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圆的周长教学片段及反思 圆周长计算公式

教学资源|题库|学习文库-「普洱教育」来源: https://www.puerjy.cn 2020-02-06 08:01公式大全 219 ℃
圆周长计算公式
操作 探究 发展 ——人教版六年级上册“圆的周长” 罗华芹 襄樊市二十中小学部 【教学背景】 《数学课程标准》指出:“教师应激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验。”鉴于此,我在一次校内公开课中选择了《圆的周长》一课执教,旨在通过该课着力培养学生的探究意识和探究能力,让学生经历动手操作、自主发现的知识形成过程。 学生在第一学段已经直观地认识了圆,建立了周长的概念,并会求直线围成的图形的周长,对圆的周长有丰富的感性经验。教材是在学生掌握了长方形、正方形等直线图形周长的基础上,第一次学习曲线图形的周长。圆的周长计算公式并不复杂,但这个公式如何得来,公式中的固定值“∏”是如何来的,都是值得研究的问题。因此,教学时应把重点放在让学生利用实验的手段,通过猜测、验证等探究圆的周长公式。在探究圆的周长计算公式时,最有价值的、最具有思维含金量的地方是让学生经历圆周率的产生过程。由于高年级学生能运用已有的知识经验通过迁移探索发现新知识,并运用新知识解决实际问题。
他们在小组合作的学习环境下,利用自主探究的学习方式,学习的积极性较高,他们善于探究,敢于质疑,敢于发表自己的主张和看法。在此基础上,本案例充分放手让学生经历圆周率的探究过程。
【课堂写真】 片段一:创设情境,揭示课题 播放课件:小黄狗和小灰狗赛跑,小黄狗沿着正方形路线跑,小灰狗沿着圆形路线跑,结果小灰狗获胜。小黄狗看到小灰狗得了第一名,心里很不服气,它说这样的比赛不公平。
师:同学们,你认为这样的比赛公平吗。 生:我觉得不公平。 师:说说你是怎么想的。 1 生:他们跑的路程不一样长。
小黄狗跑的路程是正方形的,小灰狗跑的路程是圆形的。 师:那到底他们的路程是不是一样长呢。你们有什么好办法来判断一下呢。 生:量一量,算一算他们跑的路线就知道了。
师:求小黄狗所跑的路线,实际上就是求这个正方形的什么? 生:正方形的周长。 师:那什么叫正方形的周长呢。 生:围成正方形四条边的长度就叫做正方形的周长。 师:说的不错。
还有谁能说说正方形的周长和什么有关系,有怎样的关系。 生
1:正方形的周长是边长的4倍。

2:正方形的周长=边长×4。 师:那么小灰狗围着圆形路线跑一圈的长度又是圆的什么。
生(齐答):圆的周长。 板书课题:圆的周长 【反思:由小黄狗和小灰狗赛跑的情境入手 ,较好地激发了认知冲突,为后继教学埋下了伏笔。
“同学们,你认为这样的比赛公平吗。说说你是怎么想的。
”这两个问题的提出既包含了对旧知识的回顾,又包含了对新问题的提炼,触及了学生己有的认知领域,有效地唤起了学生对未知的探索欲望,朴素而有效地奏响了知识探索的序曲。
】 片段二:构建圆周长概念 师:请你摸一摸自己手头这些圆的周长。 (生独立触摸,感受体验) 师:究竟什么是圆的周长呢。谁能试着用自己的话说一说。
生1 :在圆中,外面的一圈叫做圆的周长。 生2 :我认为“外面”这个词的意思不够确切,应该说“在圆中,围着的一圈叫做圆的周长。” 生3 :围成圆的一圈,叫做圆的周长。 生4 : 与长方形、正方形相比,圆的周长是一条曲线。所以,我认为圆周长就是“围成圆的曲线的长度”。 2 (课件动态演示圆周长的形成过程,并呈现概念) „„ 【反思:圆周长概念的构建,首先通过触摸圆周长,使学生获得感性认识;接着通过对圆周长概念的个性化描述,引导学生尝试具体表象向抽象提炼之间的转轨。尽管学生在这里的表达显得稚嫩肤浅,但正是这些自然生成的富有个性的思想,恰恰彰显了学生主体意识的流露。有效的触摸体验,充分的理性概括,使圆周长概念的建构过程充分而有效。
】 片段三:探究圆的周长公式

1、操作 师:(指圆)怎样求圆的周长。
下面我们借助学具圆片来研究。大家请看,这是一个圆形纸片,用你手中的工具,有办法知道它的周长吗。请小组同学商量好方法后,再合作求出每个圆片的周长,并把结果记录在实验报告的表格中。 (小组活动,教师巡视) 学生汇报出绕绳法和滚动法,教师用课件动态演示。 师:这两种方法都是把圆的周长这条曲线巧妙的转化成了什么。 生:直线。 师:是直直的线段。在数学学习中,我们经常会用到转化的方法。 (板书:转化)

2、设疑 师:你们已经会用测量的方法求圆片的周长,真棒。
大家请看。 演示一:(课件出示)诸葛亮广场有一个很大的圆形喷泉,请你测量它的周长。 生
1:滚动法不可能,能用绳绕法。

2:没有那么长的绳子,就算有,量起来也太麻烦。 演示二:教师轻轻地拿起一端栓有小白球的线绳,在空中旋转,使小白球划过的痕迹形成一个圆。师边演示边问:要想求这个圆的周长,还能用绳子绕一圈吗。
生:(摇摇头)不能了。 3 师:看来,尽管我们的方法极富创造性,但也存在着一定的局限性。那么,该怎么办呢。
生:计算长方形、正方形的周长都有公式。如果我们可以找到一个计算圆周长的公式,那就好了。 【反思:这两个环节的设计很好地体现了“探索性”与“人文性”的统一:一方面,通过小组合作式的测量活动,使学生自主创造出“缠绕法”和“滚动法”两种测量圆周长的方法,既丰富了学生的课堂活动阅历,又形成了必要的探索能力;另一方面,通过对两种测量方法的有意反思和自由评价,使学生辩证性地感受到了“缠绕”、“滚动”方法的局限性,激发其探索“计算公式”的前强烈欲望,为深入研究圆周长的计算问题作好了“心理”铺垫。】

3、实验猜测 教师将一端分别系上小球(一个白球,一个黄球)的两条绳子同时在空中旋转,使两个小球经过的轨迹形成大小不同的两个圆。 师:这两个圆有什么不同。

1:大小不同。 生
2:周长不同。 师:圆的周长由什么决定的呢。 生:是由老师手中的那条绳子决定的。
绳子短,周长短。绳子长,周长长。 师:请认真观察,(再演示)这条绳子是这个圆的什么。 生:是这个圆的半径。
师:长方形的周长与长、宽有关,正方形的周长与边长有关,那么,请你大胆猜想,圆的周长与什么有关呢。 生1 :直径。 生2 :半径。 生3 :直径或半径。


4、探究规律 师:究竟圆周长与直径或半径有没有关系呢。
如果有,又存在着怎样的关系呢。
下面,我们就来研究这个问题。小组合作,请测量出手中那些圆片的直径,并继续完成实验报告。
4 (小组合作、汇报交流,教师板书形成以下实验报告) 圆的直径与周长关系的实验报告(单位:毫米) 圆的名称 ① ② ③ ④ ⑤ 圆的周长(厘米) 圆的直径(厘米) 9.4 31.1 47.2 25.1 12.6 3 10 15 8 4 师:认真观察表格,你发现什么。 生1 :直径最短的圆形,周长最短;直径最长的圆形,周长最长。

2:一个圆的直径越长,周长就越长;直径越短,周长就越短。
师:看来,周长和直径还真的存在着密切的联系。那么圆的周长与直径会存在什么关系呢。再猜猜看。
生:我们知道正方形的周长是边长的4 倍,那么,圆的周长和直径可能也存在这种倍数关系。 师:圆的周长和直径是否也存在一定的倍数关系呢。请同学们试着计算,看看会有什么发现。 (学生计算,汇报交流,教师板书形成如下数据) 圆的直径与周长关系的实验报告(单位:毫米) 圆的名称 ① ② ③ ④ ⑤ 圆的周长(厘米) 圆的直径(厘米) 圆的周长是直径的几倍 9.4 31.5 47.2 25.1 12.6 3 10 15 8 4 3.13 3.15 3.15 3.14 3.15 师:再次观察表格内容,你又有什么新的发现。 生1 :我发现周长与直径的倍数都是3 倍多一些。 生2 :我发现这个倍数在3.15左右。
5 „„ 【反思:使学生经历知识的产生与形成过程非常重要。在“提出问题—猜测—验证—形成结论”的过程中,学生对知识的理解更加透彻,情感、态度、价值观的培养更加有效。


5、引入圆周率∏ 师:其实,关于圆周长和直径之间的这种关系,人们在一千多年前就开始研究了。通过研究发现,任何一个圆的周长与直径的比值都是一个固定的值。
我们没有算出固定的值,是由于测量中出现了不可避免的误差,人们把这个固定的值,称为“圆周率”,用字母“∏”表示。 (板书:∏) 师:一起读。(板书:pai) 师:究竟“∏”的值是多少。又是谁最早发明的。请同学们自己查阅课本中的相关内容。
(学生自学课本) 师:看书后,你知道了一些什么。

1:“∏”是一个无限不循环小数,它的大小位于3.1415926-3.1415927 之间; 生2 :圆周率是我国古代的数学家祖冲之首先发现的,比西方早两千多年; 生3 :为了计算方便,我们通常取“∏”值为3.14 。 师:现在,你明白周长与直径之间的倍数关系了吗。

1:周长是直径的∏倍; 生2 :周长大约是直径的3.14 倍。 师:根据这种倍数关系,你认为可以怎样计算圆的周长呢。

1:因为周长大约是直径的∏倍,所以周长=∏d 。
生2 :因为直径是半径的2 倍,所以周长就是半径的2 ∏倍,所以周长=2∏r 。 „„ 【反思:尽管这部分内容的教学没有实践操作和合作讨论,但学生对圆周率知识的课本阅读、圆周长计算公式的顺势推导却无一不是学生主体性的尽情挥洒。 6 这部分教学的“静”, 与前段教学的“动”相得益彰,互为衬托,形成了一 种“美”的课堂氛围。】 片段四:照应启思,拓展延伸 (课件回放开头赛跑情境) 师:现在你们能说一说,为什么小黄狗跑得路线长了吗。 生:小黄狗跑得是正方形路线,小灰狗跑得是圆形路线。
正方形的周长C=4a,圆的周长C=∏d,而正方形的边长就是圆的直径,a=d,所以4a>∏d。 师:如果知道正方形路线长40米,那么圆形路线的长是多少。
(生汇报思考过程) 师:(课件)现在,小黄狗沿着大圆跑一圈,小灰狗沿着两个小圆"∞" 的路线跑一圈,谁跑的路程多呢?请同学们课后思考。 【反思:前有孕伏,后有照应,有一种圆融的美。
课后思考题仍是同一情境,使整节课浑然一体,课已尽而思未完。】
【分析研究】 数学知识的探索,是一个外在的研究过程,它贯穿于课堂教学的始终。《数学课程标准》明确指出:“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式,数学学习活动应当是一个生动活泼、主动探索和富有个性的过程。
”也就是说,学生学习数学并非单纯的依赖模仿和记忆,数学学习过程实质是上学生主体富有思考性的探索过程。
所以,数学知识的探索轨迹,作为学生是否主动参与的标志,展现于课堂教学的全过程。
在上面的案例中,研究课题“圆的周长”的引出,来自于学生知识反思和自主猜想;“圆周长意义”的理解,立足于学生的亲身体验和自由表达;“圆周长公式”的建构,则是借助学生主体的猜测、测量、计算、自学、推导、论证等充分的实践活动展开的。
可以说,每个知识点的发现,都是学生自主探索的成果,而不是学生被动接受的结论。探究,作为学生学习数学的重要方式,在本节课的教学中主要从两个途径得到最大化体现:一是合理猜想,二是小心验证。

1、合理猜想──有效探究的前提。猜想是人们依据事实、凭借直觉所做出的推测,是一种创造性的思维活动。
纵观数学发展历史,很多著名的数学结论都是从猜想开始的。伟大的数学家高斯指出的:“若无某种大胆放肆地猜想,一般是不 7 可能有知识的进展的。
”数学方法理论的倡导者波亚利对数学猜想有过这样的描述:“在数学的领域中,猜想是合理的、值得尊重的、是负责任的态度。”他认为,在有些情况下,教猜想比教证明更为重要。
所以,教会学生学会数学猜想就显得尤其重要。本节课,我引导学生进行了两次合理猜想。一是猜想圆的周长与直径或半径有关,是通过直觉观察引发的。二是猜想圆的周长与直径有倍数关系,是根据正方形的周长与边长的关系而类比产生的。
合理的猜想科学地定位了探究的思路,提高了课堂的实效。学生在猜想过程中,新旧知识的碰撞,激发智慧的火花,思维有了很大的跳跃,提高了数感,发展了推理能力,锻炼了数学思维。


2、小心验证──科学归纳的保证。美妙的猜想,只有经过科学的验证,才能彰显智慧的光环。为了提高探究的效率,验证时往往要融入讨论、实验、计算、观察、归纳和概括于一体,教者应留给学生足够的时间,充分解放学生的脑、手、眼、口等多种感官参与探究过程。要在鼓励学生发表独特见解的基础上,善于找到结论的相似之处进行归纳。
小心验证,还要讲求实事求是。尊重学生研究的结果,要正确处理好研究结果与科学的结论之间的差距,不能简单地否定学生研究的结果,挫伤学生的积极性。本节课探究圆的周长与直径的倍数关系,学生运用“化曲为直”的方法测量圆的周长,算出周长与直径的比值。由于测量的误差,学生只能计算出圆的周长是直径的3倍多一些。
我遵循实际,肯定学生验证的真实性。课堂上教师实事求是的科学态度,会进一步激发学生探究的热情,同时这种科学态度对学生终身的影响也是不可估量的。
借此案例,我想诠释着这样的一种理念:当把课堂的主动权交给了学生,给学生充分的探究空间,我们的学生才会获得更多的发展,我们的课堂才会更精彩。
【资料链接】

1、《数学课程标准》指出:“教师应激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验。”

2、《数学课程标准》明确指出:“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式,数学学习活动应当是一个生动活泼、主动探索和富有个性的过程。
” 8 圆周长计算公式。

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