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2019年安徽师大附中自主招生数学试题及答案 自主招生高中试题

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自主招生高中试题
数学试卷 □□ 2019安徽师大附中自主招生 数 学 试 卷 题 号 得 分 一 二 总 分 一、填空题(本大题共8小题,每小题7分,共56分. 把答案填在题中横线上) 1.若x21,则x3(22)x2(122)x2的值是 . 2.有6个量杯A、B、C、D、E、F,它们的容积分别是16毫升、18毫升、22毫升、23毫升、24毫升和34毫升.有些量杯中注满了酒精,有些量杯中注满了蒸馏水,还剩下一个空量杯,而酒精的体积是蒸馏水体积的两倍.那么注满蒸馏水的量杯是 . 3.各边互不相等的ABC,两条高的长度分别为4和12,若第三条高的长度也是整数,那么这条高的长度等于 . 4.如图1,在ABC中, ABAC ,A40 ,延长AC到D,使CDBC,点P是ABD的内心,则BPC . 图1 图2 图3 5.ABC的三边长a,b,c都为整数,且abcbca24,当ABC为等腰三角形时,它的三边边长分别为 . 6.如图2,凸五边形ABCDE内接于半径为1的⊙O,ABCD是矩形, AEED,且BE和CE把AD三等分.则此五边形ABCDE的面积是 . 数学试卷 7.方程xaxb0的两根为x1,x2,且x13x23x12x22x1x2,则有序实数对2(a,b)共有 对. 8.如图3,正EFG内接于正方形ABCD,其中E,F,G分别在边AB,AD,BC上,若AEBG2,则 . EBBC 二、解答题(本大题共3小题,共44分,答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 9.(本小题满分14分)如图,⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点B的直线交⊙O1与⊙O2于C、D.弧BD的中点为M,AM交⊙O1于E,交CD于F,连CE,AD,DM. (1) 求证:ADEFDMCF; EF2MF(2) 求证:; CE2MA(3) 若BC5,BD7,CF2DF,AM4MF,求MF和CE的长. 数学试卷 10.(本小题满分14分)两个男孩曹俊和伍岳在33棋盘上用黑棋子和白棋子对局,规则如下: (I)他们轮流下子;(II)每轮到一次,就把一个棋子放在棋盘的空格里;(III)棋手轮到时,可选择一白子或一黑子,并且不必要总用同色;(IV)当棋盘填满时,某一行、列或对角线有偶数个黑棋子,曹俊就得1分,而某一行、列或对角线有奇数个黑棋子,伍岳就得1分;(V)棋手至少得到8分中的5分,就算得胜.
(1)4:4和局是否可能。若可能,请列出一种表格的情况;若不可能,请说明理由;

(2)叙述先下手的男孩的取胜策略. 数学试卷 11.(本小题满分16分)已知直线y顶点为M

(1)若M恰在直线y1x和yxm,二次函数yx2pxq图象的21x和yxm的交点处,证明无论m取何实数值,二次函数2yx2pxq的图象与直线yxm总有两个不同的交点;

(2)在

(1)的条件下,直线yxm过点D(0,3),二次函数yx2pxq的图象与y轴交于点C,与x轴的左交点为A,在直线y1x上求异于M的点N,使N在2CMA的外接圆上. 数学试卷 2019安师大附中自主招生数学 答案 1. 2 2. A、C(或者填16毫升、22毫升) 3. 5 4. 145 5. 6,6,1;4,4,2;3,3,3 6. 53 47. 3 8. 53 9 9.(1)证明:连接AB,BCEBAE,BMMD,则BAMDAMBDM 与 CEFDM中,FCEFDMF.由ECFMAD,CEFAMD CFEF 即ADEFDMCF ………………5分 ADMDEFMFEFMD

(2)△CEF∽△DMF,有,△CEF∽△AMD,有 CEDMCEAM△CEF∽△AMD EF2MFMDMF ………………9分 CE2DMAMMA

(3)由题意BF3,DF4,由相交弦定理可知:BFDFMFAF CE8 ………………14分 12MF3MF,MF2,由

(2)可得CE2=64, 10.解

(1)
4:4和局是可能的,结局如图1 黑 白 黑 白 黑 白 黑 白 黑 图1 …………… 5分 数学试卷

(2)如果有0或2个黑子的行(列或对角线,下同)的数目超过4,曹俊就会得胜。
如果有3或1个黑子,也就是有0或2个白子的行的数目超过4,伍岳就会得胜。由于曹俊(黑)和伍岳(白)之间的对称性,只要考虑曹俊先下手的情形就够了。
曹俊把一个黑子放在中心上,然后,不管伍岳怎样下子,曹俊总是把不同色的棋子放在关于中心对称的方格上。
这样,在他的后面4步中,每一步都保证有两条对角线之一或通过中心的行或列有2个黑子。此外,至少还有另一行或另一列有2个黑子。 事实上。试考虑游戏的结局的棋盘,恰好有两角方格放着黑子,这两个黑子不能在对角上。因此,棋盘实际上类似于图2的样子: 黑 黑 1 黑 2 白 白 图2 方格1和2恰好有一个放黑子,它所在的一行有偶数个黑子。……………14分 11

(1)证明交点M2121m,m,此时二次函数为y(xm)2m 3333441442x2mxm2m,联立消去y,得x2(m1)xm2m0 393393由1可证 …………… 7分

(2)D0,3带入直线方程,m3M(2,1)y(x2)21(x1)(x3), C(0,3)A(3,0),由勾股定理可知: △CMA为直角三角形,且CAM为直角, 1MC为△CMA外接圆的直径,设N(n,n) CNM900 211CN2MN2CM2,CN2n2(n3)2,MN2(n2)2(n1)2,CM220 22663解得n1,n22.而n22即是M点的横坐标,不合题意,舍去。P(,) 555 ……………16分 自主招生高中试题。
邻水中学, 常州市北郊中学, 中学生频道, 甲子中学, 上海戏剧学院附属中学, 富阳中学国际部,

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