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史上最全的数列通项公式的求法15种 数列 公式

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数列 公式
最全的数列通项公式的求法 数列是高考中的重点内容之一,每年的高考题都会考察到,小题一般较易,大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式,在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。 ◆一、直接法 根据数列的特征,使用作差法等直接写出通项公式。
例1. 根据下列数列的前几项,说出数列的通项公式:

1、1.3.7.15.31„„„

2、1,2,5,8,12„„„

21213、2,1,,,,„„„

32534、1,-1,1,-1„„„

5、

1、

0、

1、0„„„ ◆二、公式法 ①利用等差数列或等比数列的定义求通项 S1n1n②若已知数列的前项和Sn与an的关系,求数列an的通项an可用公式an求解. SSn2n1n(注意:求完后一定要考虑合并通项) 例2.①已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an(1)n,n1.求数列an的通项公式. ②已知数列an的前n项和Sn满足Snn2n1,求数列an的通项公式. ③ 已知等比数列an的首项a11,公比0q1,设数列bn的通项为bnan1an2,求数列bn的通项公式。 ③解析:由题意,bn1an2an3,又an是等比数列,公比为q ∴bn1an2an3q,故数列bn是等比数列,b1a2a3a1qa1q2q(q1), bnan1an2∴ bnq(q1)qn1qn(q1) ◆三、归纳猜想法 如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项,我们可以根据前几项的规律,归纳猜想出数列的通项公式,然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律,然后正面证明。 例3.(2002年北京春季高考)已知点的序列An(xn,0),nN*,其中x10,x2a(a0),A3是线段A1A2的中点,A4是线段A2A3的中点,„,An是线段An2An1的中点,„

(1) 写出xn与xn1,xn2之间的关系式(n3)。
最全的数列通项公式的求法- 1 -

(2) 设anxn1xn,计算a1,a2,a3,由此推测an的通项公式,并加以证明。


(3) 略 解析:

(1)∵ An是线段An2An3的中点, ∴xn

(2)a1x2x1a0a, xn1xn2(n3) 2a2x3x2x2x111x2=(x2x1)a, 222x3x211x3=(x3x2)a, 242n1a3x4x3猜想an()12a(nN*),下面用数学归纳法证明 10 当n=1时,a1a显然成立; 120 假设n=k时命题成立,即ak()k1a(kN*) 2 则n=k+1时,ak1xk2xk1 =()()∴ 当n=k+1时命题也成立, ∴ 命题对任意nN都成立。
变式:(2006,全国II,理,22,本小题满分12分) 设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,„ (Ⅰ)求a1,a2; (Ⅱ){an}的通项公式 xk1xk11xk=(xk1xk)ak 2221a()ka 21212k1*◆四、累加(乘)法 对于形如an1anf(n)型或形如an1f(n)an型的数列,我们可以根据递推公式,写出n取1到n时的所有的递推关系式,然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式。 例4. 若在数列an中,a13,an1ann,求通项an。 解析:由an1ann得an1ann,所以 anan1n1,an1an2n2,„,a2a11, 将以上各式相加得:an a1(n1)(n2)1,又a13 最全的数列通项公式的求法- 2 - 所以 an=例5. n(n1)3 2*在数列an中,a11,an12nan(nN),求通项an。 解析:由已知an1aaa2n,n2n1,n12n2,„,22,又a11, anan1an2a1n(n1)anan1a2n1n2所以an=a1=22„21=22 „an1an2a1 ◆五、取倒(对)数法 ra、an1pan这种类型一般是等式两边取对数后转化为an1panq,再利用待定系数法求解 b、数列有形如f(an,an1,anan1)0的关系,可在等式两边同乘以11,先求出,再求得an. anan1anc、an1f(n)an解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为an1panq。 g(n)anh(n)例6..设数列{an}满足a12,an1an(nN),求an. an3111. ,得13anan1anan1解:原条件变形为an1an3an1an.两边同乘以∵(3111111),3n1 an2an12an22. n1231∴an2例7 、 设正项数列an满足a11,an2an1(n≥2).求数列an的通项公式. 解:两边取对数得:log2n12log2n1,log2n12(log2n11),设bnlog2n1, 则bn2bn1 bn是以2为公比的等比数列,b1log211. 1an1n1n,log2n21, ∴an22bn12n12n1,loga212n1aaaaa1 变式: 1.已知数列{an}满足:a1=33nan-1(n2,nN),且an= 22an-1+n-1

(1) 求数列{an}的通项公式;

(2) 证明:对于一切正整数n,不等式a1a2„„an2n。

2、若数列的递推公式为a13, 112(n),则求这个数列的通项公式。
an1an最全的数列通项公式的求法- 3 -

3、已知数列{an}满足a11,n2时,an1an2an1an,求通项公式。

4、已知数列{an}满足:anan1,a11,求数列{an}的通项公式。
3an112an n∈N,求通项an. an

25、若数列{an}中,a1=1,an1= ◆六、迭代法 迭代法就是根据递推式,采用循环代入计算. 例

8、(2003·高考·广东) n -1设a 0为常数,且a n=3 -2 a n -1(n为正整数)证明对任意n≥1 , nn -1nnn a n= [ 3 +(-1)· 2 ]+(-1) · 2 a 0 证明: n -1n -1n -2 a n=3 -2 a n -1=3 -2(3 -2 a n -2) n -1n -22n -3 =3 -2· 3 +2 (3 -2 a n -3) n -1n -22 n -33n -4 =3 -2 ·3 +2 ·3 -2 (3 -2 a n -4) „„„ „„„ n -1n -22n –3 n -1n -1nn =3 -2·3 +2 ·3 -„+(-1)·2 +(-1) ·2 a 0 nnn -1(-1) ·2 a 0 前面的n项组成首项为3 ,公比为-的等比数列,这n项的和为: nn -1n= [ 3 +(-1)·2 ] nn -1n nn ∴ a n= [ 3 +(-1)· 2 ]+(-1) · 2 a 0 ◆七、待定系数法: 求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,该方法体现了数学中化未知为已知的化归思想,运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。


1、通过分解常数,可转化为特殊数列{an+k}的形式求解。
一般地,形如an1=p an+q(p≠1,pq≠0)型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法:设an1+k=p(an+k)与原式比较系数可得pk-k=q,即k=例

9、数列{an}满足a1=1,an=q,从而得等比数列{an+k}。 p11a+1(n≥2),求数列{an}的通项公式。 2n111解:由an=an1+1(n≥2)得an-2=(an1-2),而a1-2=1-2=-1, 221∴数列{ an-2}是以为公比,-1为首项的等比数列 21n11n1∴an-2=-() ∴an=2-() 22说明:通过对常数1的分解,进行适当组合,可得等比数列{ an-2},从而达到解决问题的目的。
最全的数列通项公式的求法- 4 - 练习、1数列{an}满足a1=1,3an1an70,求数列{an}的通项公式。 7 31k77设an1k(ank),比较系数得k解得k 333471773∴{an}是以为公比,以a11为首项的等比数列 43444731n1731n1∴an() an() 443443解:由3an1an70得an1an

2、已知数列an满足a11,且an13an2,求an. 解:设an1t3(ant),则an13an2tt1,an113(an1)an1是 以(a11)为首项,以3为公比的等比数列an1(a11)3n123n1an23n11 点评:求递推式形如an1panq(p、q为常数)的数列通项,可用迭代法或待定系数法构造新数列an113qqp(an)来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求,这也是近年高考考得p11pn1很多的一种题型.

2、递推式为an1panqn1(p、q为常数)时,可同除q为an1panq(p、q为常数)型. 、,得anan1pan,令从而化归1bnn1nnqqqq例10.已知数列an满足a11,an3n2an1 (n2),求an. an2an1an2an111 33n13n3n3nan2221设bnn,则bn1bn1.令bnt(bn1t)bnbn1t 33333a28t3.条件可化成bn3(bn13),数列bn3是以b1313为首项, 333an282n1为公比的等比数列.bn3().因bnn, 333382anbn3n3n(()n13)an3n12n2. 33解:将an3n2an1两边同除3,得n、0,a0)

3、形如an1pananb(p1解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令an1x(n1)yp(anxny),与已知递推式比较,解出x,y,从而转化为anxny是公比为p的等比数列。 例
11:设数列an:a14,an3an12n1,(n2),求an. 解:令an1x(n1)y3(anxny) an13an2xn2yx 最全的数列通项公式的求法- 5 - 化简得: 2x2x12yx1y0a(n1)3(ann) 所以解得 ,所以n1又因为a115,所以数列ann是以5为首项,3为公比的等比数列。 n1n1an53,所以a53-n n从而可得n变式:(2006,山东,文,22,本小题满分14分) 1a1、点(n、2an1an)a2n已知数列{}中,在直线y=x上,其中n=1,2,3„ (Ⅰ)令

4、形如an1bn是等比数列;a的通项;bnan1an3,求证数列 (Ⅱ)求数列n 、0,a0) panan2bnc(p1解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令an1x(n1)2y(n1)cp(anxn2ync),与已知递推式比较,解出x,y,z.从而转化为a2xnync是公比为p的等比数列。 n例
12:设数列an:a14,an3an12n21,(n2),求an. 5. 递推公式为an2pan1qan(其中p,q均为常数)。 解法一(待定系数法):先把原递推公式转化为an2san1t(an1san) stp其中s,t满足 stq解法二(特征根法):对于由递推公式an2pan1qan,a1,a2给出的数列an,方程x2pxq0,叫做数列an的特征方程。
若x1,x2是特征方程的两个根,当x1x2时,数列an的通项为anAx1n1n1,其中A,B由a1,a2决定(即把a1,a2,x1,x2和Bx2n1n1,2,代入anAx1n1Bx2,得到关于A、B的方程组);当x1x2时,数列an的通项为an(ABn)x1n1,其中A,B由a1,a2决定(即把a1,a2,x1,x2和n1,2,代入。 an(ABn)x1n1,得到关于A、B的方程组)例
13:已知数列an中,a11,a22,an2变式: 21an1an,求an。
33最全的数列通项公式的求法- 6 - 1.已知数列an满足a11,a23,an23an12an(nN*). (I)证明:数列an1an是等比数列;(II)求数列an的通项公式; (III)若数列bn满足4b114b21...4nb1(an1)bn(nN*),证明bn是等差数列 2.已知数列an中,a11,a22,an221an1an,求an 333.已知数列an中,Sn是其前n项和,并且Sn14an2(n1,2,),a11, ⑴设数列bnan12an(n1,2,),求证:数列bn是等比数列; ⑵设数列cnan,(n1,2,),求证:数列cn是等差数列;⑶求数列an的通项公式及前n项和。 n2◆八:特征根法。

1、设已知数列{an}的项满足a1b,an1cand,其中c0,c1,求这个数列的通项公式。作出一个方程xcxd,则当x0a1时,an为常数列,即ana1;当x0a1时,anbnx0,其中{bn}是以c为公比的等比数列,即bnb1cn1,b1a1x0. 2.对于由递推公式an2pan1qan,a1,a2给出的数列an,方程xpxq0,叫做数列2an的特征方程。若x1,x2是特征方程的两个根,当x1x2时,数列an的通项为anAx1n1Bx2n1,其n1n1中A,B由a1,a2决定(即把a1,a2,x1,x2和n1,2,代入anAx1,得到关于A、B的方Bx2n1程组);当x1x2时,数列an的通项为an(ABn)x1,其中A,B由a1,a2决定(即把。 a1,a2,x1,x2和n1,2,代入an(ABn)x1n1,得到关于A、B的方程组)例
14:

(1)已知数列an满足a1a,a2b,3an25an12an0(n0,nN),求数列an的通项公式。 解法一(待定系数——迭加法) 由3an25an12an0,得 2(an1an),且a2a1ba。
32则数列an1an是以ba为首项,为公比的等比数列,于是 32an1an(ba)()n1。
把n1,2,3,,n代入,得 3an2an1最全的数列通项公式的求法- 7 - a2a1ba, 2a3a2(ba)(), 32a4a3(ba)()2, 3 2anan1(ba)()n2。 3把以上各式相加,得 21()n12223ana1(ba)[1()()n2](ba)。 23331322an[33()n1](ba)a3(ab)()n13b2a。 33 解法二(特征根法:这种方法一般不用于解答题):数列an:3an25an12an0(n0,nN), a1a,a2b的特征方程是:3x25x20。
x11,x22n1AB()n1。 anAx1n1Bx23又由a1a,a2b,于是 2, 3aABA3b2a2n1a3b2a3(ab)() 故2n3B3(ab)bAB31313311解:作方程xx2,则x0. 当a14时,a1x0,b1a1. 32221数列{bn}是以为公比的等比数列. 31n1111n133111n1于是bnb1()(),anbn(),nN. 3232223(2).已知数列{an}满足:an1an2,nN,a14,求an. ◆九:不动点法,形如an1panq ranhpanq(其中p、q、r、h均ranh解法:如果数列{an}满足下列条件:已知a1的值且对于nN,都有an1最全的数列通项公式的求法- 8 - 为常数,且phqr,r0,a1hpxq),那么,可作特征方程x,当特征方程有且仅有一根x0时,则rrxh1anx1是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时,则xx是等比数列。 12anx0anx2例
15:已知数列{an}满足性质:对于nN,an1an4,且a13,求{an}的通项公式. 2an3例:已知数列{an}满足:对于nN,都有an113an25. an3

(1)若a15,求an;

(2)若a13,求an;

(3)若a16,求an;

(4)当a1取哪些值时,无穷数列{an}不存在。 变式:(2005,重庆,文,22,本小题满分12分) 数列{an}满足a11且8an1an16an12an50(n1).记bn11an2(n1). (Ⅰ)求b

1、b

2、b

3、b4的值; (Ⅱ)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn. ◆十:换元法:类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种,目的是代换后出现的整体数列具有规律性。
例16 已知数列{an}满足an11(14an124an),a11,求数列{an}的通项公式。 1612(bn1) 24解:令bn124an,则an故an1121(bn11),代入an1(14an124an)得 241612112(bn11)[14(bn1)bn] 241624即4bn1(bn3) 因为bn124an0,故bn1124an10 则2bn1bn3,即bn1可化为bn132213bn, 221(bn3), 2最全的数列通项公式的求法- 9 - 所以{bn3}是以b13124a13124132为首项,以1为公比的等比数列,因此21111bn32()n1()n2,则bn()n23,即124an()n23,得 2222an21n1n1()()。 342313bn形式,22评注:本题解题的关键是通过将124an的换元为bn,使得所给递推关系式转化bn1从而可知数列{bn3}为等比数列,进而求出数列{bn3}的通项公式,最后再求出数列{an}的通项公式。 例18. 已知数列an满足a11an1,an1,求an 。 22解析:设a11an1cos,∵ an1, 232∴ a2cos6,a3cos232,„,ancos2n13 总之,求数列的通项公式,就是将已知数列转化成等差(或等比)数列,从而利用等差(或等比)数列的通项公式求其通项。 ◆十一。双数列 解法:根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。
例19. 已知数列an中,a11;数列bn中,b10。
当n2时, 11an(2an1bn1),bn(an12bn1),求an,bn. 3311解:因anbn(2an1bn1)(an12bn1)an1bn1 33所以anbnan1bn1an2bn2a2b2a1b11 即anbn1„„„„„„„„„„„„„„„„

(1) 111(2an1bn1)(an12bn1)(an1bn1) 3331121n1所以anbn(an1bn1)()an2bn2)„„()(a1b1) 33311()n1.即anbn()n1„„„„„„„„„

(2) 33又因为anbn最全的数列通项公式的求法- 10 - 由

(1)、

(2)得:an 1111[1()n1], bn[1()n1] 2323◆十二、周期型 解法:由递推式计算出前几项,寻找周期。 例
20:若数列an满足an112a,(0a)n6n2,若a1,则a20的值为___________。 72a1,(1a1)nn2变式:(2005,湖南,文,5) 已知数列{an}满足a10,an1an33an1(nN*),则a20= ( ) A.0 B.3 C.3 D.3 2◆十三、分解因式法 当数列的关系式较复杂,可考虑分解因式和约分化为较简形式,再用其它方法求得an. 例21.已知f(x)(x1),g(x)r(x1),(r0,1),数列{an}满足a12,an1(n∈N),且有条件(anan1)g(n1)f(an1)0,求an(n≥2). 解:由得: 43(anan1)r(an11)3(an11)40.即(an11)3[r(anan1)(an11)]0对n∈N,an1,故r(anan1)(an11)0.合并同类项得:anan1r1(an11). rr1n1). ∴an1(r1r1an1,再由待定系数法得:rr◆十四、循环法 数列有形如f(an2,an1,an)0的关系,如果复合数列构不成等差、等比数列,有时可考虑构成循环关系而求出an. 例22..在数列{an}中,a11,a25,an2an1an,求a1998. 最全的数列通项公式的求法- 11 - 解:由条件an3an2an1(an1an)an1an, 即an3an,an6an3an, 即每间隔6项循环一次.1998=6×333, ∴a1998a64. ◆十五、开方法 对有些数列,可先求an或3an,再求an. 例

23、两个数列{an},{bn},它们的每一项都是正整数,且对任意自然数n,an、bn、an1成等差数列,bn、an

1、bn1成等比数列,a11,a23,b12,求an和bn. 2bn=an+an+1,① 解:由条件有: a2n+1=bn·bn+1.② 由②式得:anbn1bn,③ an1bnbn1.④ 把③、④代入①得:2bn变形得bn(bnbn1)∵bn>0,∴bn-bn1bn1bnbnbn1, b(bn1bn). nbn1bn. ∴bn是等差数列.因a11,a23,b12, 99故b2,故b2b122, 22∴bnn2,bn2n2,故anbnbn12n(n1). 小结:除了熟悉以上常见求法以外,对具体的数列进行适当的变形,一边转化为熟知的数列模型更是突破数列通项的关键。做题时要不断总结经验,多加琢磨。
总结方法比做题更重要。方法产生于具体数学内容的学习过程中. 最全的数列通项公式的求法- 12 - 最全的数列通项公式的求法- 13 - 最全的数列通项公式的求法- 14 - 最全的数列通项公式的求法- 15 - 最全的数列通项公式的求法- 16 - 最全的数列通项公式的求法- 17 - 最全的数列通项公式的求法- 18 - 最全的数列通项公式的求法- 19 - 最全的数列通项公式的求法- 20 - 最全的数列通项公式的求法- 21 - 最全的数列通项公式的求法- 22 - 最全的数列通项公式的求法- 23 - 中粮礼品卡 中粮礼品册 kwVl1tzAjRdL 最全的数列通项公式的求法- 24 - 数列 公式。
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