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九年级数学上册专题突破讲练拓展:15°角的三角函数值试题新版青岛版 三角函数初中试题

教学资源|题库|学习文库-「普洱教育」来源: https://www.puerjy.cn 2020-02-11 00:08初二 381724 ℃
三角函数初中试题
拓展:15角的三角函数值 1. 三角函数 sinA对边a邻边b对边a cosA tanA 斜边c斜边c邻边b 角度 值 函数 sin cos tan 30° 45° 60° 2. 特殊角的三角函数值 1 23 23 32 22 21 3 21 23 3. 15角的三角函数值的求法 在RtABC中,C90,BAC30,求15角的三角函数值。  解答:延长CA到D,使AD=AB,连接BD,设BC=a。
在RtABC中,C90,BAC30, AB2a,AC3a。 在BAD中,AD=AB,BAC30, DDBA15 在RtDBC中,BC=a,DC=DA+AC=(32)a, BDBC2DC2a2(32)2a2 =(843)a22a2(423)2a2(13)2 =(1+3)2a=(62)a sin15cos15BCa62 BD(62)a4624tan15BC23DC62 4 DCBD根据互为余角的三角函数的关系: sin75cos1562,cos75sin154tan75cot1523。 例题 如图,在RtABC中,C90,BAC30,求15角的三角函数值。  解析:通过作BAC的平分线AD,构造DACBAD15,然后通过RtACD,利用三角函数的定义求15角的三角函数值。
答案:作BAC的平分线AD, BAC30,DACBAD15。 在RtABC中,C90,BAC30。 设BC=a,则AB=2a,AC=3a。
将ACD沿AD翻折,交AB于点E,则ACDAED, 于是BE=AB-AE=(2-3)a,∵∠B=60°,∠BED=90°, ∴BDE30,得BD=2(2-3)a,∴CDa2(23)a(233)a ∴AD=DC2AC2∴sin15=24123a6(423)a6(13)2a=6(31)a 62。
4点拨:通过辅助线构造出15角,把这个角放到直角三角形中,然后推导边与边之间的关系是解决问题的关键。 DCAD
【方法总结】 在30°、45°、60°角的三角函数值的基础上,要求15°或75°角的三角函数值,只需把15°或75°角放到直角三角形中,求出该三角形各边的长度即可。
例题 如图,把含30°角的三角板ABC,绕点B逆时针旋转90°到三角板DBE的位置(如图所示),求sin∠ADE的值。 解析:过点E作EF⊥AD,且交AD于点F;设BD=x,进而可得AB、BE、AD的值,利用边的关系可得AE的值;在Rt△AEF中,由三角函数的定义可得EF、AF的值;最后在Rt△DEF中,根据三角函数的定义可得sin∠ADE的值。
答案:过点E作EF⊥AD,且交AD于点F; 设BD=x,则AB=x,BE=DE=BDBE223x,AD=2x; 33223x)x, 33333在Rt△AEF中,AE=x-x=x; 333262易得EF=•AE=x; 62326则AF=EF=x, 6x2(在Rt△DEF中, 根据三角函数的定义可得:sin∠ADE=答:sin∠ADE的值为62DE= 4EF62。
4 点拨:本题考查锐角三角函数的概念,关键是将∠ADE放到直角三角形中,用同一未知数表示出该角的对边和斜边。
同理还能求出这个角的其它三角函数值。 (答题时间:30分钟) 一、选择题 1. 在正方形网格中,△ABC的位置如图,则sin∠ABC的值为( ) A. 33 B. 32 C. 22 D. 12 2. 如图,△ABC中,AB=BC=CA,则sin∠A的值是( ) A. 12 B. 32 C. 33 D. 3 3. 如图,正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,点M、N分别为OB、OC的中点,则sin∠OMN的值为( A. 132 B. 1 C. 22 D. 2 4. 如图,矩形ABCD中,AB=1,BC=3,AC与BD相交于O,则tan∠AOB等于( ) A. 3 B. 33 C. 1 D. 32 5. 如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=67.5°,AD=BD,则sin∠ADC=( ) ) A. 1 2B. 2 2C. 3 3D. 3 26. 把一块直尺与一块三角板如图放置,若sin∠1=2,则∠2的度数为( ) 2 A. 120° 二、填空题 7. 如图:将三角板的直角顶点放置在直线AB的点O处,使斜边CD∥AB,则∠α的正弦值是 。 B. 135° C. 145° D. 150° 8. 如图,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以A为圆心,AO长为半径画弧,两弧交于点B,画射线OB,则cos∠AOB的值等于 。 9. 图1是一张Rt△ABC纸片,如果用两张这种纸片恰好能拼成一个正三角形(图2),那么在Rt△ABC中,sin∠B的值是 。
10. 如图,Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D,BC=3,AC=3,则BD= 。 11. 因为sin30°=sin225°=-211,sin210°=-,所以sin210°=sin(180°+30°)=-sin30°,因为sin45°=,2222,所以sin225°=sin(180°+45°)=-sin45°;由此猜想、推理知:一般地,当α为锐角2时有sin(180°+α)=-sinα,由此可知:sin240°= 。 12. 如图,ABCD,BEFC是两个全等的正方形,则tan(∠BAF+∠AFB)等于 。 一、选择题 1. C 解析:设小正方形的边长为1,则BC=42,∠B的对边长为4, ∴sin∠B=442=2。
22. B 解析:∵AB=BC=CA, ∴△ABC是等边三角形, 故可得∠A=60°,sin∠A=故选B。
3. C 解析:在正方形ABCD中, OB=OC,∠MON=90°, 又∵点M、N分别为OB、OC的中点, ∴ON=OM, ∴∠OMN=45°, ∴sin∠OMN=sin45°=故选C。 4. A 解析:因为ABCD是矩形,所以AO=BO,则∠OAB=∠OBA。 ∵AB=1,BC=3,∴tan∠CAB=3, ∴∠CAB=60°, ∴△AOB为等边三角形, ∴tan∠AOB=tan60°=3。
故选A。 5. B 解析:∵Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=67.5°, ∴∠B=90°-∠BAC=90°-67.5°=22.5°, ∵AD=BD, ∴∠B=∠BAD=22.5°, ∴∠ADC=∠B+∠BAD=22.5°+22.5°=45°, ∴sin∠ADC=sin45°=故选B。 6. B 解析:∵sin∠1=∴∠1=45°, ∵直角△EFG中,∠3=90°-∠1=90°-45°=45°, ∴∠4=180°-∠3=135°, 又∵AB∥CD, ∴∠2=∠4=135°。 故选B。
3。 22。 22。 22, 2 二、填空题 7. 3 解析:∵CD∥AB, 2 ∴∠AOC=∠OCD=30°,∠α=180°-30°-90°=60°, ∴sinα=sin60°=8. 3 21 解析:连接AB, 2由画图可知:OA=OB,AO=AB ∴OA=AB=OB,即三角形OAB为等边三角形, ∴∠AOB=60°, ∴cos∠AOB=cos60°=1。
2 3 解析:∵两张这种纸片恰好能拼成一个正三角形, 23∴∠B=60°,sin∠B=。 2BC3310. 解析:∵tan∠A= AC329. ∴∠A=30° ∴∠BCD=30° ∴BD=11. 31BC=。 223 解析:∵当α为锐角时有sin(180°+α)=-sinα, 23∴sin240°=sin(180°+60°)=-sin60°=-。
2 12. 1 解析:∵∠FBE是△ABF的一个外角, ∴∠BAF+∠AFB=∠FBE, ∴tan(∠BAF+∠AFB)=tan∠FBE=FE=1。 BE 三角函数初中试题。
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