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高数公式
平面的方程:
1、点法式:A(xx0)B(yy0)C(zz0)0,其中n{A,B,C},M0(x0,y0,z0)
2、一般方程:AxByCzD0xyz
3、截距世方程:1abc平面外任意一点到该平面的距离:dAx0By0Cz0DA2B2C2 xx0mtxxyy0zz0空间直线的方程:0t,其中s{m,n,p};参数方程:yy0ntmnpzzpt0多元函数微分法及应用 全微分:dzzzuuudxdy   dudxdydzxyxyz多元复合函数的求导法:dzzuzvzf[u(t),v(t)]    dtutvtzzuzvzf[u(x,y),v(x,y)]    xuxvx当uu(x,y),vv(x,y)时,duuuvvdxdy   dvdxdy xyxy隐函数的求导公式:FxFFdydyd2y隐函数F(x,y)0,  ,  2(x)+(x)dxFyxFyyFydxdxFyFxzz隐函数F(x,y,z)0, ,  xFzyFz微分法在几何上的应用: x(t)xxyy0zz0空间曲线y(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程:0(t0)(t0)(t0)z(t)在点M处的法平面方程:(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0曲面F(x,y,z)0上一点M(x0,y0,z0),则:
1、过此点的法向量:n{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}
2、过此点的切平面方程:Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0xx0yy0zz
03、过此点的法线方程:Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度: fff函数zf(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为:cossinlxy其中为x轴到方向l的转角。ffijxy f它与方向导数的关系是:gradf(x,y)e,其中ecosisinj,为l方向上的l单位向量。
f是gradf(x,y)在l上的投影。l函数zf(x,y)在一点p(x,y)的梯度:gradf(x,y)多元函数的极值及其求法: 设fx(x0,y0)fy(x0,y0)0,令:fxx(x0,y0)A, fxy(x0,y0)B, fyy(x0,y0)CA0,(x0,y0)为极大值2ACB0时,A0,(x0,y0)为极小值2则:值ACB0时,      无极ACB20时,       不确定柱面坐标和球面坐标: xrcos柱面坐标:f(x,y,z)dxdydzF(r,,z)rdrddz,yrsin,   zz其中:F(r,,z)f(rcos,rsin,z)xrsincos2球面坐标:yrsinsin,  dvrdrsinddrrsindrddzrcos2 r(,)f(x,y,z)dxdydzF(r,,)r2sindrdddd00F(r,,)r02sindr重心:x1Mxdv,  y1Mydv,  z1Mzdv,  其中Mxdv转动惯量:Ix(y2z2)dv,  Iy(x2z2)dv,  Iz(x2y2)dv曲线积分: 第一类曲线积分(对弧长的曲线积分):x(t)设f(x,y)在L上连续,L的参数方程为:,  (t),则:y(t)Lxt22f(x,y)dsf[(t),(t)](t)(t)dt  ()  特殊情况:y(t) 第二类曲线积分(对坐标的曲线积分):x(t)设L的参数方程为,则:y(t)P(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dtL两类曲线积分之间的关系:PdxQdy(PcosQcos)ds,其中和分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。
QPQP格林公式:()dxdyPdxQdy格林公式:()dxdyPdxQdyxyxyDLDLQP1当Py,Qx,即:2时,得到D的面积:Adxdyxdyydxxy2LD·平面上曲线积分与路径无关的条件:

1、G是一个单连通区域;

2、P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,且减去对此奇点的积分,注意方向相反。·二元函数的全微分求积:QP在=时,PdxQdy才是二元函数u(x,y)的全微分,其中:xy(x,y)QP=。
注意奇点,如(0,0),应xy u(x,y)(x0,y0)P(x,y)dxQ(x,y)dy,通常设x0y00。曲面积分: 22对面积的曲面积分:f(x,y,z)dsf[x,y,z(x,y)]1zx(x,y)zy(x,y)dxdyDxy对坐标的曲面积分:,其中:P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy号;R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正Dxy号;P(x,y,z)dydzP[x(y,z),y,z]dydz,取曲面的前侧时取正Dyz 号。Q(x,y,z)dzdxQ[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取正Dzx两类曲面积分之间的关系:PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds级数审敛法:

1、正项级数的审敛法——根植审敛法(柯西判别法):1时,级数收敛设:limnun,则1时,级数发散n1时,不确定

2、比值审敛法:1时,级数收敛U设:limn1,则1时,级数发散nUn1时,不确定

3、定义法:snu1u2un;limsn存在,则收敛;否则发散。n 交错级数u1u2u3u4(或u1u2u3,un0)的审敛法——莱布尼兹定理: unun1如果交错级数满足,那么级数收敛且其和su,其余项r的绝对值ru。limu01nnn1nn绝对收敛与条件收敛: (1)u1u2un,其中un为任意实数;(2)u1u2u3un如果(2)收敛,则(1)肯定收敛,且称为绝对收敛级数;如果(2)发散,而(1)收敛,则称(1)为条件收敛级数。 1(1)n调和级数:n发散,而n收敛;1  级数:n2收敛;p1时发散1  p级数:  npp1时收敛幂级数: 1x1时,收敛于1x1xx2x3xn  x1时,发散对于级数(3)a0a1x a2x2anxn,如果它不是仅在原点收敛,也不是在全xR时收敛数轴上都收敛,则必存在R,使xR时发散,其中R称为收敛半径。
xR时不定1 0时,R求收敛半径的方法:设liman1,其中an,an1是(3)的系数,则0时,Rnan时,R0 函数展开成幂级数: f(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数:f(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)n2。n。f(n1)() 余项:Rn(xx0)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是:limRn0n(n1)。
f(0)2f(n)(0)nx00时即为麦克劳林公式:f(x)f(0)f(0)xxx2。n。一些函数展开成幂级数: m(m1)2m(m1)(mn1)nxx   (1x1)2。n。 352n1xxxsinxx(1)n1   (x)3。
5。(2n1)。
(1x)m1mx欧拉公式: eixeixcosx2ix ecosxisinx   或ixixsinxee2a0nxnxf(x)(ancosbnsin),周期2l2n1lll1nxaf(x)cosdx   (n0,1,2)nlll其中lb1f(x)sinnxdx   (n1,2,3)nlll 微分方程的相关概念: 一阶微分方程:yf(x,y) 或 P(x,y)dxQ(x,y)dy0可分离变量的微分方程:一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式,解法:g(y)dyf(x)dx  得:G(y)F(x)C称为隐式通解。dyyf(x,y)(x,y),即写成的函数,解法: dxxydydududxduy设u,则ux,u(u),分离变量,积分后将代替u,xdxdxdxx(u)ux齐次方程:一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程: dy

1、一阶线性微分方程:P(x)yQ(x)dxP(x)dx当Q(x)0时,为齐次方程,yCe当Q(x)0时,为非齐次方程,y(Q(x)edy

2、贝努力方程:P(x)yQ(x)yn,(n0,1)dx全微分方程: P(x)dxdxC)eP(x)dx 如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函数的全微分方程,即:uudu(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0,其中:P(x,y),Q(x,y) xyu(x,y)C应该是该全微分方程的通解。
二阶微分方程: f(x)0时为齐次d2ydy P(x)Q(x)yf(x),dxdx2f(x)0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法: (*)ypyqy0,其中p,q为常数;求解步骤:

1、写出特征方程:()r2prq0,其中r2,r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数;

2、求出()式的两个根r1,r2

3、根据r1,r2的不同情况,按下表写出(*)式的通解:r1,r2的形式 两个不相等实根(p4q0) 两个相等实根(p24q0) 一对共轭复根(p4q0) 22(*)式的通解 yc1er1xc2er2x y(c1c2x)er1x yex(c1cosxc2sinx) r1i,r2i4qp2 p,22二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqyf(x),p,q为常数f(x)exPm(x)型,为常数;f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型 高数公式。
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