1
=1时适合于③式,故
a
n
n
= .
b
n
n+1
评述:对于通项公式有关系的两个数列的问题,一般采用消元法,先消去一个数列的项,
并对只含另一个数列通项的关系进行恒等变形,构造一个新的数列.
y
6.设x>y>2,且x+y,x-y,xy, 能按某种顺序构成等比数列,试求这个等比数列.
x
y
分析:先由x>y>2,可知x-y<x+y<xy,下来只需讨论 和x-y的大小关系,分
x
成两种情况讨论.
y
解:∵x>y>2,x+y>x-y,xy>x+y,而 <1<x-y
x
yy
当 <x-y时,由 ,x-y,x+y,xy顺次构成等比数列.
xx



y
·xy=(x-y)(x+y)
则有

x

2

(x+y)=(x-y)xy

7
解方程组得x=7+52 ,y=5+ 2
2
∴所求等比数列为
231799
,2+ 2 ,12+ 2 ,70+ 2 .
2222
yy
当 >x-y时,由x-y, ,x+y,xy顺次构成等比数列
xx
y
·xy=(x+y)
2
x
则有
y

(x+y)=(x-y)xy
x



解方程组得y=
1
,这与y>2矛盾,故这种情况不存在.
12
7.有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,首末两项的和为21,中间两项
的和为18,求这四个数.
分析一:从后三个数入手.
(x-d)
2
解法一:设所求的四个数为 ,x-d,x,x+d,根据题意有
x
2


x=
4

27

(x-d)
+(x+d)=21

x=12
x

, 解得



9

4
d=6


(x-d)+x=18


d=
27
2
7545279
∴所求四个数为3,6,12,18或 , , , .
4444
分析二:从前三数入手.
x
解法二:设前三个数为 ,x,xq,则第四个数为2xq-x.
q
45
x
x=


+2xq-x=21

x=6
4
依题设有

q
, 解得


3

q=2



x+xq=18
q=
5



7545279
故所求的四个数为3,6,12,18或 , , , .
4444
分析三:从首末两项的和与中间两项的和入手.
解法三:设欲求的四数为x,y,18-y,2-x,由已知得:

x=
4


y=x(18-y)

x=3

,解得




45

2(18-y)=y+(21-x)

y=6

y=
4

2
75
7545279
∴所求四数为3,6,12,18或 , , ,
4444高中数学说课
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