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2015北大自主招生数学试题 自主招生高中试题

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自主招生高中试题
2015北大自主招生数学试题 一.选择题 1.整数x,y,z满足xy+yz+zx=1,则(1+x)(1+y2)(1+z)可能取到的值为( ) A.16900 B.17900 C.18900 D.前三个答案都不对 2.在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数,已知这50个数中任两个的和都不等于99,也不等于100.这50个数的和可能等于( ) A.3524 B.3624 C.3724 D.前三个答案都不对 3.已知x∈[0,222],对任意实数a,函数y=cosx −2acosx+1的最小值记为g(a),则当a取遍所有实数时,2g(a)的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.前三个答案都不对 4.已知10−2是2的整数倍,则正整数n的最大值为( ) A.21 B.22 C.23 D.前三个答案都不对 5.在凸四边形ABCD中,BC=4,∠ADC=60∘,∠BAD=90∘,四边形ABCD的面积等于则CD的长(精确到小数点后1位)为( ) A.6.9 B.7.1 C.7.3 D.前三个答案都不对 二.填空题 2020nABCDBCAD,2(1+)6.满足等式1xx1(112015)的整数x的个数是_______. 2015(abcd)27.已知a,b,c,d∈[2,4],则2 的最大值与最小值的和为___________ (ad2)(b2c2)8.对于任意实数x∈[1,5],|x+px+q|≤2,不超过2p2q2的最大整数是__________ b2c2a2a2c2b2b2a2c220159.设x=,y=,z=,且x+y+z=1,则xy2015z2015的值为___ 2bc2ac2ba10.设A1,A2,...,An都是9元集合{1,2,3,…,9}的子集,已知|Ai|为奇数,1≤i≤n,|AiAj|为偶数,1≤i≠j≤n,则n的最大值为____________ 三.解答题 11.已知数列{an}为正项等比数列,且a3a4a1a2=5,求a5a6的最小值 12.已知f(x)为二次函数,且a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a)))成正项等比数列,求证:f(a)=a 13.称四个顶点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形。若锐角△ABC的三边满足a>b>c, 求证:这个三角形内接正方形边长的最小值为acsinB acsinB14.从O出发的两条射线l1,l2,已知直线l交l1,l2于A、B两点,且SAOB=c(c为定值),记AB的中点为X, 求证:X的轨迹为双曲线 15.已知ai(i=1,2,3,…,10)满足:a1a2...a10=30,a1a2...a10<21,求证:ai,使得ai<1 ##Answer## 第 1 页 共 5 页 2015北大自主招生数学试题 1.1+x=xy+yz+zx+x=(x+y)(x+z),同理1+y2=(y+z)(y+x),1+z=(z+x)(z+y) 222(1+x)(1+y2)(1+z)=[(xy)(yz)(zx)]2,对照前三个答案,只有A是一个完全平方数 检验,不妨取x+y=2,y+z=5,z+x=13,有解x=5,y=−3,z=8.选A 2.考虑将1,2,⋯,99这99个正整数分成如下50组 (1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51),(50).若选出的50个不同的正整数中没有50,则必有2个数位于 (1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中的同一组,不合题意.所以这50个不同的正整数中必有50,而 (1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中,每组有且只有一个数被选中.因为50+49=99,所以(49,51)中选51;因为51+48=99,所以(48,52)中选52;以此类推,可得50,51,52,⋯,98,99是唯一可能的选法.经检验,选50,51,52,⋯,98,99满足题意,此时50+51+⋯+98+99=3725。故选D. 22h(1)22a,a1223.令t=cosx,令h(t)=t−2at+1,t∈[0,1],g(a)=h(a)a1,0a1作图象知最大值为1,选A h(0)1,a04. 10−2=2(5-1)=2(5+1)(5-1)=2(5+1)(5+1)(5-1)(555+5+1), 510545352+5+1是奇数,5-1=4是22,55+1=(4+1)+1被4除余数为2,同理5+1被4除余数也是2,2020202020101020105432于是n的最大值为24,选D 5.设四边形ABCD的面积为S,直线AC,BD的夹角为θ,则 S=111 AC⋅BD⋅sinθ(AB⋅CD+BC⋅AD)sinθ≤(AB⋅CD+BC⋅AD),由已知两个等号成立,22托勒密定理推论2于是sin1 于是AC⊥BD,BC⊥CD。用坐标法解得CD=43≈6.9。
选A. A、B、C、D四点共圆1xx1(1+)6.x>0时,(1+)(1)>(1+)(=,1+)1xx1x1xx1xx1(112015)无解 2015n111n1(n1)n(1+)x1=(1-)n1=()x<0时,x为负整数,设x=-n, =xnnn1(1+)数1xx11=1n1n1是n的单调函12015)n-1=2015x=-2016。填1 20152ab27.设a=(a,d),b=(b,c),二者夹角为θ,则所求为=cos,如图 |a||b|(1第 2 页 共 5 页 2015北大自主招生数学试题 yB(2,4)A(4,2)Ox 1641OAOB4=≤cos2≤1。填 0≤θ≤∠AOB1≥cosθ≥cos∠AOB=2525|OA||OB|58.设y=f(x)=x+px+q,x∈[1,5],它可以由y=x,x∈[-2,2]平移得到,y=x最值之差为4,根据|x+px+q|≤2,2222p3p6p6222pq只能平移到顶点在(3,-2)处,有;同理也满足条件,=89,2q74qp2q74不超过它的最大整数为9.填9 9.x+y+z=1c(a2b2c2)b(a2c2b2)a(b2c2a2)2abc a3(bc)a2(b2c22bc)ac3bc2b3b2c0 a3(bc)a2(bc)2a(bc)2(bc)0 a2[a(bc)](bc)2(abc)0(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)=0 不妨设a≤b≤c,则c=a+b,于是 b2c2(cb)22015x==1,同理y=1,z=-1,于是xy2015z2015=1,填1 2bc10.每个元素当做一个子集,就满足要求;填9 11.设数列{an}的公比为q,由已知a1a2=5q21>0,则15(t1)215q42设q1t0=5(t++2)≥5×(2t2)=20,等号成立当且仅a5a6=(a1a2)q=2tttq14当t=1t=1q=2,故a5a6的最小值为20 t212.(方法一)设f(x)=mx+nx+t(m≠0), a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a)))公比为q(q>0) 第 3 页 共 5 页 2015北大自主招生数学试题 f(a)ma2nat则aq①f(f(a))f(aq)m(aq)2n(aq)taq2 ② f(f(f(a)))f(aq2)m(aq2)2n(aq2)taq3 ③①-②并化简得到:ma(1-q2)+n(1-q)=q(1-q),②-③并化简得到:maq(1-q2)+n(1-q)=q(1-q) 从而q=1,f(a)=a (方法二)由已知f(a)f(f(a))f(f(f(a)))a=f(a)=f(f(a)),假设f(a)≠a 则f(f(a))f(a)=f(f(f(a)))f(f(a))f(a)af(f(a))-f(a)A(a,f(a)),B(f(a),f(f(a)),C(f(f(a)),f(f(f(a))))kAB=kBCA,B,C三点共线一条直线与抛物线交于三个点,矛盾 故f(a)=a 13.证明:设正方形的边长为x,△ABC外接圆半径为R,当内接正方形如图所示时 AMxNcxcsinBBQaPC acbcsinBx1csinBx1axacsinB1=acsinB=2Racb=abc2Rabc 2R同理其他情况,内接正方形的边长分别为xabcabc2=2Rbac,x3=2Rcba xabcabc1-x2=abc2Rabc-2Rbac=(2Rabc)(2Rbac)(ab)(c2R)<0x1 游府西街小学, 小学班训, 小学生智力题, 玉林中学, 常青藤实验中学, 上海高中排名,
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