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高数(一)全套公式 高数公式

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高数公式
初等数学基础知识 一、三角函数 1.公式 同角三角函数间的基本关系式: ·平方关系: sin^2(α)+cos^2(α)=1; tan^2(α)+1=sec^2(α);cot^2(α)+1=csc^2(α) ·商的关系: tanα=sinα/cosα cotα=cosα/sinα ·倒数关系: tanα·cotα=1; sinα·cscα=1; cosα·secα=1 三角函数恒等变形公式: ·两角和与差的三角函数: cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 倍角公式: sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·半角公式: sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·万能公式: sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] ·积化和差公式: sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式: sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 2.特殊角的三角函数值  f() 0 (0) 6 4 3 2 (30) 3/2 (45) (60) (90) 0 1 不存在 0 cos sin tan cot 1 0 0 不存在 2/2 2/2 1 1 1/2 3/2 3 1/2 1/3 3 1/3 只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系,依照三角函数的定义即可推出上面的三角值。 2 45 1 2 60 1 4530 函数 角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α sin -sinα cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cos cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cosα cosα tg -tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctg -ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα 1 3诱导公式: 3 记忆规律: 竖变横不变(奇变偶不变),符号看象限(一全,二正弦割,三切,四余弦割 即第一象限全是正的,第二象限正弦、正割是正的,第三象限正切是正的,第四象限余弦、余割是正的) 二、一元二次函数、方程和不等式 b24ac 0 0 0 一元二次函数 yaxbxc(a>0)2 x1.2 x1 x22 有二互异实根一元二次方程axbxc02有二相等实根(有一根)x1,2b2a x1,2bb4ac2a 无实根 一元二次不等式(a>0) axbxc>0 2(x1<x2)x<x1或x>x2 xb 2axR ax2bxc<0 x1xx2 x x 三、因式分解与乘法公式 (1)a2b2(ab)(ab)   (2)a22abb2(ab)2   (3)a22abb2(ab)2(4)a3b3(ab)(a2abb2)    (5)a3b3(ab)(a2abb2)   (6)a33a2b3ab2b3(ab)3    (7)a33a2b3ab2b3(ab)3   (8)a2b2c22ab2bc2ca(abc)2   (9)anbn(ab)(an1an2b abn2bn1),(n2)四、等差数列和等比数列 1.等差数列  通项公式:ana1n1d 前n项和公式 Sn2.等比数列GP 通项公式ana1qn1 na1an2 或 Snna1 nn12dan0,q0前n项和公式.a11qnSn1qna1q1 q1五、常用几何公式 平面图形 名称 正方形 长方形 三角形 a—边长 a和b-边长 符号 C=4a S=a2 C=2(a+b) S=ab 周长C和面积S a,b,c-三边长 h-a边上的高 s-周长的一半 A,B,C-内角 其中s=(a+b+c)/2 a,b-边长 h-a边的高 α-两边夹角 a-边长 α-夹角 D-长对角线长 d-短对角线长 a和b-上、下底长 h-高 m-中位线长 r-半径 d-直径 r—扇形半径 a—圆心角度数 R-外圆半径 r-内圆半径 D-外圆直径 d-内圆直径 D-长轴 d-短轴 S=ah/2 =ab/2·sinC =[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 =a2sinBsinC/(2sinA) S=ah =absinα S=Dd/2 =a2sinα 平行四边形 菱形 梯形 S=(a+b)h/2 =mh C=πd=2πr S=πr2 =πd2/4 C=2r+2πr×(a/360) S=πr2×(a/360) S=π(R2-r2) =π(D2-d2)/4 圆 扇形 圆环 椭圆 S=πDd/4 立方图形 名称 符号 表面积S和体积V 正方体 长方体 a-边长 a-长 b-宽 c-高 r-底半径 h-高 C—底面周长 S底—底面积 S侧—侧面积 S表—表面积 S=6a2 V=a3 S=2(ab+ac+bc) V=abc 圆柱 C=2πr S底=πr2 S侧=Ch S表=Ch+2S底= Ch+2πr2 V=S底h =πr2h V=πr2h/3 V=4/3πr3 =πd3/6 S=4πr2 =πd2 圆锥 球 r-底半径 h-高 r-半径 d-直径 基本初等函数 名称 常 数 函 数 幂 函 数 表达式 yC 定义域 R 图 形 1.81.61.41.210.80.60.40.20 特 性 y C 0 y=x3y=xy=x1/3y=x-1y=x-2x 过点(1,1); 0时在R 单增; 0时在R 单减. y0. 过点0,1. a1单增. 0a1单减. mnmnmnaaaa,namn,amamn a yx  随而异,但在R上 均有定义 00.20.40.60.811.21.41.61.8 指 yax 数 a0 函 a1 数 4.543.532.5yy=axy=axR 21.510.50-0.5-2.5-201 过点1,0. xO(1,0)0
2、绕y轴的旋转体体积(右图) d Vyg2(y)dyc 注意:此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴. 由边际函数求总函数 C(q)f(x)dxC0(C0C(0)为固定成本) R(q)0qq0g(x)d x总利润函数为L(q)R(q)C(q)[g(x)f(x)]dxC0。
0q 多元复合函数的导数公式 设函数u =φ(x, y)、v =ψ(x, y)在点(x,y)有偏导数,函数z = f (u, v)在对应点(u, v)处可微,则复合函数z = f (φ(x, y),ψ(x, y))在点(x,y)的偏导数 zzuzvzzuzv, . xuxvxyuyvy两个特例: dzzduudvz = f (u, v),u(t),v(t): dtudtvdtzdzuuzdzuuf(u), f(u).z = f (u),u = u (x, y):xduxxyduyy隐函数导数公式 二元方程F(x,y)0所确定的隐函数:Fxdy dxFyFyFzzx, xFzyFz三元方程F(x, y, z) = 0所确定的二元隐函数:1.确定函数定义域的主要依据: (1)当f(x)是整式时,定义域为R (2)当f(x)是分式时,定义域是使分母不等于0的x (3)当f(x)是偶次根式时,定义域是使被开方式取非负值的x取值的集合; (4)当f(x)是零指数幂或负数指数幂时,定义域是使幂的底数非零或大于0的x(5)当f(x)是对数式时,定义域是使真数大于0的x (6)正切函数的定义域是{x|xk 2,kZ};余切函数的定义域是{x|x≠kπ,k∈Z}(7)当f(x)表示实际问题中的函数关系时还应考虑在此实际问题中x取值的实际意义. 2.求函数值域常用的方法有配方、换元、不等式、判别式、图像法等等. 高数公式。
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