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高数公式
学习必备 欢迎下载 高等数学公式 导数公式: (tgx)sec2x(ctgx)csc2x(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(ax)axlna(logax)基本积分表: (arcsinx)11xlna1x21(arccosx)1x21(arctgx)1x21(arcctgx)1x2tgxdxlncosxCctgxdxlnsinxCsecxdxlnsecxtgxCcscxdxlncscxctgxCdx1xarctgCa2x2aadx1xalnx2a22axaCdx1axa2x22alnaxCdxxarcsinCa2x2a2ndx2seccos2xxdxtgxCdx2sin2xcscxdxctgxCsecxtgxdxsecxCcscxctgxdxcscxCaxadxlnaCxshxdxchxCchxdxshxCdxx2a2ln(xx2a2)C2Insinxdxcosnxdx00n1In2nx2a22xadxxaln(xx2a2)C22x2a2222xadxxalnxx2a2C22x2a2x222axdxaxarcsinC22a22三角函数的有理式积分: 2u1u2x2dusinx, cosx, utg, dx 21u21u21u2学习必备 欢迎下载 高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式: (uv)(n)k(nk)(k)Cnuvk0nu(n)vnu(n1)vn(n1)(n2)n(n1)(nk1)(nk)(k)uvuvuv(n)2。k。
中值定理与导数应用: 拉格朗日中值定理:f(b)f(a)f()(ba)f(b)f(a)f()柯西中值定理:F(b)F(a)F()定积分的近似计算: b 当F(x)x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。矩形法:f(x)abba(y0y1yn1)nba1[(y0yn)y1yn1]n2ba[(y0yn)2(y2y4yn2)4(y1y3yn1)]3n 梯形法:f(x)ab抛物线法:f(x)a 多元函数微分法及应用 全微分:dzzzuuudxdy   dudxdydzxyxyz全微分的近似计算:zdzfx(x,y)xfy(x,y)y多元复合函数的求导法:dzzuzvzf[u(t),v(t)]    dtutvtzzuzvzf[u(x,y),v(x,y)]    xuxvx当uu(x,y),vv(x,y)时,uuvvdudxdy   dvdxdy xyxy隐函数的求导公式:FxFFdydyd2y隐函数F(x,y)0,  ,  2(x)+(x)dxFyxFyyFydxdxFyFzz隐函数F(x,y,z)0, x,  xFzyFz 学习必备 欢迎下载 FF(x,y,u,v)0(F,G)u隐函数方程组:   JGG(x,y,u,v)0(u,v)uu1(F,G)v1(F,G)    xJ(x,v)xJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)    yJ(y,v)yJ(u,y) 多元函数的极值及其求法: FvFuGGuvFvGv 设fx(x0,y0)fy(x0,y0)0,令:fxx(x0,y0)A, fxy(x0,y0)B, fyy(x0,y0)CA0,(x0,y0)为极大值2ACB0时,A0,(x0,y0)为极小值2则:值ACB0时,      无极ACB20时,       不确定 曲线积分: 第一类曲线积分(对弧长的曲线积分):x(t)设f(x,y)在L上连续,L的参数方程为:,  (t),则:y(t)Lxtf(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt  ()  特殊情况:y(t)学习必备 欢迎下载 第二类曲线积分(对坐标的曲线积分):x(t)设L的参数方程为,则:y(t)P(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dtL两类曲线积分之间的关系:PdxQdy(PcosQcos)ds,其中和分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。QPQP格林公式:()dxdyPdxQdy格林公式:()dxdyPdxQdyxyxyDLDLQP1当Py,Qx,即:2时,得到D的面积:Adxdyxdyydxxy2LD·平面上曲线积分与路径无关的条件:

1、G是一个单连通区域;

2、P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,且减去对此奇点的积分,注意方向相反。·二元函数的全微分求积:QP在=时,PdxQdy才是二元函数u(x,y)的全微分,其中:xy(x,y)QP=。
注意奇点,如(0,0),应xy u(x,y)(x0,y0)P(x,y)dxQ(x,y)dy,通常设x0y00。 常数项级数: 1qn等比数列:1qqq1q(n1)n 等差数列:123n2111调和级数:1是发散的23n2n1级数审敛法: 学习必备 欢迎下载

1、正项级数的审敛法——根植审敛法(柯西判别法):1时,级数收敛设:limnun,则1时,级数发散n1时,不确定

2、比值审敛法:1时,级数收敛Un1设:lim,则1时,级数发散nUn1时,不确定

3、定义法:snu1u2un;limsn存在,则收敛;否则发散。n 交错级数u1u2u3u4(或u1u2u3,un0)的审敛法——莱布尼兹定理: unun1如果交错级数满足,那么级数收敛且其和su,其余项r的绝对值ru。limu01nnn1nn绝对收敛与条件收敛: (1)u1u2un,其中un为任意实数;(2)u1u2u3un如果(2)收敛,则(1)肯定收敛,且称为绝对收敛级数;如果(2)发散,而(1)收敛,则称(1)为条件收敛级数。
1(1)n调和级数:n发散,而n收敛;1  级数:n2收敛;p1时发散1  p级数:np  p1时收敛 幂级数: 学习必备 欢迎下载 1x1时,收敛于1x1xx2x3xn  x1时,发散对于级数(3)a0a1x a2x2anxn,如果它不是仅在原点收敛,也不是在全xR时收敛数轴上都收敛,则必存在R,使xR时发散,其中R称为收敛半径。xR时不定10时,Ran1求收敛半径的方法:设lim,其中an,an1是(3)的系数,则0时,Rnan时,R0 函数展开成幂级数: f(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数:f(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)n2。
n。f(n1)()余项:Rn(xx0)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是:limRn0 n(n1)。
f(0)2f(n)(0)nx00时即为麦克劳林公式:f(x)f(0)f(0)xxx2。
n。
一些函数展开成幂级数: m(m1)2m(m1)(mn1)nxx   (1x1)2。n。 352n1xxxsinxx(1)n1   (x)3。5。
(2n1)。(1x)m1mx欧拉公式: eixeixcosx2ix ecosxisinx   或ixixsinxee2三角级数: a0f(t)A0Ansin(ntn)(ancosnxbnsinnx)2n1n1其中,a0aA0,anAnsinn,bnAncosn,tx。
正交性:1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积在[,]上的积分=0。 学习必备 欢迎下载 傅立叶级数: a0f(x)(ancosnxbnsinnx),周期22n11(n0,1,2)anf(x)cosnxdx   其中b1f(x)sinnxdx   (n1,2,3)n112122835 111224224262正弦级数:an0,bn余弦级数:bn0,an11121222(相加)623411121222(相减)12234f(x)sinnxdx  n1,2,3 f(x)b0 2nsinnx是奇函数20f(x)cosnxdx  n0,1,2 f(x)a0ancosnx是偶函数2周期为2l的周期函数的傅立叶级数: 学习必备 欢迎下载 a0nxnxf(x)(ancosbnsin),周期2l2n1lll1nxaf(x)cosdx   (n0,1,2)nlll其中lb1f(x)sinnxdx   (n1,2,3)nlll 微分方程的相关概念: 一阶微分方程:yf(x,y) 或 P(x,y)dxQ(x,y)dy0可分离变量的微分方程:一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式,解法:g(y)dyf(x)dx  得:G(y)F(x)C称为隐式通解。
dyyf(x,y)(x,y),即写成的函数,解法: dxxydydududxduy设u,则ux,u(u),分离变量,积分后将代替u,xdxdxdxx(u)ux齐次方程:一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。一阶线性微分方程: dy

1、一阶线性微分方程:P(x)yQ(x)dxP(x)dx当Q(x)0时,为齐次方程,yCeP(x)dxP(x)dx当Q(x)0时,为非齐次方程,y(Q(x)edxC)e dy

2、贝努力方程:P(x)yQ(x)yn,(n0,1)dx全微分方程: 如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函数的全微分方程,即:uudu(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0,其中:P(x,y),Q(x,y) xyu(x,y)C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程: f(x)0时为齐次d2ydyP(x)Q(x)yf(x), 2dxdxf(x)0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法: (*)ypyqy0,其中p,q为常数;求解步骤:

1、写出特征方程:()r2prq0,其中r2,r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数;

2、求出()式的两个根r1,r2学习必备 欢迎下载

3、根据r1,r2的不同情况,按下表写出(*)式的通解: r1,r2的形式 两个不相等实根(p4q0) 两个相等实根(p4q0) 一对共轭复根(p4q0) 222(*)式的通解 yc1er1xc2er2x y(c1c2x)er1x yex(c1cosxc2sinx) r1i,r2i4qp2 p,22二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqyf(x),p,q为常数f(x)exPm(x)型,为常数;f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型 高数公式。
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