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长郡中学理实班自主招生考试数学试卷 自主招生高中试题

教学资源|题库|学习文库-「普洱教育」来源: https://www.puerjy.cn 2020-02-06 03:46理科试题 576191 ℃
自主招生高中试题
2015年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷 一、选择题:本题有6小题,每小题5分,共30分. 1.(5分)方程(x2+x﹣1)x+3=1的所有整数解的个数是( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 2.(5分)如图,已知等边△ABC外有一点P,P落在∠BAC内,设P到BC、CA、AB的距离分别为h1,h2,h3,满足h2+h3﹣h1=6,那么等边△ABC的面积为( ) A.4 B.8 C.9 D.12 3.(5分)若﹣1<a<0,则A.最小,a3最大 B.最小,a最大 最大 一定是( ) C.最小,a最大 D.最小,4.(5分)如图,将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°,得△ABF,连接EF交AB于H,则下列结论错误的是( ) A.AE⊥AF B.EF:AF=:1 C.AF2=FH•FE D.FB:FC=HB:EC 5.(5分)在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且CD与BE相交于点F,已知△BDF的面积为10,△BCF的面积为20,△CEF的面积为16,则四边形区域ADFE的面积等于( ) A.22 B.24 C.36 D.44 6.(5分)某医院内科病房有护士15人,每2人一班,轮流值班,每8小时换班一次,某两人同值一班后,到下次两人再同班,最长需要的天数是( ) A.30 B.35 C.56 D.448 二、填空题:本题有6小题,每小题5分,共30分. 7.(5分)若4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A=0,则tanA= . 8.(5分)在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后,A船以每小时12海浬的速度往南航行,B船则以每小时3海浬的速度向北漂流.则经过 小时后,观测站及A、B两船恰成一个直角三角形. 9.(5分)如图,在坐标平面上,沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形,其长、宽分别为
4、2,则通过A,B,C三点的拋物线对应的函数关系式是 . 10.(5分)桌面上有大小两颗球,相互靠在一起.已知大球的半径为20cm,小球半径5cm,则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 cm. 11.(5分)物质A与物质B分别由点A(2,0)同时出发,沿正方形BCDE的周界做环绕运动,物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动,物质B按顺时针方向,以2单位/秒等速运动,则两个物质运动后的第2015次相遇地点的坐标是 . 12.(5分)设C1,C2,C3,…为一群圆,其作法如下:C1是半径为a的圆,在C1的圆内作四个相等的圆C2(如图),每个圆C2和圆C1都内切,且相邻的两个圆C2均外切,再在每一个圆C2中,用同样的方法作四个相等的圆C3,依此类推作出C4,C5,C6,…,则
(1)圆C2的半径长等于 (用a表示);
(2)圆Ck的半径为 (k为正整数,用a表示,不必证明) 三、解答题:本题有4个小题,共60分. 13.(12分)如图,四边形ABCD内接于圆O,且AD是圆O的直径,DC与AB的延长线相交于E点,OC∥AB.
(1)求证:AD=AE;
(2)若OC=AB=4,求△BCE的面积. 14.(14分)已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M,
(1)求证抛物线与x轴必有两个不同交点;
(2)设抛物线与x轴的交点分别为A,B,求实数p的值使△ABM面积达到最小. 15.(16分)某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表: 胜一场 平一场 负一场 3 1500 1 700 0 0 积分 奖励(元/每人) 当比赛进行到12轮结束(每队均要比赛12场)时,A队共积19分.
(1)试判断A队胜、平、负各几场。

(2)若每一场每名参赛队员均得出场费500元,设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W(元),试求W的最大值. 16.(18分)已知:矩形ABCD(字母顺序如图)的边长AB=3,AD=2,将此矩形放在平面直角坐标系xOy中,使AB在x轴正半轴上,而矩形的其它两个顶点在第一象限,且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个.

(1)求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标;

(2)以AB为直径作⊙M,经过A、B两点的抛物线,y=ax2+bx+c的顶点是P点. ①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部,求a的取值范围; ②过点C作⊙M的切线交AD于F点,当PF∥AB时,试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x﹣1的上方。还是下方。还是正好落在此直线上。
并说明理由. 2015年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题:本题有6小题,每小题5分,共30分. 1.(5分)(2015•天心区校级自主招生)方程(x2+x﹣1)x+3=1的所有整数解的个数是( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
【分析】方程的右边是1,有三种可能,需要分类讨论. 第1种可能:指数为0,底数不为0; 第2种可能:底数为1; 第3种可能:底数为﹣1,指数为偶数.
【解答】解:

(1)当x+3=0,x2+x﹣1≠0时,解得x=﹣3;

(2)当x2+x﹣1=1时,解得x=﹣2或1.

(3)当x2+x﹣1=﹣1,x+3为偶数时,解得x=﹣1 因而原方程所有整数解是﹣3,﹣2,1,﹣1共4个. 故选B.
【点评】本题考查了:a0=1(a是不为0的任意数)以及1的任何次方都等于1.本题容易遗漏第3种可能情况而导致误选C,需特别注意. 2.(5分)(2015•天心区校级自主招生)如图,已知等边△ABC外有一点P,P落在∠BAC内,设P到BC、CA、AB的距离分别为h1,h2,h3,满足h2+h3﹣h1=6,那么等边△ABC的面积为( ) A.4 B.8 C.9 D.12
【分析】先设等边三角形ABC的边长为a,连接PA、PB、PC,根据S△PAB+S△PAC﹣S△PCB=S△CAB,得出ah1+ah2﹣ah3=即可得到等边△ABC的面积.
【解答】解:设等边三角形ABC的边长为a,连接PA、PB、PC,则 S△PAB+S△PAC﹣S△PCB=S△CAB, 即ah1+ah2﹣ah3=∴a(h2+h3﹣h1)=∵h2+h3﹣h1=6, ∴a=4∴S△CAB=故选(D). , =12, , , ,再根据h2+h3﹣h1=6,求得a=4
【点评】本题主要考查了等边三角形面积的计算,等边三角形高线长与边长之间的关系.根据等边三角形的高计算等边三角形的面积是解决问题的关键. 3.(5分)(2015•天心区校级自主招生)若﹣1<a<0,则是( ) A.最小,a3最大 B.最小,a最大 最大 一定C.最小,a最大 D.最小,
【分析】在所给范围内选择一个具体的数,代入后比较即可.
【解答】解:∵若﹣1<a<0, ∴a可取﹣0.001, 那么a3=﹣0.000 000 001, =﹣0.1, =﹣1000, ∴最小,a3最大, 故选A.
【点评】考查实数的大小比较;选择一个合适的具体的数,代入所给代数式比较,可以简化比较的步骤. 4.(5分)(2001•黑龙江)如图,将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°,得△ABF,连接EF交AB于H,则下列结论错误的是( ) A.AE⊥AF B.EF:AF=:1 C.AF2=FH•FE D.FB:FC=HB:EC
【分析】由旋转得到△AFB≌△AED,根据相似三角对应边的比等于相似比,即可求得.
【解答】解:由题意知,△AFB≌△AED ∴AF=AE,∠FAB=∠EAD,∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°. ∴AE⊥AF,所以A正确; ∴△AEF是等腰直角三角形,有EF:AF=∵HB∥EC, ∴△FBH∽△FCE, ∴FB:FC=HB:EC,所以D正确. ∵△AEF与△AHF不相似, ∴AF2=FH•FE不正确. 故选:C.
【点评】本题利用了正方形的性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质求解. :1,所以B正确; 5.(5分)(2015•天心区校级自主招生)在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且CD与BE相交于点F,已知△BDF的面积为10,△BCF的面积为20,△CEF的面积为16,则四边形区域ADFE的面积等于( ) A.22 B.24 C.36 D.44
【分析】可设S△ADF=m,根据题中条件可得出三角形的面积与边长之间的关系,进而用m表示出△AEF,求出m的值,进而可得四边形的面积.
【解答】解:如图,连AF,设S△ADF=m, ∵S△BDF:S△BCF=
10:20=
1:2=DF:CF, 则有2m=S△AEF+S△EFC, S△AEF=2m﹣16, 而S△BFC:S△EFC=
20:16=
5:4=BF:EF, 又∵S△ABF:S△AEF=BF:EF=
5:4, 而S△ABF=m+S△BDF=m+10, ∴S△ABF:S△AEF=BF:EF=
5:4=(m+10):(2m﹣16), 解得m=20. S△AEF=2×20﹣16=24, SADEF=S△AEF+S△ADF=24+20=44. 故选D.
【点评】本题主要考查了三角形的面积计算问题,能够利用三角形的性质进行一些简单的计算. 6.(5分)(2015•天心区校级自主招生)某医院内科病房有护士15人,每2人一班,轮流值班,每8小时换班一次,某两人同值一班后,到下次两人再同班,最长需要的天数是( ) A.30 B.35 C.56 D.448
【分析】此题可运用排列组合解答,15人,每2人一班,轮流值班,则有C152=105种组合,一天是24小时,8小时1班,24除以3=每天3个班 再用105除以3=35天.
【解答】解:由已知护士15人,每2人一班,轮流值班, 得:有C152=105种组合, 又已知每8小时换班一次,某两人同值一班后,到下次两人再同班, 所以最长需要的天数是105÷(24÷8)=35(天). 故选:B.
【点评】此题考查的知识点是整数问题的综合运用,关键是先求出15人,每2人一班有多少种组合,再由每8小时换班一次,某两人同值一班后,到下次两人再同班求出最长需要的天数. 二、填空题:本题有6小题,每小题5分,共30分. 7.(5分)(2015•天心区校级自主招生)若4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A=0,则tanA= .
【分析】先解一元二次方程,再根据锐角三角函数的定义得出即可.
【解答】解:4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A=0, (2sinA﹣cosA)2=0, 2sinA﹣cosA=0, 2sinA=cosA, tanA==, 故答案为:
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和解一元二次方程等知识点,比较简单,注意锐角三角函数定义的掌握. 8.(5分)(2015•天心区校级自主招生)在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后,A船以每小时12海浬的速度往南航行,B船则以每小时3海浬的速度向北漂流.则经过 2 小时后,观测站及A、B两船恰成一个直角三角形.
【分析】根据题意画出图形,设经过x小时后,观测站及A、B两船恰成一个直角三角形,在Rt△OBC、Rt△OCA和Rt△ABO中分别应用勾股定理,即可求出x的值.
【解答】解:如下图所示, 设经过x小时后,观测站及A、B两船恰成一个直角三角形, 则BC=3x,AC=12x, 在Rt△OBC中,根据勾股定理得:122+(3x)2=OB2; 在Rt△OCA中,根据勾股定理得:122+(12x)2=AO2; 在Rt△ABO中,根据勾股定理得:OB2+AO2=AB2=(15x)2; ∴122+(3x)2+122+(12x)2=(15x)2, 解得:x=2或﹣2(舍去). 即经过2小时后,观测站及A、B两船恰成一个直角三角形. 故答案为:2.
【点评】本题考查勾股定理的实际应用,难度适中,先根据题意画出图形是解题关键. 9.(5分)(2015•天心区校级自主招生)如图,在坐标平面上,沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形,其长、宽分别为

4、2,则通过A,B,C三点的拋物线对应的函数关系式是 y=﹣x2﹣x+ .
【分析】根据矩形的性质,利用矩形边长得出A,B,C三点的坐标,再利用待定系数法求出二次函数解析式即可.
【解答】解:∵沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形,其长、宽分别为

4、2, ∴A点的坐标为:(﹣4,2),B点的坐标为:(﹣2,6),C点的坐标为:(2,4), 将A,B,C代入y=ax2+bx+c, , 解得:, ∴二次函数解析式为:y=﹣故答案为:y=﹣x2﹣x+x2﹣x+. .
【点评】此题主要考查了矩形的性质以及待定系数法求二次函数解析式,根据矩形边长得出A,B,C三点坐标是解决问题的关键. 10.(5分)(2015•天心区校级自主招生)桌面上有大小两颗球,相互靠在一起.已知大球的半径为20cm,小球半径5cm,则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 20 cm.
【分析】首先根据题意作图,可得:⊙A与⊙B外切,⊙A,⊙B与CD分别相切于C,D,AC=20cm,BD=5cm,然后过点B作BE⊥AC,又由切线的性质,即可得四边形ECDB是矩形,则在Rt△AEB中,即可求得BE的长,即可求得这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离CD的长.
【解答】解:如图,根据题意得:⊙A与⊙B外切,⊙A,⊙B与CD分别相切于C,D,AC=20cm,BD=5cm, ∴AB=25cm,AC⊥CD,BD⊥CD, ∴∠ACD=∠BDC=90°, 过点B作BE⊥AC, ∴∠BEC=90°, ∴四边形ECDB是矩形, ∴BE=CD,EC=BD=5cm, ∴AE=AC﹣EC=15cm, 在Rt△AEB中,BE=∴CD=20cm. 故答案为:20. ==20(cm),
【点评】此题考查了外切两圆的性质,切线的性质,以及矩形的性质等知识.此题综合性较强,难度适中,解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法. 11.(5分)(2015•天心区校级自主招生)物质A与物质B分别由点A(2,0)同时出发,沿正方形BCDE的周界做环绕运动,物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动,物质B按顺时针方向,以2单位/秒等速运动,则两个物质运动后的第2015次相遇地点的坐标是 (﹣,﹣2) .
【分析】此题利用行程问题中的相遇问题,由于正方形的边长为4,物质B是物质A的速度的2倍,求得每一次相遇的地点,找出规律即可解答.
【解答】解:正方形的边长为4,因为物质B是物质A的速度的2倍,时间相同,物质A与物质B的路程比为
1:2,由题意知: ①第一次相遇物质A与物质B行的路程和为16×1,物质A行的路程为16×=,物质B行的路程为16×=,在BC边相遇; ②第二次相遇物质A与物质B行的路程和为16×2,物质A行的路程为16×2×=,物质B行的路程为16×2×=,在DE边相遇; ③第三次相遇物质A与物质B行的路程和为16×3,物质A行的路程为16×3×=16,物质B行的路程为16×3×=32,在A点相遇; ④第四次相遇物质A与物质B行的路程和为16×4,物质A行的路程为16×4×=,物质B行的路程为16×4×=,在BC边相遇; ⑤第五次相遇物质A与物质B行的路程和为16×5,物质A行的路程为16×5×=… 综上可得相遇三次一个循环, 因为2015=3×671+2,即第2015次相遇和第二次相遇的地点相同,所以它们第2015次相遇在边DE上,点的坐标是 (﹣,﹣2). 故答案为:(﹣,﹣2).
【点评】此题属于应用类问题,主要考查行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用,通过计算发现规律就可以解决问题,难度较大. 12.(5分)(2015•天心区校级自主招生)设C1,C2,C3,…为一群圆,其作法如下:C1是半径为a的圆,在C1的圆内作四个相等的圆C2(如图),每个圆C2和圆C1都内切,且相邻的两个圆C2均外切,再在每一个圆C2中,用同样的方法作四个相等的圆C3,依此类推作出C4,C5,C6,…,则

(1)圆C2的半径长等于 (用a表示); ,物质B行的路程为16×5×=,在DE边相遇;

(2)圆Ck的半径为 (﹣1 )k1 a (k为正整数,用a表示,不必证明) ﹣
【分析】

(1)连接AB、BC、CD、AD,AC,设小圆的半径是r,根据圆与圆相切,得到AC=2a﹣2r,根据正方形的性质和勾股定理得到AC=22r=2r,求出即可; ﹣1)a,r3=(﹣1)r=a,r4=,得出圆Ckr,推出方程2a﹣

(2)求出r=(的半径为rk=(﹣1 )k﹣1 a即可.
【解答】

(1)解:连接AB、BC、CD、AD,AC, 设小圆的半径是r, 根据圆与圆相切, ∴AC=2a﹣2r, ∴四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC,∠B=90°, 由勾股定理得:AC=2∴2a﹣2r=2解得:r=(故答案为:( r, r, ﹣1)a, ﹣1)a.

(2)解:由

(1)得:r=(同理圆C3的半径是r3=(C4的半径是r4=… 圆Ck的半径为rk=(故答案为:rk=(, ﹣1)a, ﹣1)r=a, ﹣1 )k﹣1 a, ﹣1 )k﹣1 a.
【点评】本题主要考查对正方形的性质和判定,勾股定理,相切两圆的性质等知识点的理解和掌握,能根据计算结果得出规律是解此题的关键. 三、解答题:本题有4个小题,共60分. 13.(12分)(2015•天心区校级自主招生)如图,四边形ABCD内接于圆O,且AD是圆O的直径,DC与AB的延长线相交于E点,OC∥AB.

(1)求证:AD=AE;

(2)若OC=AB=4,求△BCE的面积.
【分析】

(1)根据O为AD中点,OC∥AE,得到2OC=AE,再根据AD是圆O的直径,得到2OC=AD,从而得到AD=AE;

(2)根据平行四边形的性质得到BC∥AD,再根据C为中点,得到AB=BE=4,从而求得BC=BE=4,然后连接BD,得到∠DBE=90°,进而得到BE=BC=CE=4,然后求面积即可.
【解答】(本小题满分12分) 解:

(1)∵O为AD中点,OC∥AE, ∴2OC=AE, 又∵AD是圆O的直径, ∴2OC=AD, ∴AD=AE.

(2)由条件得ABCO是平行四边形, ∴BC∥AD, 又C为中点,∴AB=BE=4, ∵AD=AE, ∴BC=BE=4, 连接BD,∵点B在圆O上, ∴∠DBE=90°, ∴CE=BC=4, 即BE=BC=CE=4, ∴所求面积为4.
【点评】本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质及判定,解题的关键正确的应用圆周角定理. 14.(14分)(2015•天心区校级自主招生)已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M,

(1)求证抛物线与x轴必有两个不同交点;

(2)设抛物线与x轴的交点分别为A,B,求实数p的值使△ABM面积达到最小.
【分析】

(1)先判断出△的符号即可得出结论;

(2)设A(x1,0),B(x2,0),利用两点间的距离公式即可得出|AB|的表达式,设顶点M(a,b),再把原式化为顶点式的形式,即可得到b=﹣(p﹣1)2﹣1,根据二次函数的最值及三角形的面积公式即可解答.
【解答】解:

(1)∵△=4p2﹣8p+8=4(p﹣1)2+4>0, ∴抛物线与x轴必有两个不同交点.

(2)设A(x1,0),B(x2,0), 则|AB|2=|x2﹣x1|2=(x1+x2)2﹣4x1x2=4p2﹣8p+8=4(p﹣1)2+4, ∴|AB|=2. 又设顶点M(a,b),由y=(x+p)2﹣(p﹣1)2﹣1. 得b=﹣(p﹣1)2﹣1. 当p=1时,|b|及|AB|均取最小,此时S△ABM=|AB||b|取最小值1.
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题,涉及到的知识点为:根的判别式、两点间的距离公式、二次函数的顶点式及三角形的面积,熟知以上知识是解答此题的关键. 15.(16分)(2015•天心区校级自主招生)某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表: 胜一场 平一场 负一场 3 1500 1 700 0 0 积分 奖励(元/每人) 当比赛进行到12轮结束(每队均要比赛12场)时,A队共积19分.

(1)试判断A队胜、平、负各几场。

(2)若每一场每名参赛队员均得出场费500元,设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W(元),试求W的最大值.
【分析】

(1)首先假设A队胜x场,平y场,负z场,得出x+y+z=12,3x+y=19,即可得出y,z与x的关系,再利用x≥0,y≥0,z≥0,得出即可;

(2)根据图表奖金与出场费得出W=(1500+500)x+(700+500)y+500z,进而得出即可.
【解答】解:

(1)设A队胜x场,平y场,负z场, 得可得:, 依题意,知x≥0,y≥0,z≥0,且x、y、z均为整数, ∴ 解得:≤x≤, ∴x可取

4、

5、6 ∴A队胜、平、负的场数有三种情况: 当x=4时,y=7,z=1; 当x=5时,y=4,z=3; 当x=6时,y=1,z=5.

(2)∵W=(1500+500)x+(700+500)y+500z=﹣600x+19300 当x=4时,W最大,W最大值=﹣600×4+19300=16900(元) 答:W的最大值为16900元.
【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式组的应用等知识,利用已知得出x+y+z=12,3x+y=19,进而得出y,z与x的关系是解题关键. 16.(18分)(2015•天心区校级自主招生)已知:矩形ABCD(字母顺序如图)的边长AB=3,AD=2,将此矩形放在平面直角坐标系xOy中,使AB在x轴正半轴上,而矩形的其它两个顶点在第一象限,且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个.

(1)求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标;

(2)以AB为直径作⊙M,经过A、B两点的抛物线,y=ax2+bx+c的顶点是P点. ①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部,求a的取值范围; ②过点C作⊙M的切线交AD于F点,当PF∥AB时,试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x﹣1的上方。还是下方。还是正好落在此直线上。
并说明理由.
【分析】

(1)首先建立平面直角坐标系,由矩形ABCD中,AB=3,AD=2,设A(m,0)(m>0),则有B(m+3,0);C(m+3,2),D(m,2);然后若C点过y=x﹣1与C点不过y=x﹣1分析,即可求得矩形的顶点A、B、C、D的坐标;

(2)⊙M以AB为直径,即可求得M点的坐标,又由y=ax2+bx+c过A(2,0)和B(5,0)两点,利用待定系数法即可求得二次函数的图象,然后顶点同时在⊙M外侧和在矩形ABCD内部,即可求得a的取值范围; ②首先设切线CF与⊙M相切于Q,交AD于F,设AF=n,n>0;由AD、BC、CF均为⊙M切线,求得CF与DF的长;在Rt△DCF中,由勾股定理求得n的值,可得F的坐标,然后由当PF∥AB时,求得抛物线的解析式与抛物线与y轴的交点Q的坐标,则可得Q在直线y=x﹣1下方.
【解答】解:

(1)如图,建立平面直角坐标系, ∵矩形ABCD中,AB=3,AD=2, 设A(m,0)(m>0),则有B(m+3,0);C(m+3,2),D(m,2); 若C点过y=x﹣1;则2=(m+3)﹣1, m=﹣1与m>0不合; ∴C点不过y=x﹣1; 若点D过y=x﹣1,则2=m﹣1,m=2, ∴A(2,0),B(5,0),C(5,2),D(2,2);

(2)①∵⊙M以AB为直径, ∴M(,0), 由于y=ax2+bx+c过A(2,0)和B(5,0)两点, ∴∴, , ∴y=ax2﹣7ax+10a (也可得:y=a(x﹣2)(x﹣5)=a(x2﹣7x+10)=ax2﹣7ax+10a) ∴y=a(x﹣)2﹣a; ∴抛物线顶点P(,﹣a) ∵顶点同时在⊙M外侧和在矩形ABCD内部, ∴<﹣a<2, ∴﹣<a<﹣. ②设切线CF与⊙M相切于Q,交AD于F,设AF=n,n>0; ∵AD、BC、CF均为⊙M切线, ∴AF=QF,CQ=BC=2, ∴CF=n+2,DF=2﹣n;在Rt△DCF中, ∵DF2+DC2=CF2; ∴32+(2﹣n)2=(n+2)2, ∴n=, ∴F(2,) ∴当PF∥AB时,P点纵坐标为; ∴﹣a=, ∴a=﹣; ∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+x﹣5, 抛物线与y轴的交点为Q(0,﹣5), 又直线y=x﹣1与y轴交点(0,﹣1); ∴Q在直线y=x﹣1下方.
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式,矩形的性质,勾股定理的应用以及点与函数的关系等知识.此题综合性很强,难度较大,解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用. 参与本试卷答题和审题的老师有:733599;zhjh;szl;lanchong;郝老师;nhx600;马兴田;zjx111;cair。;gbl210;zcx;弯弯的小河;sjzx;ZJX(排名不分先后) 菁优网 2017年6月26日 自主招生高中试题。
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