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高数公式
高等数学下册公式总结
1、N维空间中两点之间的距离公式:p(x1,x2,...,xn),Q(y1,y2,...,yn)的距离 PQ(x1y1)2(x2y2)2...(xnyn)2
2、多元函数zf(x,y)求偏导时,对谁求偏导,就意味着其它的变量都暂时 看作常量。比如,就可以了。 z表示对x求偏导,计算时把y 当作常量,只对x求导 x2z2z

3、二阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求导次序无关,即。 xyyx

4、多元函数zf(x,y)的全微分公式: dzzzdxdy。
xy

5、复合函数zf(u,v),u(t),v(t),其导数公式: dzzduzdv。 dtudtvdtFXdy,Fy分别表示对x,y

6、隐函数F(x,y)=0的求导公式: ,其中FxdXFy求偏导数。
方程组的情形:{F(x,y,u,v)0的各个偏导数是: G(x,y,u,v)0FFxvGGuvxv,xxFFuvGGuvFFuxGGuux,yFFuvGGuvFFyvGGyvFFuvGGuv,v。 yFFuvGGuvFFyuGGuy

7、曲线的参数方程是:x(t),y(t),z(t),则该曲线过点 M(x0,y0,z0)的法平面方程是: (t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0 切线方程是:(xx0)(yy0)(zz0)。
(t0)(t0)(t0)

8、曲面方程F(x,y,z)=0在点M(x0,y0,z0)处的 法线方程是: (xx0)(yy0)(zz0), FxFyFz(xx0)Fy(yy0)Fz(zz0)0。 切平面方程是:Fx

9、求多元函数z=f(x , y)极值步骤: 第一步:求出函数对x , y 的偏导数,并求出各个偏导数为零时的对应的x,y的值 第二步:求出fxx(x0,y0)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y0)C 第三步:判断AC-B2的符号,若AC-B2大于零,则存在极值,且当A小于零是极大值,当A大于零是极小值;若AC-B2小于零则无极值;若AC-B2等于零则无法判断

10、二重积分的性质:

(1)

(2)(3) kf(x,y)dkf(x,y)d DD[f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)d DDDDD1D2f(x,y)df(x,y)df(x,y)d (4)若f(x,y)g(x,y),则

(5)f(x,y)dg(x,y)d DDds,其中s为积分区域D的面积 D

(6)mf(x,y)M,则ms

(7)积分中值定理:f(x,y)dMs Df(x,y)dsf(,),其中(,)是区域D中的点 DdP2(y)

11、双重积分总可以化简为二次积分(先对y,后对x的积分或先对x,后对y的积分形式)bP2(x)f(x,y)ddxDaP1(x)f(x,y)dydycP1(y)f(x,y)dx,有的积分可以随意选择积分次序,但是做题的复杂性会出现不同,这时选择积分次序就比较重要,主要依据通过积分区域和被积函数来确定

12、双重积分转化为二次积分进行运算时,对谁积分,就把另外的变量都看成常量,可以按照求一元函数定积分的方法进行求解,包括凑微分、换元、分步等方法

13、曲线、曲面积分:

(1)对弧长的曲线积分的计算方法:设函数f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为x(t)y(t),(t),则Lf(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt 

(2)格林公式:(DQP)dxdyPdxQdy xyLL

14、向量的加法与数乘运算:a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),则有ka(kx1,ky1,kz1), xyzab(x1x2,y1y2,z1z2),若ab,则111 x2y2z2

15、向量的模、数量积、向量积:若a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),则向量a的模长222ax1y1z1;数量积(向量之间可以交换顺序,其结果是一个数值)ab=bax1x2y1y2z1z2=baabcosa,b,其中a,b表示向量b,a的夹角,且若ab,则有ab=0;向量积(向量之间不可以交换顺序,其结果仍是一个向量)ijkabx1y1z1(y1z2y2z1)i(x2z1x1z2)j(x1y2x2y1)k,其中i,j,k是x轴、x2y2z2y轴、z轴的方向向量

16、常数项无穷级数unu1u2u3...un...,令snu1u2u3...un称为无n1穷级数的部分和,若limsns,则称改级数收敛,否则称其为发散的。
其中关于无穷级数x的一个必要非充分地定理是:若un收敛,则必有limun0 n1x

17、三种特殊的无穷级数:

(1)调和级数1是发散的,无须证明就可以直接引用 n1nn

(2)几何级数aq,当q1时收敛,当q1时发散 n1

(3)p级数1,当p1时收敛,当p1时发散 pn1nn

118、正项级数un的判敛方法:

(1)比较判敛法:若存在两个正项级数un,vn,且有vnun,若un收敛,则vn收n1n1敛;若vn发散,则un发散

(2)比较判敛法的极限形式:若limunl,(l0),则un和vn具有相同的敛散性 xvnun1l,若l1,则原级数收敛,若l1,则原级xun

(3)比值判敛法:对于un, limn1数发散

19、交错级数(1)n1n1un的判敛方法:同时满足unun1及limun0,则级数收敛,否x则原级数发散

20、绝对收敛和条件收敛:对于un,若un收敛,则称其绝对收敛;若un发散,n1n1n1但是un收敛,则称其条件收敛 n1

21、函数项无穷级数形如:un(x)u1(x)u2(x)u3(x)...un(x)...,通常讨论的是n1幂级数形如:anxa0a1xa2xa3x...anx..., n0n23n

(1)收敛半径及收敛区间:liman11,则收敛半径R,收敛区间则为(R,R),但xan是要注意的是,收敛区间的端点是否收敛需要用常数项级数判敛方法验证 (2n1)xnn-1x

(2)几种常见函数的幂级数展开式:e,sinx,(-1)n0n。n1(2n1)。
x11x2nnx,(1)nxn ,cosx(1)n01xn0(2n)。1xn0n

22、常微分方程的类型及解题方法:

(1)可分离变量的微分方程:yf(x,y),总是可以分离变量化简为式,然后等式两边同时积分,即可求出所需的解

(2)齐次方程:yf(x,y),不同的是,等式右端的式子总是可以化简为f()的形式,令dydx的形f(y)f(x)yxyu,则原方程化简为可分离变量方程形式uxuf(u)来求解 x

(3)一阶线性微分方程:形如yp(x)yf(x)的方程,求解时首先求出该方程对应的齐次方程yp(x)y0的解ycQ(x),然后使用常熟变易法,令cu(x),把原方程的解yu(x)Q(x)带入原方程,求出u(x),再带入yu(x)Q(x)中,即求出所需的解

(4)全微分方程:形如p(x,y)dxQ(x,y)dy0的方程,只要满足xyp(x,y)Q(x,y),yx则称其为全微分方程,其解为u0p(x,y)dxQ(x,y)dy 0

(5)二阶微分方程的可降阶的三种微分方程: 第一种:yf(x)的形式,只需对方程连续两次积分就可以求出方程的解 第二种:yf(x,y)的形式,首先令yz,则原方程降阶为可分离变量的一阶微分方程zf(x,z)的形式,继续求解即可 第三种:yf(y,y)的形式,同样令yz,由于yzdzdzdydzy,所以dxdydxdy原方程转化为一阶微分方程dzzf(y,z)的形式,继续求解即可 dy

(6)二阶常系数齐次微分方程:ypyqy0,求解时首先求出该方程对应的特征方r1x程r2prq0的解r1,r2,若实根rc2er2x;若实根r1r2,则解1r2,则解为yc1e为y(c1c2x)e1;若为虚根abi,则解为yeax(c1cosbxc2sinbx) rx

(8)二阶常系数非齐次微分方程:ypyqyPm(x)e,求解时先按

(7)的方法求其rx对应的齐次微分方程的通解y1,然后设出原方程的特解y=xQm(x)erx,其中Qm(x)是和P含有相应的未知系数,而k根据特征方程的解r1,r2与r的关系取值,m(x)同次的多项式,若r与特征根不相等,则k取0;若r和一个特征根相等,则k取1;若r和特征根都相等,则k取2,将特解代入原方程求出相应的未知系数,最终原方程的解即通解加上特解,即kyy1y 高数公式。
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