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2015华中科技大学自主招生数学试题 自主招生高中试题

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自主招生高中试题
2015华中科技大学自主招生 一、填空题 1.对抛物线y2=22x,若其焦点为F,准线上一点为P,y轴上一点为N,△NPF是以∠NPF=90°的等腰直角三角形,则N点的纵坐标为___________ 2.111=_________ ...1223255256n1(1)k(-lnn)存在,则=___________ nkk1k1k04.在边长为1的正方形(含边界)中9个点中,其中必有3个点,它们构成的三角形面积不超过______________ 5.某人打靶,打中8环、9环、10环的概率分别为0.
15、0.
25、0.2,现他开三枪,不少于28环的概率是______________ 二、解答题 6.若对任意实数x,y有f((xy)2)=f2(x)-2xf(y)+y2,求f(x) 7.求所有的实数a,b,使得|1x2-ax-b|≤21成立,其中x∈[0,1] 28.若复数z满足|z|=1,求|z3z2|2的最小值 9.若关于x的三次方程xax+bx+c=0有三个实数根 ⑴若三个实数根为x1,x2,x3,且x1x2x3,a,b为常数,求c变化时,x3x1的取值范围 ⑵若三个实数根为a,b,c,求a,b,c ##Answer## 1.△PNF为直角△,斜边FN的中点M为外接圆圆心,于是|MF|=|MP|,又|MF|等于M到准线的距离d,于是d=|MP|,MP与准线垂直,M在抛物线上;设N(0,yN),则M(322yN,),24yN22=22×yN=±2。填±2 442.原式=2-1+32+…+256255=256-1=15,填15 11111(1)n21(1)k23. 设lim(-lnn)=x, =lim(1-+-+-+……+) nn23456n1k1kk0k1n当n为奇数时,设n=2k+1, 原式=lim[1+(k111111111-1)++(-)++(-)+…+(-)] 23425632k2k1第 1 页 共 4 页 2015华中科技大学自主招生 2k2k11k1111奇偶分离lim(-)=lim[-ln(2k+2)-(-ln(2k+2))] kki1ii1ii1ii1ik111=lim[-ln(2k+2)]-lim(-ln(k+1)-ln2)]=x-(x-ln2)=ln2 2k2k1i1ii1i2k22k2n为偶数时,原式=lim[1+(k1111111111-1)++(-)++(-)+…+(-)+] 23425632kk2k12kk111k111)=lim[-ln(2k)-(-ln(2k))+] 奇偶分离lim(-+kk2k12k1i1ii1ii1ii1ik111=lim[-ln(2k)]-lim(-lnk-ln2)+lim]=x-(x-ln2)+0=ln2 2kkk2k1iii1i12k2k总之,填ln2 4.如图,填1 85.射击的三枪,至少有一次超过9环;按超过9环的个数分为三类:⑴只有一环超过9环,1⑵有两环超过10环,⑶三环全超过。对于⑴只能为10+9+9,概率C30.20.252=0.0375;2⑵为10+10+9或10+10+8,概率C30.22(0.150.25)=0.048;⑶为10+10+10,概率0.23=0.008。总之,概率为0.0375+0.048+0.008=0.0935。
填0.0935 26.令y=x得到f(0)=(f(x)x) 2再令x=y=0得到,f(0)=f(0)f(0)=0或1 f(0)=0时,f(x)=x;f(0)=1时,f(x)=x±1 总之f(x)=x或f(x)=x+1或f(x)=x-1 7. |1x2-(ax+b)|≤21四分之一圆y1x2,x∈[0,1]上点到两顶点连线l:x+y=12的最大距离为1-222=,此时圆上点记作P,如图 22第 2 页 共 4 页 2015华中科技大学自主招生 y21PNOlx 只有过PN的中点且平行于直线l的直线才能满足条件,于是a=-1,b=21; 2 8.设z=x+yi,(x,y∈R),则x2y2=1,|z3z2|2=|z3z2zz|2=|z(z212z)|2 =|z212z|2=|x22xyiy212(xyi)|2=|(2y22x)2y(x1)i|2 =4|(xy2)2y2(x1)2|=4[x22xy2y4y2(x22x1)| =4[x22x(1x2)(12x2x4)(1x2)(x22x1)| 322=4(4xx4x2)设其为f(x),f(x)=8(6xx2)=6(2x+1)(3x-2) 28fmin(x)=f()= 327(另法) |z3z2|2=|z3z2zz|2=|z(z212z)|2=|z212z|2 =(z212z)(z12z)=4-2(z+z)-(z2z)+2(z3z) =4-2(zz)-[(zz)2-2]+2(zz)[(zz)2-3] 223let,zzz[2,2] 2x3x2-8x+6设为g(x),用导数法求最值 9.⑴设f(x)=xax+bx+c由三次函数的性质知:x3x1的最值在过极值点或拐点处取到。 2设f(x)的极值点为t,此时xax+bx+c=(xt)(x-m) 3232m2taxax+bx+c=x-(m+2t)x+(t+2tm)x-tm,2,消去t得到t2mb323222aa23b2a23bm=,从而x3x1= 33第 3 页 共 4 页 2015华中科技大学自主招生 又f(x)=6x+2af(x)的拐点为x=-aaa,f(x)f()不等于-的解为333aaa23ba23bx=,|x-(-)|= 3333a23b2a23b总之,x3x1的范围是[,] 33abca①32⑵xax+bx+c=(x-a)(x-b)(x-c)abbccab② abcc③由③得,c=0或ab=-1 c=0时,b2aa0a1于是或 abbb0b2c2ab4323ab=-1时,,消去c,abb2b+2=0(b+1)(b-2b+2)=0 1(ab)cbb+1=0或b-2b+2=0 b+1=0时,3a1 c1u33u3uuu33b-2b+2=0时,设b=y,b=y3+3u(y),y3+(3u-2)(y)+2=0 yyyyy3令3u-2=03得到u=23,y3827y3+2=0,y3=-1±1225757,y1,b=y,a,c=b bb3y99总之,满足条件的(a,b,c)有(0,0,0),(1,-2,0),(1,-1,-1),(-12,b, b),其中bb257b=y,y1 3y9 3第 4 页 共 4 页 自主招生高中试题。
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