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高三数学教案

教学资源|题库|学习文库-「普洱教育」来源: https://www.puerjy.cn 2020-05-24 00:19数学 550596 ℃


平面向量及其线性运算


教学内容:
平面向量及其线性运算(2课时)
教学目标:
理解平面向量的概念、向量的几何表示及向量相等的含义,掌握平面向量的线性
运算(向量加法、减法、数乘)的性质及其几何意义,理解平面向量共线的条件
和平面向量的基本定理.
教学重点:
平面向量的线性运算.
教学难点:
用基底表示平面内的向量.
教学用具:
三角板
教学设计:
一、知识要点
1. 平面向量的有关概念

(1)向量:既有大小又有方向的量;向量的基本要素:大小和方向.

(2)向量的表示:
①几何表示法;用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的
方向表示向量的方向;②字母表示:
a

AB
.
(3) 向量的长度(模):即向量的大小,记作
|a|

|AB|
.
(4) 特殊的向量:零向量:
a0|a|0
;单位向量:
a
为单位向量

|a|1
.
(5) 相等的向量:大小相等,方向相同的向量.
(6) 相反向量:
ab

ba

ab0
.
(7) 平行(共线)向量:方向相同或相反的向量,称为平行(共线)向量,记作
a

b
.
2. 向量的线性运算
运算 运算法则 运算性质
向量加法
ab
是一个向量,
平行四边形法则
三角形法则
ABBCAC

abba

(ab)ca(bc)

OBOAAB

aba(b)

ABBA

向量减法
ab
是一个向量,
三角形法则

a
是一个向量,
满足
|

a||

||a|

数乘向量

0
时,

a与a
同向;

0
时,

a与a
异向;

0
时,

a0
.
3.重要定理、公式

(

a)(

)a

(



)a

a

a


(ab)

a

b


(1)平面向量基本定理:如果
e
1

e
2
是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平
面内任一向量
a
,有且仅有一对实数

1


2
,使
a

1
e
1


2
e
2
. 其中不共线的向量
e
1

e
2

称为基底.

(2)向量共线定理:向量
b
与向量
a
共线的充要条件是有且仅有一个实数

,使得
b

a


a

b

b

a(a0)
.
二、典型例示
例1 判断下列命题是否正确:
① 零向量没有方向;② 两个向量当且仅当它们的起点相同,终点也相同时才相等;
③ 单位向量都相等;④ 在平行四边形
ABCD
中,一定有
ABDC

⑤ 若
ab

bc
,则
ac
;⑥ 若
a

b

b

c
,则
a

c


ab
的充要条件是
|a||b|

a

b
;⑧ 向量
AB
就是有向线段
AB

⑨若
AB

CD
,则直线
AB
∥直线
CD
;⑩ 两相等向量若共起点,则终点也相同.
解:只有 ④、⑤、⑩ 三个命题正确. 如⑧不正确,是因为有向线段仅仅是向量的直观体
现,我们可以用有向线段
AB
来表示向量
AB
,但向量
AB
可以用不同的有向线段表示,只要
这些有向线段的长度相等方向相同即可,因此向量与有向线段是有区别的.
注:正确理解向量的有关概念是作出正确判断的前提.
例2
(1)化简下列各式:①
ABBCCA
;②
(ABCD)BC


(ADMB)(BCCM)
;④
OAOCCD
;⑤
MB(ADAM)
.

(2)若
B

AC
的中点,则
AB

AC

AB

CA

AC

BA
.
注:正确运用向量的运算法则和运算律进行化简,尤其要注意差向量起点和终点的选择.
例3 已知
AD
22
AB

AEAC
,则
DE
等于( )
33
122
1
A.
CB
B.
CB
C.
CB
D.
CB

333
3
注:逆用向量的运算法则,体现逆向思维.
例4 设
ABa

BCb

CAc
,判断下列命题的真假:
(1)若
abc0
,则
三个向量可构成
ABC

(2)若三个向量可构成
ABC
,则
abc0
;并由此回答下列
问题:若命题甲为
abc0
,命题乙为三个向量可构成
ABC
,则命题甲是命题乙的什
么条件。
注:注意向量运算的几何意义,体现数形结合思想.
例5如图,梯形
ABCD
中,
AB

CD

AB2CD

M

N
分别是
CD

AB
的中
点,设
ABa

ADb
,试用
a

b
表示
BC

MN
.
N
DC
1
解:
BCBAADDCABADAB

2
11
ADABba

A
M
22
1111
MNMAADDNBAADDCADABba
.
2244
B
注:关键在于确定一条从所求向量起点到终点的路径,然后再借助于向量的运算逐步转
化成用基底表示.
三、课堂练习
1.已知
AD,BE
分别是
ABC
的边
BC,AC
上的中线,且
ADa,BEb
,则
BC
为( )
42242222
ab
B.
ab
C.
ab
D.
ab

33333333
2.已知
ABa,BCb,CAc
,则
abc0

A,B,C
三点构成三角形的 ( )
A.
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 对平面内任意的四点A,B,C,D,则
ABBCCDDA
.
4. 化简:


(1)
ABBCCD
_____________;


(2)
ABADDC
______________;


(3)
(ABCD)(ACBD)
______________.
5. 判断下列命题是否正确


(1)若
ab
,则
ab
.


(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同.


(3)若
ABDC
,则
ABCD
是平行四边形.


(4)若
ABCD
是平行四边形,则
ABDC
.


(5)若
ab,bc
,则
ac
.


(6)若
ab,bc
,则
ac
.
6. 若
|a|3

|b|5

b

a
的方向相反,则
a

b
.
四、课堂小结
五、课外作业
1.下面给出四个命题:①对于实数m和向量
a,b
,恒有
mabmamb

②对于实数m、n和向量
a
,恒有

mn

amana

③若
mamb(mR,m0),则ab

④若
mana(a0)
,则m=n 其中正确的命题个数是
A. 1 B. 2 C. 3



D. 4


2.在平行四边形
ABCD
中,若
ABADABAD
,则必有 ( )
A.
AD0
B.
AB0或AD0
C.
ABCD
是矩形 D.
ABCD
是正方形
3.下列命题中,正确的是( )
A.若
ab
,则
ab
B. 若
ab
,则
ab
C. 若
ab
,则
ab
D. 若
a1
,则
a1

4. 下列说法中错误的是( )
A. 向量
AB
的长度与向量
BA
的长度相等
B. 任一非零向量都可以平行移动
C. 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
D. 两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同.
5.
D,E,F
分别是
ABC
的边
BC,CA,AB
的中点,且
BCa,CAb,
给出下列命题

ADab

BEab

CFab

ADBECF0

其中正确的序号是_________。
6.若
2(xa)(bc3x)b0
,则
x
__________。
7. 两列火车,先各从一站台沿相反方向开出,走了相同的路程,这两列火车位移的和是______。
8. 如图,
OADB
是以向量
OAa,OBb
为边的平行四边形,又
BMBC,CNCD
,试

a,b
表示
OM,ON,MN


9. 已知
O

ABC
内的一点,若
OAOBOC0

求证:
O

ABC
的重心.
10. 在水流速度为
43kmh
的河中,如果要使船的速
度行驶方向与两岸垂直,并使船速达到12
kmh
,求
船的航行速度与方向。


1
2
1
2
1
2
1
2
1
3
1
2
1
3
1
3
平面向量及其线性运算


教学内容:
平面向量及其线性运算(2课时)
教学目标:
理解平面向量的概念、向量的几何表示及向量相等的含义,掌握平面向量的线性
运算(向量加法、减法、数乘)的性质及其几何意义,理解平面向量共线的条件
和平面向量的基本定理.
教学重点:
平面向量的线性运算.
教学难点:
用基底表示平面内的向量.
教学用具:
三角板
教学设计:
一、知识要点
1. 平面向量的有关概念


(1)向量:既有大小又有方向的量;向量的基本要素:大小和方向.


(2)向量的表示:
①几何表示法;用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的
方向表示向量的方向;②字母表示:
a

AB
.
(3) 向量的长度(模):即向量的大小,记作
|a|

|AB|
.
(4) 特殊的向量:零向量:
a0|a|0
;单位向量:
a
为单位向量

|a|1
.
(5) 相等的向量:大小相等,方向相同的向量.
(6) 相反向量:
ab

ba

ab0
.
(7) 平行(共线)向量:方向相同或相反的向量,称为平行(共线)向量,记作
a

b
.
2. 向量的线性运算
运算 运算法则 运算性质
向量加法
ab
是一个向量,
平行四边形法则
三角形法则
ABBCAC

abba

(ab)ca(bc)

OBOAAB

aba(b)

ABBA

向量减法
ab
是一个向量,
三角形法则

a
是一个向量,
满足
|

a||

||a|

数乘向量

0
时,

a与a
同向;

0
时,

a与a
异向;

0
时,

a0
.
3.重要定理、公式

(

a)(

)a

(



)a

a

a


(ab)

a

b



(1)平面向量基本定理:如果
e
1

e
2
是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平
面内任一向量
a
,有且仅有一对实数

1


2
,使
a

1
e
1


2
e
2
. 其中不共线的向量
e
1

e
2

称为基底.


(2)向量共线定理:向量
b
与向量
a
共线的充要条件是有且仅有一个实数

,使得
b

a


a

b

b

a(a0)
.
二、典型例示
例1 判断下列命题是否正确:
① 零向量没有方向;② 两个向量当且仅当它们的起点相同,终点也相同时才相等;
③ 单位向量都相等;④ 在平行四边形
ABCD
中,一定有
ABDC

⑤ 若
ab

bc
,则
ac
;⑥ 若
a

b

b

c
,则
a

c


ab
的充要条件是
|a||b|

a

b
;⑧ 向量
AB
就是有向线段
AB

⑨若
AB

CD
,则直线
AB
∥直线
CD
;⑩ 两相等向量若共起点,则终点也相同.
解:只有 ④、⑤、⑩ 三个命题正确. 如⑧不正确,是因为有向线段仅仅是向量的直观体
现,我们可以用有向线段
AB
来表示向量
AB
,但向量
AB
可以用不同的有向线段表示,只要
这些有向线段的长度相等方向相同即可,因此向量与有向线段是有区别的.
注:正确理解向量的有关概念是作出正确判断的前提.
例2

(1)化简下列各式:①
ABBCCA
;②
(ABCD)BC


(ADMB)(BCCM)
;④
OAOCCD
;⑤
MB(ADAM)
.


(2)若
B

AC
的中点,则
AB

AC

AB

CA

AC

BA
.
注:正确运用向量的运算法则和运算律进行化简,尤其要注意差向量起点和终点的选择.
例3 已知
AD
22
AB

AEAC
,则
DE
等于( )
33
122
1
A.
CB
B.
CB
C.
CB
D.
CB

333
3
注:逆用向量的运算法则,体现逆向思维.
例4 设
ABa

BCb

CAc
,判断下列命题的真假:

(1)若
abc0
,则
三个向量可构成
ABC


(2)若三个向量可构成
ABC
,则
abc0
;并由此回答下列
问题:若命题甲为
abc0
,命题乙为三个向量可构成
ABC
,则命题甲是命题乙的什
么条件。
注:注意向量运算的几何意义,体现数形结合思想.
例5如图,梯形
ABCD
中,
AB

CD

AB2CD

M

N
分别是
CD

AB
的中
点,设
ABa

ADb
,试用
a

b
表示
BC

MN
.
N
DC
1
解:
BCBAADDCABADAB

2
11
ADABba

A
M
22
1111
MNMAADDNBAADDCADABba
.
2244
B
注:关键在于确定一条从所求向量起点到终点的路径,然后再借助于向量的运算逐步转
化成用基底表示.
三、课堂练习
1.已知
AD,BE
分别是
ABC
的边
BC,AC
上的中线,且
ADa,BEb
,则
BC
为( )
42242222
ab
B.
ab
C.
ab
D.
ab

33333333
2.已知
ABa,BCb,CAc
,则
abc0

A,B,C
三点构成三角形的 ( )
A.
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 对平面内任意的四点A,B,C,D,则
ABBCCDDA
.
4. 化简:


(1)
ABBCCD
_____________;


(2)
ABADDC
______________;


(3)
(ABCD)(ACBD)
______________.
5. 判断下列命题是否正确


(1)若
ab
,则
ab
.


(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同.


(3)若
ABDC
,则
ABCD
是平行四边形.


(4)若
ABCD
是平行四边形,则
ABDC
.


(5)若
ab,bc
,则
ac
.


(6)若
ab,bc
,则
ac
.
6. 若
|a|3

|b|5

b

a
的方向相反,则
a

b
.
四、课堂小结
五、课外作业
1.下面给出四个命题:①对于实数m和向量
a,b
,恒有
mabmamb

②对于实数m、n和向量
a
,恒有

mn

amana

③若
mamb(mR,m0),则ab

④若
mana(a0)
,则m=n 其中正确的命题个数是
A. 1 B. 2 C. 3



D. 4


2.在平行四边形
ABCD
中,若
ABADABAD
,则必有 ( )
A.
AD0
B.
AB0或AD0
C.
ABCD
是矩形 D.
ABCD
是正方形
3.下列命题中,正确的是( )
A.若
ab
,则
ab
B. 若
ab
,则
ab
C. 若
ab
,则
ab
D. 若
a1
,则
a1

4. 下列说法中错误的是( )
A. 向量
AB
的长度与向量
BA
的长度相等
B. 任一非零向量都可以平行移动
C. 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
D. 两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同.
5.
D,E,F
分别是
ABC
的边
BC,CA,AB
的中点,且
BCa,CAb,
给出下列命题

ADab

BEab

CFab

ADBECF0

其中正确的序号是_________。

6.若
2(xa)(bc3x)b0
,则
x
__________。

7. 两列火车,先各从一站台沿相反方向开出,走了相同的路程,这两列火车位移的和是______。

8. 如图,
OADB
是以向量
OAa,OBb
为边的平行四边形,又
BMBC,CNCD
,试

a,b
表示
OM,ON,MN

9. 已知
O

ABC
内的一点,若
OAOBOC0

求证:
O

ABC
的重心.
10. 在水流速度为
43kmh
的河中,如果要使船的速
度行驶方向与两岸垂直,并使船速达到12
kmh
,求
船的航行速度与方向。


1
2
1
2
1
2
1
2
1
3
1
2
1
3
1
3高中数学说课
小学生报, 小学三年级手抄报, 万荣小学, 深圳市福田中学, 遵义市第一高级中学, 中学德育工作总结, 初中班级公约,

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