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2012年华约自主招生数学试题 自主招生高中试题

教学资源|题库|学习文库-「普洱教育」来源: https://www.puerjy.cn 2020-02-06 03:45理科试题 806272 ℃
自主招生高中试题
2012年高水平大学自主选拔学业能力测试(华约) 数 学 注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1、在锐角ABC中,已知A>B>C,则cosB的取值范围为( ) (A) 0,2 (B) 212 (C) 0,1 (D) ,2222,1 

2、红蓝两色车、马、炮棋子各一枚,将这6枚棋子排成一列,其中每对同字的棋子中,均为红棋子在前,蓝棋子在后,满足这种条件的不同的排列方式共有( ) (A) 36种 (B) 60种 (C) 90种 (D)120种

3、正四棱锥SABCD中,侧棱与底面所成角为,侧面与底面所成二面角为,侧棱SB与底面正方形ABCD的对角线AC所成角为,相邻两侧面所成二面角为, 则,,,之间的大小关系是( ) (A) <<< (B) <<< (C) <<< (D) <<<

4、向量ae,e1。若tR,ateae则( ) (A) ae (B) a(ae) (C) e(ae) (D) (ae)(ae)

5、若复数w11的实部为0,Z是复平面上对应的点,则点Zx,y的轨迹是( ) w11w22(A) 一条直线 (B) 一条线段 (C) 一个圆 (D)一段圆弧

6、椭圆长轴长为4,左顶点在圆(x4)y14上,左准线为y轴,则此椭圆离心率的取值范围是( ) (A) , (B) , (C) , (D) ,84428224

7、已知三棱锥SABC的底面ABC为正三角形,点A在侧面SBC上的射影H是SBC的垂心,二面角HABC为30°,且SA2,则此三棱锥的体积为( ) 11111113 1 (A) 3313 (B) (C) (D)

24248、如图,在锐角ABC中,BEAC于E,CDAB于D,,BC25,CE7,BD15,CD交于H,连接DE,以DE为直径画圆,与AC交于另一点F,则AF的长为( ) (A) 8 (B) 9 (C)10 (D) 11

9、已知数列an的通项公式为anlg(12),n1,2,。Sn是数列的前n项和。则n23nlimSn( ) n(A) 0 (B) lg3 (C) lg310 (D) 10101 3

10、已知6xi10(i1,2,10),xi1i50,当xi2取得最大值时,在x1,x2,x10这10i1个数中等于6的数共有( ) (A) 1个 (B) 2个 (C)3个 (D) 4个 二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。每小题14分,共70分

11、在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c。已知2sin2① 求C的大小 ② 若c2b2a,求cos2Acos2B的值

12、已知两点A2,0,B2,0,动点P在y轴上的射影是H,且PAPB2PH ① 求动点P的轨迹C的方程 2AB1cos2C 2222 2 ② 已知过点B的直线交曲线C于x轴下方不同的两点M,N,设MN的中点为R,过R与点Q0,2作直线RQ,求直线RQ斜率的取值范围。 1),各个元件正常工作的事件相互独立,如果

13、系统中每个元件正常工作的概率都是p(0<p<系统中有多于一半的元件正常工作,则系统就能正常工作。
系统正常工作的概率称为系统的可靠性。

(1) 某系统配置有2k1个元件,k为正整数,求该系统正常工作概率的表达式

(2) 现为改善

(1)中系统的性能,拟增加两个元件。试讨论增加两个元件后,能否提高系统的可靠性。 x2x3xn...,n1,2,3,...证明:

14、记函数fn(x)1x当n是偶数时,方程fn(x)0没2。3。n。有实根;当n是奇数时,方程fn(x)0有唯一的实根xn且xn2xn ,

15、某乒乓球培训班共有n位学员(n4),在班内双打训练赛期间,每两名学员都作为搭档恰好参加过一场双打比赛。试确定n的所有可能值并分别给出对应的一种安排比赛的方案。 3 2012年华约数学参考答案 (详细解答参见另一个PDF文件) 一、选择题 1-5 ACBCA 6-10 BDBBC 二、解答题 11解:

(1)C=2/3∏;

(2)cos2Acos2B=3/4 12解: APBP2PH2

(1)设P(x,y),则H(0,y),由得(x2,y)(x-2,y)2x2,即y2-x24

(2)令CD:xmy2(m0)代入yx4,整理得 22(1m2)y24my80 因为直线在x轴下方交P点轨迹于C(x1,y1),D(x2,y2)两点所以上式有两个负根,由 1m202216m32(1m)0y1y24m201m2 1m80y1y221m根据韦达定理,得CD中点M的坐标为 M(x1x2y1y222m,)(,) 22221m1m代入直线MQ的方程y+2=kx,(k为其斜率)得 2m2k2 1m21m2所以,k=mm1(m)13解答:显然PK21225(21,1),(1m2). 4Cn0K1n2k1(1p)np2k1n, nnn1n2注意到C2k1C2k12C2k1C2k1, 4 所以PK1=kCn0knn2k1(1p)p2k1n =k(Cn0n2k1n1n2n2k1n2C2k1C2k1)(1p)p =n0kCCk1n2k1(1p)pn2k1n2Cn1kkn12k1(1p)pn2k1nn2n2k1nC2k1(1p)pn2kk n2k1(1p)pn2k1n=n02Cn0n12k1(1p)n1p2knn2n22k1nC2(1p)pk1n0 =n0Cn2k1(1p)np2k1n(p22(1p)p(1p2)) kkk1k1k1kC2C2pk1(1p)pk1(1p)=n0 =Ck1n2k1kkk(1p)np2k1nC2k1(1p)p(p(1p)) kKkPKC2k1(1p)p(2p1) 因此,当p≥14证明: 1 2时,{pk}递增,当P≥1时,{pk}递减。 2用数学归纳法证明f2n1(x)0有唯一解x2n1且严格单调递增,f2n(x)0无实数解,显然n=1时,x2此时f1(x)1x有唯一解x11,且严格单调递增,而f2(x)1x无实数解,现在假设2f2n1(x)0有唯一解x2n1且严格单调递增,f2n(x)0无实数解,于是注意到f2n1(x)f2n(x),f2n1时,对任意的0≤k≤n有x+2k+1≤0,于是 x2kx2kf2n1(x)((x2k1),所以f2n1(2n1)0, (2k1)。k0(2k)。n又因为f2n1(0)10,所以由f2n1(x)严格递增知f2n1(x)0有唯一根0x2n12n1, 对于f2n2(x)有f2n2f2n2(x)f2n1(x),所以(—∞,x2n1)上,递减,在(x2n1,+∞)上,递增,所以 5 2n22n2x2x2n1n1minf2n2(x)f2n2(x2n1)0, xR(2n2)。
(2n2)。因此,f2n2(x)0无实数解 综上所述,对任意正整数n,当n为偶数时fn(x)0无解,当n为奇数fn(x)0有唯一解xn。 再证x2n1x2n1,事实上,由f2n1(x)的严格单调性,只需验证f2n1(x2n1)0,注意到 f2n1(x)-f2n1(x)x2nx2n1=,由上述归纳法证明过程中,x2n12n1,所以 (2n)。(2n1)。
2n2n12nx2x2x2n1n1n1(x2n12n1)0, ff2n1(x2n1)(2n)。(2n1)。
(2n1)。因此x2n1x2n1,综上所述,原命题得证。
215假设比赛了K场,那么由题目假设,一场比赛出现了2对队友,所以Cn=2k,也就是说4k=n(n-1),那么得到n=4l或者4l+1,期中lN,下边证明,对于任意的n=4l,或者4l+1,其中lN,都可以构造出满足要求的比赛:n=4l+1,的时候,对于L使用数学归纳法:

(1)当L=1的时候,N=5,此时假设这5名选手为A,B,C,D,E,那么如下安排比赛即可,AB-CD,AC-BE,BC-DE,AE-BD,AD-CE. 121212

(2)设当L=M时结论成立,则L=M+1时,设4M+5选手为A,B,C,D,EF1,F1,F2,F2,F2m,F2m,由归纳假设,可以安排E,F11,F12,F21,F22,,F21m,F22m之间的比赛,使得他们之间每两位选手的作为队友恰好只参加过一次比赛,还剩下A,B,C,D,E,相互的比赛和A,B,C,D与间的比赛,A,B,C,D与122F11,F12,,F21m,F22m之F11,F12,,F21m,F22m112之间的比赛安排如下: 21AFL与BFL,AFL与BFL,CFL与DFL,CFL与DFL,满足要求。 最后将这些比赛总计起来,就是满足要求的4M+5位选手之间的的比赛了。 由数学归纳法得证,N=4L时,对L使用数学归纳法,可以类似方法证明(略)。 综上所述,N的所有可能取值是N=4L或4L+1,其中LN. 6 自主招生高中试题。
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