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椭圆周长公式的推导 圆周长计算公式

教学资源|题库|学习文库-「普洱教育」来源: https://www.puerjy.cn 2020-02-06 07:57公式大全 106 ℃
圆周长计算公式
椭圆周长 椭圆是个不怎么完美的图形,因为它的面积有确切公式可以计算,但其周长却不能“精确”的计算出来,经过数学家的计算与证明,最终得出椭圆周长没有精确的初等公式,但可以用椭圆积分的级数形式表示。下面对椭圆周长进行的计算,原理很简单,但计算过程可能很复杂。
在平面坐标系内 x2y2椭圆的标准方程为 221,a0,b0. ab参数方程为 xacos,ybsin,02 当ab时,椭圆图像为 微积分是个好工具,他帮人类解决了很多复杂问题。
这里椭圆周长的计算需要用到定积分的知识。 若某条光滑曲线,能用参数方程表示 xXt,yYt 当t时,该段曲线的长度L可表示为 LX'tY'tdt 22下面借此公式来计算椭圆的周长,由于椭圆关于坐标原点对称,计算起来比较方便。设椭圆周长为L,则 L420a2sin2b2cos2da21cos2b2cos2d4204a201e2cos2d 1 „„„„„„„○a2b2c,椭圆的离心率。 其中e2aa这个积分很难求出来,需要用一定的技巧:先用泰勒公式把1e2cos2展开。 1xk21kxkk12k(k1)(k2)3xx„„ 2。3。
当k1时,可得 x11x12n2n12n3。。xn2nn。 22在此式中令xecos可得 222n2necos2n3。。ecos221ecos1 n22n。n22 „„„„„○其中2n1。。1352n1 2式代入○1式周长L的计算试中后,那个复杂的定积把○分便能迎刃而解了,所以 222n2necos2n3。。ecos2L4a1dn022n。
n2e24a22 2n2n3。
。e22cosdn02n。n220cosd2n3 „„„„„○这个式子还是很复杂,需要把中括号部分进行化简变换一下。
先求出 1352n1cosd2462n2 2n1。
。n22n。202n4 „„„„„„○4式代入○3式,周长L就能很快得出来了。
于是 把○e211352n32n1enL4a2n2222n22n12n。2222n1352n1e2a12462n2n1n122n1。
。e2n2a12n。。2n1n1 这就是椭圆周长的公式,既著名的“项名达公式”,相当的复杂,这应该是最精确的了,另外还有很多的近似公式,不过误差太大,但可以满足工程上的应用。现在科技如此发达,有一些数学软件可以计算出椭圆周长,而且结果相当的准确。计算原理就是定积分的应用,但这个积分不容易求出来,需要有一定的数学能力,有一定的耐心,以及对泰勒公式的应用要求较高。
对周长级数形式L进行展开得 12e213e4135e61357e8L2a1212432465246875 „„„„„○abea其中为半长轴,a222为椭圆的离心率。 x2y2例如,当椭圆方程为25161时,a5,b4,e3 5则周长为 122132e41352e613572e8L2a1e243246524687228.36 另外有些近似公式作的也很好,例如 3Labab2 5式近似计算来的,计算精度还行,推导其实它是根据○过程有点复杂。
椭圆周长的计算方法有很多,这只是其中一种而已,但得到的结果都不“完美”,任然需要科学爱好者努力攻克这个小小的问题。
当今尚无标准的椭圆周长计算公式是基础科学中的遗憾之一,现在科学中所使用的椭圆周长都是近似值, 这也是科学的遗憾之一,所以研究椭圆周长计算公式是十分有意义的。
认为一个公式的对与错,既有意义也没有意义,因为科学是发展的,科学是循序渐进的过程。科学探索的过程是寂寞而愉快的,但我们要认识到今天的正确不代表明天的正确,如果没有这样的观念,科学也就难于进步。 圆周长计算公式。

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