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2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题(精校word版,带解析)-历年自主招生考试数学试题大全 自主招生高中试题

教学资源|题库|学习文库-「普洱教育」来源: https://www.puerjy.cn 2020-02-06 03:44文科试题 399755 ℃
自主招生高中试题
2016年清华大学自主招生暨领军计划试题 1.已知函数f(x)(x2a)ex有最小值,则函数g(x)x22xa的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.取决于a的值 【答案】C 【解析】注意f/(x)exg(x),答案C. 2. 已知ABC的三个内角A,B,C所对的边为a,b,c.下列条件中,能使得ABC的形状唯一确定的有( ) A.a1,b2,cZ B.A1500,asinAcsinC2asinCbsinB C.cosAsinBcosCcos(BC)cosBsinC0,C60 D.a3,b1,A600 【答案】AD. 03.已知函数f(x)x1,g(x)lnx,下列说法中正确的有( ) A.f(x),g(x)在点(1,0)处有公切线 B.存在f(x)的某条切线与g(x)的某条切线平行 C.f(x),g(x)有且只有一个交点 D.f(x),g(x)有且只有两个交点 2 第 1 页 共 1 页 【答案】BD 【解析】注意到yx1为函数g(x)在(1,0)处的切线,如图,因此答案BD. 4.过抛物线y24x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,M为线段AB的中点.下列说法中正确的有( ) A.以线段AB为直径的圆与直线xB.|AB|的最小值为4 C.|AB|的最小值为2 D.以线段BM为直径的圆与y轴一定相切 【答案】AB 3一定相离 211(|AF||BF|)|AB|,于是以线段AB为直径223112的圆与直线x1一定相切,进而与直线x一定相离;对于选项B,C,设A(4a,4a),则B(2,),24aa122,最小值为4.也可将|AB|转化为AB中点到准线的距离的2倍去得到最小值;于是|AB|4a24a1对于选项D,显然BD中点的横坐标与|BM|不一定相等,因此命题错误. 2【解析】对于选项A,点M到准线x1的距离为x2y25.已知F1,F2是椭圆C:221(ab0)的左、右焦点,P是椭圆C上一点.下列说法中正确的有ab( ) A.aB.a2b时,满足F1PF2900的点P有两个 2b时,满足F1PF2900的点P有四个 C.PF1F2的周长小于4a a2D.PF 1F2的面积小于等于2 第 2 页 共 2 页 【答案】ABCD. 【解析】对于选项A,B,椭圆中使得F1PF2最大的点P位于短轴的两个端点;对于选项C,F1PF2的周长为2a2c4a;选项2D,F1PF2的面积为11|PF121||PF2||PF||PF|sinFPFa. 121222226.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛,有两花获奖.比赛结果揭晓之前,四个人作了如下猜测: 甲:两名获奖者在乙、丙、丁中; 乙:我没有获奖,丙获奖了; 丙:甲、丁中有且只有一个获奖; 丁:乙说得对. 已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的,那么两个获奖者是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【答案】BD 【解析】乙和丁同时正确或者同时错误,分类即可,答案:BD. 7.已知AB为圆O的一条弦(非直径),OCAB于C,P为圆O上任意一点,直线PA与直线OC相交于点M,直线PB与直线OC相交于点N.以下说法正确的有( ) A.O,M,B,P四点共圆 C.A,O,P,N四点共圆 B.A,M,B,N四点共圆 D.以上三个说法均不对 【答案】AC 【解析】对于选项A,OBMOAMOPM即得;对于选项B,若命题成立,则MN为直径,必然有MAN为直角,不符合题意;对于选项C,MBNMOPMAN即得.答案:AC. 8.sinAsinBsinCcosAcosBcosC是ABC为锐角三角形的( ) A.充分非必要条件 C.充分必要条件 B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件 第 3 页 共 3 页 【答案】B 【解析】必要性:由于sinBsinCsinBsin(2B)sinBcosB1, 类似地,有sinCsinA1,sinBsinA1,于是sinAsinBsinCcosAcosBcosC. 不充分性:当A2,BC4时,不等式成立,但ABC不是锐角三角形. 9.已知x,y,z为正整数,且xyz,那么方程A.8 B.10 1111的解的组数为( ) xyz2 D.12 C.11 【答案】B 【解析】由于11113,故3x6. 2xyzx若x3,则(y6)(z6)36,可得(y,z)(7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,12); 若x4,则(y4)(z4)16,可得(y,z)(5,20),(6,12),(8,8); 若x5,则311220,y,y5,6,进而解得(x,y,z)(5,5,10); 10yzy3若x6,则(y3)(z3)9,可得(y,z)(6,6)). 答案:B. 10.集合A{a1,a2,,an},任取1ijkn,aiajA,ajakA,akaiA这三个式子中至少有一个成立,则n的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】B 11.已知1,61,121,则下列各式中成立的有( ) A.tantantantantantan3 000 第 4 页 共 4 页 B.tantantantantantan3 C. tantantan3 tantantantantantan3 tantantanD. 【答案】BD 【解析】令xtan,ytan,ztan,则yxzyxz3,所以1xy1yz1zxyz3(1xy),zy3(1yz),xz3(1zx),以上三式相加,即有xyyzzx3. 类似地,有1111111113(1),3(1),3(1),以上三式相加,即有xyxyyzyzzxzx111xyz3.答案BD. xyyzzxxyz12.已知实数a,b,c满足abc1,则4a14b14c1的最大值也最小值乘积属于区间( ) A.(11,12) B.(12,13) C.(13,14) D.(14,15) 【答案】B /【解析】设函数f(x)4x1,则其导函数f(x)21,作出f(x)的图象,函数f(x)的图象在x4x13处的切线y13221121,以及函数f(x)的图象过点(,0)和(,7)的割线(x)42733yx 41141221121x,如图,于是可得,左侧等号当x或x4x1(x)47337777311时取得; 右侧等号当x时取得.因此原式的最大值为21,当abc时取得;最小值为233第 5 页 共 5 页 137,当ab,c时取得,从而原式的最大值与最小值的乘积为73(144,169).答案B. 4213.已知x,y,zR,xyz1,x2y2z21,则下列结论正确的有( ) A.xyz的最大值为0 C.z的最大值为【答案】ABD B.xyz的最大值为D.z的最小值为4 272 31 314.数列{an}满足a11,a22,an26an1an(nN*),对任意正整数n,以下说法中正确的有( ) 2A.an1an2an为定值 B.an1(mod9)或an2(mod9) C.4an1an7为完全平方数 D.8an1an7为完全平方数 【答案】ACD 【解析】因为2222an2an3an1an2(6an2an1)an1an26an2an1an122an2(an26an1)an1an1an2an,选项A正确;由于a311,故2222anaaa(6aa)aa6aaa1n2nn1n1nnn1n1nn7,又对任意正整数恒成立,所以4an1an7(an1an)2,8an1an7(an1an)2,故选项C、D正确.计算前几个数可判断选项B错误. 2说明:若数列{an}满足an2pan1an,则an1an2an为定值. 15.若复数z满足z11,则z可以取到的值有( ) z 第 6 页 共 6 页 A.1 2 B.1 2 C.51 2 D. 51 2【答案】CD 【解析】因为|z|取得.答案CD. 16. 从正2016边形的顶点中任取若干个,顺次相连构成多边形,若正多边形的个数为( ) A.6552 B.4536 C.3528 D.2016 【答案】C 【解析】从2016的约数中去掉1,2,其余的约数均可作为正多边形的边数.设从2016个顶点中选出k个构成正多边形,这样的正多边形有1151515151,等号分别当zi和zi时|z|z1,故2222|z|z2016个,因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016k52和1008.考虑到2016237,因此所求正多边形的个数为 (12481632)(139)(17)201610083528.答案C. x2y21117.已知椭圆221(ab0)与直线l1:yx,l2:yx,过椭圆上一点P作l1,l2的平行线,22ab分别交l1,l2于M,N两点.若|MN|为定值,则A.2 【答案】C 【解析】设点P(x0,y0),可得M(x0y0, B.3 a( ) b D.5 C.2 1211111x0y0),N(x0y0,x0y0),故意4224212a24a2|MN|x04y0为定值,所以216,2,答案:C. 1bb44说明:
(1)若将两条直线的方程改为ykx,则为定值,则线段MN中点Q的轨迹为圆或椭圆. 2y18. 关于x,y的不定方程x1652的正整数解的组数为( ) a1;
(2)两条相交直线上各取一点M,N,使得|MN|bkA.0 B.1 C.2 D.3 第 7 页 共 7 页 【答案】B 19.因为实数的乘法满足交换律与结合律,所以若干个实数相乘的时候,可以有不同的次序.例如,三个实数a,b,c相乘的时候,可以有(ab)c,(ba)c,c(ab),b(ca),等等不同的次序.记n个实数相乘时不同的次序有In种,则( ) A.I22 B.I312 C.I496 D.I5120 【答案】B n【解析】根据卡特兰数的定义,可得InCn1An1n1n1C2n2n。(n1)。C2n1.答案:AB. n关于卡特兰数的相关知识见《卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利》. 20.甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛,规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛,两组的胜者争夺冠军.4个人相互比赛的胜率如表所示: 表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率,例如甲击败乙的概率是0.3,乙击败丁的概率是0.4.那么甲刻冠军的概率是 .
【答案】0.165
【解析】根据概率的乘法公式 ,所示概率为0.3(0.50.30.50.8)0.165. 21.在正三棱锥PABC中,ABC的边长为1.设点P到平面ABC的距离为x,异面直线AB,CP的距离为y.则limy . x
【答案】3 2 第 8 页 共 8 页
【解析】当x时,CP趋于与平面ABC垂直,所求极限为ABC中AB边上的高,为22.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,中心为O,BF的体积为 . 3. 211BC,A1EA1A,则四面体OEBF24
【答案】1 9611111VGEBFVEGBFVEBCC1B1. 2221696
【解析】如图,VOEBFVOEBF 23.20(x)2n1(1sin2nx)dx .
【答案】0
【解析】根据题意,有220(x)2n1(1sin2nx)dxx2n1(1sin2nx)dx0. 222224.实数x,y满足(xy)4xy,则xy的最大值为 .
【答案】1 222232222222
【解析】根据题意,有(xy)4xy(xy),于是xy1,等号当xy231时取得,2因此所求最大值为1. 25.x,y,z均为非负实数,满足(x为 .
【答案】12327)(t1)2(z)2,则xyz的最大值与最小值分别224223 2 第 9 页 共 9 页
【解析】由柯西不等式可知,当且仅当(x,y,z)(1,,0)时,xyz取到最大值123.根据题意,有2x2y2z2x2y3z1313(xyz)23(xyz)y,解得xyz,于是44223.于是2xyz的最小值当(x,yz)(0,0,223223. )时取得,为22OB26.若O为ABC内一点,满足SA:SBOC:SCOA
4:
3:2,设AOABAC,则 .
【答案】2 3242. 993
【解析】根据奔驰定理,有z2223isin . 27.已知复数zcos,则z233zz2
【答案】13i 223z25513
【解析】根据题意,有z21z2zcosisini. zz2332228.已知z为非零复数,z40,的实部与虚部均为不小于1的正数,则在复平面中,z所对应的向量OP的10z端点P运动所形成的图形的面积为 .
【答案】2001003300 3 yx1,1,10104040z
【解析】设zxyi(x,yR),由于,于是如图,弓形面积为40x240yz|z|21,21,22xyxy 第 10 页 共 10 页 11001202(sin)100,四边形ABCD的面积为2(10310)101003100. 26632100200100)(1003100)1003300. 于是所示求面积为2(3329.若tan4xsin4xsin2xsinxsinx3 . ,则cos8xcos4xcos4xcos2xcos2xcosxcosx3
【答案】3
【解析】根据题意,有sin4xsin2xsinxsinx cos8xcos4xcos4xcos2xcos2xcosxcosx(tan8xtan4x)(tan4xtan2x)(tan2xtanx)tanxtan8x3. 30.将16个数:4个1,4个2,4个3,4个4填入一个44的数表中,要求每行、每列都恰好有两个偶数,共有 种填法.
【答案】441000 31.设A是集合{1,2,3,,14}的子集,从A中任取3个元素,由小到大排列之后都不能构成等差数列,则A中元素个数的最大值为 .
【答案】8
【解析】一方面,设A{a1,a2,,ak},其中kN*,1k14.不妨假设a1a2ak. 若k9,由题意,a3a13,a5a37,且a5a3a3a1,故a5a17.同理a9a57.又因为a9a5a5a1,所以a9a115,矛盾。
故k8. ,13,14},满足题意. 另一方面,取A{1,2,4,5,10,11综上所述,A中元素个数的最大值为8. 第 11 页 共 11 页 自主招生高中试题。
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