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高数二公式大全 高数公式

教学资源|题库|学习文库-「普洱教育」来源: https://www.puerjy.cn 2020-02-07 03:50公式大全 429865 ℃
高数公式
. 高等数学公式 导数公式: (tgx)sec2x(ctgx)csc2x(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(ax)axlna(logax)基本积分表: (arcsinx)11xlna1x21(arccosx)1x21(arctgx)1x21(arcctgx)1x2tgxdxlncosxCctgxdxlnsinxCsecxdxlnsecxtgxCcscxdxlncscxctgxCdx1xarctgCa2x2aadx1xalnx2a22axaCdx1axa2x22alnaxCdxxarcsinCa2x2a2ndx2cos2xsecxdxtgxCdx2sin2xcscxdxctgxCsecxtgxdxsecxCcscxctgxdxcscxCaxadxlnaCxshxdxchxCchxdxshxCdxx2a2ln(xx2a2)C2Insinxdxcosnxdx0022n1In2nx2a2222xadx2xa2ln(xxa)Cx2a222222xadxxalnxxaC22x2a2x222axdxaxarcsinC22a三角函数的有理式积分: 2u1u2x2dusinx, cosx, utg, dx 21u21u21u2. . 一些初等函数: 两个重要极限: exex双曲正弦:shx2exex双曲余弦:chx2shxexex双曲正切:thxchxexexarshxln(xx21)archxln(xx21)11xarthxln21x三角函数公式: ·诱导公式: 函数 角A -α 90°-α 90°+α sinx lim1x0x 1 lim(1)xe2.718281828459045...x x sin cos tg ctg -sinα cosα -tgα -ctgα cosα sinα ctgα tgα cosα -sinα -ctgα -tgα 180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα 180°+α -sinα -cosα tgα ctgα 270°-α -cosα -sinα ctgα tgα 270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα 360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360°+α sinα cosα tgα ctgα . . ·和差角公式: ·和差化积公式: sin()sincoscossincos()coscossinsintg()tgtg1tgtgctg()ctgctg1ctgctg . sinsin2sin2cos2sinsin2cos2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2sin2. ·倍角公式: sin22sincoscos22cos2112sin2cos2sin2ctg21ctg22ctg2tgtg21tg2 ·半角公式: sintgsin33sin4sin3cos34cos33cos3tgtg3tg313tg221cos1cos            cos2221cos1cossin1cos1cossin  ctg1cossin1cos21cossin1cos2 ·正弦定理: abc2R ·余弦定理:c2a2b22abcosC sinAsinBsinC·反三角函数性质:arcsinx2arccosx   arctgx2arcctgx 高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式: (uv)(n)k(nk)(k)Cnuvk0nn(n1)(n2)n(n1)(nk1)(nk)(k)u(n)vnu(n1)vuvuvuv(n)2。k。 中值定理与导数应用: 拉格朗日中值定理:f(b)f(a)f()(ba)f(b)f(a)f()柯西中值定理:F(b)F(a)F() 当F(x)x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率: 弧微分公式:ds1y2dx,其中ytg平均曲率:K.:从M点到M点,切线斜率的倾角变化量;s:MM弧长。sydM点的曲率:Klim. 23s0sds(1y)直线:K0;1半径为a的圆:K.a. . 定积分的近似计算: b矩形法:f(x)abba(y0y1yn1)nba1[(y0yn)y1yn1]n2ba[(y0yn)2(y2y4yn2)4(y1y3yn1)]3n 梯形法:f(x)ab抛物线法:f(x)a定积分应用相关公式: 功:WFs水压力:FpAmm引力:Fk122,k为引力系数 rb1函数的平均值:yf(x)dxbaa1均方根:f2(t)dtbaab空间解析几何和向量代数: 空间2点的距离:dM1M2(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2向量在轴上的投影:PrjuABABcos,是AB与u轴的夹角。
Prju(a1a2)Prja1Prja2ababcosaxbxaybyazbz,是一个数量,两向量之间的夹角:cosicabaxbxjaybyaxbxaybyazbzaxayazbxbybz222222kaz,cabsin.例:线速度:vwcyazbzabccos,为锐角时, czax向量的混合积:[abc](ab)cbxcx代表平行六面体的体积。. . 平面的方程:

1、点法式:A(xx0)B(yy0)C(zz0)0,其中n{A,B,C},M0(x0,y0,z0)

2、一般方程:AxByCzD0xyz

3、截距世方程:1abc平面外任意一点到该平面的距离:dAx0By0Cz0DA2B2C2xx0mtxxyy0zz0空间直线的方程:0t,其中s{m,n,p};参数方程:yy0ntmnpzzpt0二次曲面:x2y2z

21、椭球面:2221abcx2y

22、抛物面:z(,p,q同号)2p2q

3、双曲面:x2y2z2单叶双曲面:2221abcx2y2z2双叶双曲面:222(马鞍面)1abc 多元函数微分法及应用 全微分:dzzzuuudxdy   dudxdydzxyxyz全微分的近似计算:zdzfx(x,y)xfy(x,y)y多元复合函数的求导法:dzzuzvzf[u(t),v(t)]    dtutvtzzuzvzf[u(x,y),v(x,y)]    xuxvx当uu(x,y),vv(x,y)时,uuvvdudxdy   dvdxdy xyxy隐函数的求导公式:FxFFdydyd2y隐函数F(x,y)0,  ,  2(x)+(x)dxFyxFyyFydxdxFyFzz隐函数F(x,y,z)0, x,  xFzyFz. . FF(x,y,u,v)0(F,G)u隐函数方程组:   JGG(x,y,u,v)0(u,v)uu1(F,G)v1(F,G)    xJ(x,v)xJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)    yJ(y,v)yJ(u,y)微分法在几何上的应用: FvFuGGuvFvGv x(t)xxyy0zz0空间曲线y(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程:0(t)(t)(t0)00z(t)在点M处的法平面方程:(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0FyFzFzFxFxF(x,y,z)0若空间曲线方程为:,则切向量T{,,GGGxGGG(x,y,z)0yzzx曲面F(x,y,z)0上一点M(x0,y0,z0),则:

1、过此点的法向量:n{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}xx0yy0zz

03、过此点的法线方程:Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)FyGy}

2、过此点的切平面方程:Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0方向导数与梯度: fff函数zf(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为:cossinlxy其中为x轴到方向l的转角。ffijxy f它与方向导数的关系是:gradf(x,y)e,其中ecosisinj,为l方向上的l单位向量。
f是gradf(x,y)在l上的投影。
l多元函数的极值及其求法: 函数zf(x,y)在一点p(x,y)的梯度:gradf(x,y)设fx(x0,y0)fy(x0,y0)0,令:fxx(x0,y0)A, fxy(x0,y0)B, fyy(x0,y0)CA0,(x0,y0)为极大值2ACB0时,A0,(x0,y0)为极小值2则:值ACB0时,      无极ACB20时,       不确定. . 重积分及其应用: f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrdDD曲面zf(x,y)的面积ADzz1ydxdyx22平面薄片的重心:xMxMx(x,y)dD(x,y)dDD,  yMyMy(x,y)dD(x,y)dDD 平面薄片的转动惯量:对于x轴Ixy2(x,y)d,  对于y轴Iyx2(x,y)d平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M(0,0,a),(a0)的引力:F{Fx,Fy,Fz},其中:FxfD(x,y)xd(xya)2222,  Fyf3D(x,y)yd(xya)2222,  Fzfa3D(x,y)xd(xya)22322柱面坐标和球面坐标: xrcos柱面坐标:f(x,y,z)dxdydzF(r,,z)rdrddz,yrsin,   zz其中:F(r,,z)f(rcos,rsin,z)xrsincos2球面坐标:yrsinsin,  dvrdrsinddrrsindrddzrcos2 r(,)2F(r,,)rsindr0f(x,y,z)dxdydzF(r,,)rsindrdddd002重心:x1Mxdv,  y1Mydv,  z1Mzdv,  其中Mxdv转动惯量:Ix(y2z2)dv,  Iy(x2z2)dv,  Iz(x2y2)dv曲线积分: 第一类曲线积分(对弧长的曲线积分):x(t)设f(x,y)在L上连续,L的参数方程为:,  (t),则:y(t)Lxt22f(x,y)dsf[(t),(t)](t)(t)dt  ()  特殊情况:y(t). . 第二类曲线积分(对坐标的曲线积分):x(t)设L的参数方程为,则:y(t)P(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dtL两类曲线积分之间的关系:PdxQdy(PcosQcos)ds,其中和分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。
QPQP格林公式:()dxdyPdxQdy格林公式:()dxdyPdxQdyxyxyDLDLQP1当Py,Qx,即:2时,得到D的面积:Adxdyxdyydxxy2LD·平面上曲线积分与路径无关的条件:

1、G是一个单连通区域;

2、P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,且减去对此奇点的积分,注意方向相反。·二元函数的全微分求积:QP在=时,PdxQdy才是二元函数u(x,y)的全微分,其中:xy(x,y)QP=。
注意奇点,如(0,0),应xy u(x,y)(x0,y0)P(x,y)dxQ(x,y)dy,通常设x0y00。曲面积分: 22对面积的曲面积分:f(x,y,z)dsf[x,y,z(x,y)]1z(x,y)z(x,y)dxdyxyDxy对坐标的曲面积分:P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy,其中:号;R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正Dxy 号;P(x,y,z)dydzP[x(y,z),y,z]dydz,取曲面的前侧时取正DyzQ(x,y,z)dzdxQ[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取正号。Dzx两类曲面积分之间的关系:PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds高斯公式: . . (PQR)dvPdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dsxyz高斯公式的物理意义——通量与散度:PQR散度:div,即:单位体积内所产生的流体质量,若div0,则为消失...xyz通量:AndsAnds(PcosQcosRcos)ds,因此,高斯公式又可写成:divAdvAnds斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系: RQPRQP()dydz()dzdx()dxdyPdxQdyRdzyzzxxydydzdzdxdxdycos上式左端又可写成:xyzxPQRPcosyQcoszR RQPRQP空间曲线积分与路径无关的条件:, , yzzxxyijk旋度:rotAxyzPQR向量场A沿有向闭曲线的环流量:PdxQdyRdzAtds常数项级数: 1qn等比数列:1qqq1q(n1)n 等差数列:123n2111调和级数:1是发散的23n2n1级数审敛法: . .

1、正项级数的审敛法——根植审敛法(柯西判别法):1时,级数收敛设:limnun,则1时,级数发散n1时,不确定

2、比值审敛法:1时,级数收敛U设:limn1,则1时,级数发散nUn1时,不确定

3、定义法:snu1u2un;limsn存在,则收敛;否则发散。
n 交错级数u1u2u3u4(或u1u2u3,un0)的审敛法——莱布尼兹定理: unun1如果交错级数满足su1,其余项rn的绝对值rnun1。
limu0,那么级数收敛且其和nn绝对收敛与条件收敛: (1)u1u2un,其中un为任意实数;(2)u1u2u3un如果(2)收敛,则(1)肯定收敛,且称为绝对收敛级数;如果(2)发散,而(1)收敛,则称(1)为条件收敛级数。 1(1)n调和级数:n发散,而n收敛;1  级数:n2收敛;p1时发散1  p级数:np  p1时收敛幂级数: . . 1x1时,收敛于1x1xx2x3xn  x1时,发散对于级数(3)a0a1x a2x2anxn,如果它不是仅在原点收敛,也不是在全xR时收敛数轴上都收敛,则必存在R,使xR时发散,其中R称为收敛半径。
xR时不定1 0时,R求收敛半径的方法:设liman1,其中an,an1是(3)的系数,则0时,Rnan时,R0函数展开成幂级数: f(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数:f(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)n2。n。f(n1)()余项:Rn(xx0)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是:limRn0 n(n1)。f(0)2f(n)(0)nx00时即为麦克劳林公式:f(x)f(0)f(0)xxx2。
n。一些函数展开成幂级数: m(m1)2m(m1)(mn1)nxx   (1x1)2。n。 2n1x3x5xsinxx(1)n1   (x)3。5。(2n1)。
(1x)m1mx欧拉公式: eixeixcosx2 eixcosxisinx   或ixixsinxee2三角级数: a0f(t)A0Ansin(ntn)(ancosnxbnsinnx)2n1n1其中,a0aA0,anAnsinn,bnAncosn,tx。正交性:1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积在[,]上的积分=0。
 傅立叶级数: . . a0f(x)(ancosnxbnsinnx),周期22n11(n0,1,2)anf(x)cosnxdx   其中1bf(x)sinnxdx   (n1,2,3)n112122835 111224224262正弦级数:an0,bn余弦级数:bn0,an11121222(相加)623411121222(相减)12234f(x)sinnxdx  n1,2,3 f(x)b0 2nsinnx是奇函数20f(x)cosnxdx  n0,1,2 f(x)a0ancosnx是偶函数2周期为2l的周期函数的傅立叶级数: . . a0nxnxf(x)(ancosbnsin),周期2l2n1lll1nxaf(x)cosdx   (n0,1,2)nlll其中lb1f(x)sinnxdx   (n1,2,3)nlll 微分方程的相关概念: 一阶微分方程:yf(x,y) 或 P(x,y)dxQ(x,y)dy0可分离变量的微分方程:一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式,解法:g(y)dyf(x)dx  得:G(y)F(x)C称为隐式通解。dyyf(x,y)(x,y),即写成的函数,解法: dxxydydududxduy设u,则ux,u(u),分离变量,积分后将代替u,xdxdxdxx(u)ux齐次方程:一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。一阶线性微分方程: dy

1、一阶线性微分方程:P(x)yQ(x)dxP(x)dx当Q(x)0时,为齐次方程,yCeP(x)dxP(x)dx当Q(x)0时,为非齐次方程,y(Q(x)edxC)e dy

2、贝努力方程:P(x)yQ(x)yn,(n0,1)dx全微分方程: 如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函数的全微分方程,即:uudu(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0,其中:P(x,y),Q(x,y) xyu(x,y)C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程: f(x)0时为齐次d2ydyP(x)Q(x)yf(x), 2dxdxf(x)0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法: (*)ypyqy0,其中p,q为常数;求解步骤:

1、写出特征方程:()r2prq0,其中r2,r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数;

2、求出()式的两个根r1,r2. .

3、根据r1,r2的不同情况,按下表写出(*)式的通解: r1,r2的形式 (*)式的通解 yc1er1xc2er2x y(c1c2x)er1x yex(c1cosxc2sinx) 两个不相等实根(p24q0) 两个相等实根(p24q0) 一对共轭复根(p24q0) r1i,r2i4qp2 p,22二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqyf(x),p,q为常数f(x)exPm(x)型,为常数;f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型 一、原函数与不定积分概念 微积分学主要包含两大内容:微分学与积分学,主要工具是极限思想方法。单元二和单元三就是微分学及其应用。本单元是积分学中的不定积分,是求导数的逆过程。
例如,如果已知运动的速度规律: v = v ( t ),要求运动的位移规律 s = s ( t );又如,已知函数的变化率为 y = f ( x ),要求原来的函数 y = F ( x ),这都是求不定积分问题。 定义 1 设函数 y = f ( x )在某个区间上有定义,如果存在函数 y = F ( x ),对于该区间上任一点 x ,使得 F' ( x ) = f ( x )或 d F ( x ) = f ( x ) dx 成立,则称 F ( x )是 f ( x )在该区间上的一个原函数( primitive function )。
例如 ( 1 ) 上的一个原函数 ( 2 ) 上的一个原函数 ( 3 ) 函数 上的一个原. . ( 4 ) 上的一个原函数 ( 5 ) 上的一个原函数 一般地说,由于常数的导数为 0 ,如果 F ( x )是 f ( x )的一个原函数,那么 F ( x ) + C 也都是 f ( x )的原函数(其中 C 是任意常数)。因此,如果 f ( x )有一个原函数 F ( x ),它就有原函数族: F ( x ) +C ,这个原函数族就称为 f ( x )的不定积分。即 定义 2 如果 F ( x )是 f ( x )的一个原函数,则称原函数族 F ( x ) +C 为 f ( x )的不定积分( indefinite integral ),记为 ,即 其中 为积分号( integral sign ), 为被积表达式( integrand expression ), 被积函数( integrand ), x 为积分变量( variable of integration )。 求不定积的的问题:求出一个原函数,两加上一个任意常数。例如 不定积分的几何意义:由于 由 中 C 的取值不同,代表了不同的积曲线,且它们均可的图像在垂直方向平移而得,是一族“平行”的曲线。 . . 二、不定积分的性质 性质 1 或 ; 或 本性质表明:如果先积分,后求导(或求微分),则两种运算互相抵消。
反之,先求导(或求微分),后积分,则二者作用抵消后还需加上积分常数。
即是说,积分运算是求导运算(或微分运算)的逆运算。 性质 2 函数的代数和的积分等于各自积分的代数和,即 性质 3 被积函数中的非零常数因子可以提到积号外,即 (其中常数 K ≠ 0 ) 三、基本积分公式 (公式中 C 为积分常数) (1) ( K是常数) (2) (常数 a≠1) (3) . . (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 或 = (13) 不定积分简单方法 或 = 例 1 利用基本公式求不定积分: (1) (2) (3) (4) 解: (1) 利用公式( 2 ),这里 a=3 , . . (2) 利用基本公式( 5 ) (3) 利用基本公式( 6 ) (4) 利用基本公式( 3 ) 例 2 求 解:利用基本公式和不定积分性质: 注:当积分被子分成代数和来计算时,只在最后求出积分再加上一个任意常数即可。 例 3 求下列不定积分 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 解:不能直接利用公式时,可考虑作适当变化,朝可用公式的方向进行 ( 1 ) . . . 高数公式。
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